1.1集合的含義及其表示
一.課標解讀
1.《普通高中數(shù)學課程標準》明確指出：“通過實例,了解集合的含義,體會元素與集合的”屬于”關系；能選擇自然語言.圖形語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題感受集合語言的意義和作用.”
2.重點:集合的概念與表示方法.
3.難點:運用集合的兩種常用表示法---列舉法與描述法,正確表示一些簡單的集合.
二.要點掃描
1.集合的概念
一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合（或集）；構成集合的每個對象叫做這個集合的元素（或成員）。集合的元素可以是我們看到的、聽到的、聞到的、觸摸到的、想到的各種各樣的事物或者一些抽象符號。
2.集合元素的特征
由集合概念中的兩個關鍵詞“確定的”、“不同的”可以知道集合元素有兩大特征性質：
⑴確定性特征：集合中的元素必須是明確的，不允許出現(xiàn)模棱兩可、無法斷定的陳述。
設集合 給定，若有一具體對象 ，則 要么是 的元素，要么不是 的元素，二者必居
其一，且只居其一。
⑵互異性特征：集合中的元素必須是互不相同的。設集合 給定， 的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的對象歸于同一集合時只能算集合的一個元素。
3.集合與元素之間的關系
集合與元素之間只有“屬于 ”或“不屬于 ”。例如： 是集合 的元素，記作 ，讀作“ 屬于 ”； 不是集合 的元素，記作 ，讀作“ 不屬于 ”。
4.集合的分類
集合按照元素個數(shù)可以分為有限集和無限集。特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，記作 。
5.集合的表示方法
⑴列舉法是把元素不重復、不計順序的一一列舉出來的方法，非常直觀，一目了然。
⑵特征性質描述法是用確定的條件描述集合內元素特點的集合表示方法。
例如：集合 可以用它的特征性質 描述為{ }，這表示在集合 中，屬于集合 的任意一個元素 都具有性質 ，而不屬于集合 的元素都不具有性質 。
除此之外，集合還常用韋恩圖來表示，韋恩圖是用封閉曲線內部的點來表示集合的方法（有時，也用小寫字母分別定出集合中的某些元素），同學們在下節(jié)課中會接觸到這個內容。
三.知識精講
知識點1.集合與元素
一個東西是集合還是元素并不是絕對的，很多情況下是相對的，集合是由元素組成的集合，元素是組成集合的元素。例如：你所在的班級是一個集合，是由幾十個和你同齡的同學組成的集合，你相對于這個班級集合來說，是它的一個元素；而整個學校又是由許許多多個班級組成的集合，你所在的班級只是其中的一分子，是一個元素。班級相對于你是集合，相對于學校是元素，參照物不同，得到的結論也不同，可見，是集合還是元素，并不是絕對的。
知識點2.區(qū)分 、{ }與{ }
是空集，是不含任何元素的集合；{ }不是空集，它是以一個 為元素的單元素集合，而非不含任何元素，所以 { }；{ }也不是空集，而是單元素集合，只有一個元素 ，可見 { }， { }，這也體現(xiàn)了“是集合還是元素，并不是絕對的”。
知識點3.解集合問題的關鍵
解集合問題的關鍵：弄清集合是由哪些元素所構成的，也就是將抽象問題具體化、形象化，將特征性質描述法表示的集合用列舉法來表示，或用韋恩圖來表示抽象的集合，或用圖形來表示集合，比如用數(shù)軸來表示集合，或是集合的元素為有序實數(shù)對時，可用平面直角坐標系中的圖形表示相關的集合等。
四.典題解悟
-------------------------------------------------------基礎在線---------------------------------------------------
[題型一]集合的判斷
集合元素的特征：
⑴確定性特征：集合中的元素必須是明確的，不允許出現(xiàn)模棱兩可、無法斷定的陳述。設集合
給定，若有一具體對象 ，則 要么是 的元素，要么不是 的元素，二者必居其一，且只居其一。
⑵互異性特征：集合中的元素必須是互不相同的。設集合 給定， 的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的對象歸于同一集合時只能算集合的一個元素。
例1、 “①難解的題目;②方程 ;③平面直角坐標系內第四象限的一些點;④很多多項式”中，能組成集合的是( )。
.② .① ③ .② ④ .① ② ④
解析: 解這類題目要從集合元素的特征-----確定性、互異性-----出發(fā)。
①③④不符合集合元素的確定性特征。
答案:
例2、下列命題正確的個數(shù)為…………………( )。
①很小兩實數(shù)可以構成集合；
② 與 是同一集合
③ 這些數(shù)組成的集合有5個數(shù)；
④集合 是指第二、四象限內的點集；
. 個 . 個 . 個 . 個
解析:
①中的元素不符合集合元素的確定性，不對；
②先看 “”左邊描述的元素，第一個集合是函數(shù) 的值域，第二個集合是點集，所以不是同一集合；
③根據(jù)集合元素的互異原則： ，所以集合有3個數(shù)，③不對；
④先看 “”左邊描述的元素，集合是點集，再看“”右邊規(guī)定的元素的公共屬性 ，第二、四象限內的點集的公共屬性應為 ， 包括了坐標軸上的點，④也不對；
答案: A
例3、 則 中的元素 應滿足什么條件？
解析:根據(jù)集合中元素具有的互異性可知，該集合中的元素應滿足 ，解不等式組即得答案。
答案:
[題型二] 集合與元素之間的關系
集合與元素之間只有“屬于 ”或“不屬于 ”。
例4、下列表述是否正確，說明理由。
⑴ {全體整數(shù)}
⑵ {實數(shù)集}
解析:“{ }”是集合符號，包含了“所有”“全體”“全部”“集”等含義，因而這些詞語不能再出現(xiàn)在大括號內；而 表示以實數(shù)集為元素的集合，它與 的關系是 。
答案: ⑴ {整數(shù)}，⑵ {實數(shù)}。
[題型三] 集合的表示方法
（1）列舉法是把元素不重復、不計順序的一一列舉出來的方法，非常直觀，一目了然。
（2）特征性質描述法：集合 可以用它的特征性質 描述為{ }，這表示在集合 中，屬于集合 的任意一個元素 都具有性質 ，而不屬于集合 的元素都不具有性質 。
例5、⑴用列舉法表示下列集合：
① ；
②
⑵用特征性質描述法表示下列集合
①所有正偶數(shù)組成的集合 ；
②被9除余2的數(shù)組成的集合 。
解析：首先搞清楚組成集合的元素是什么，然后再選擇適當?shù)姆椒ū硎炯�合�?br>答案：
⑴①{ }；
②
⑵①
②
例6、指出下列集合的元素：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷ 。
解析：分析一個集合，首先要看“”左邊，左邊的記號表示元素；再看“”右邊，右邊規(guī)定了元素的公共屬性，尤其是本題的第⑶、⑷小題，⑶的元素 是函數(shù)的自變量，⑷的元素 是函數(shù)的函數(shù)值，雖然共同屬性都是滿足一個函數(shù)關系式，但⑶表示函數(shù)的定義域，⑷卻表示函數(shù)的值域，一定要理解清楚它們的各自含義。
答案：
⑴元素 所滿足的共同屬性為 ,
⑵元素 易錯點所滿足的共同屬性為 ，,故元素是有實根的一元二次方程；
⑶元素 所滿足的共同屬性為 ，即函數(shù) 中自變量 所能取到的實數(shù)的全體，也就是該函數(shù)的定義域，化簡后為 ，故元素為函數(shù) 的定義域中的所有實數(shù)；
⑷元素 所滿足的共同屬性為 ，即函數(shù) 中函數(shù)值 所能取到的實數(shù)的全體，也就是該函數(shù)的值域，化簡得到 ，所以元素為函數(shù) 的值域中的所有實數(shù)。
-------------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------
1．集合與方程。
例7、若方程 的解集是 求 . 的值。
解析:由解集是 可知這是個二次方程，即 ，
由韋達定理， ，解得
答案:
2．用數(shù)形結合的思想解集合問題。
例8、求集合 與集合 有公共元素的 的取值范圍。
解析:集合 即為不等式 的解集，是大于 的所有實數(shù)；集合 即為不等式 的解集，是小于 的所有實數(shù)，在數(shù)軸上表示出兩個集合，

可見，若要兩個集合有公共部分，必須 。
答案: 。
3． 注意中集合元素形式的轉化。
例9、若 ， 則 。
（填“ ”或“ ”）
解析:對 進行分母有理化, ，
令 ，則 。
答案:
-------------------------------------------------------錯解點擊---------------------------------------------------
例10．方程組 的解集是……………( )。
.{(-3,0)} .{-3,0} .(-3,0) .{(0,-3)}
錯解：
正解：
分析：首先解這個方程組，得到一組解 ，注意到題目中要求寫出解集，即解的集合，按照集合的表示方法，一定要用大括號，所以 不對；集合的元素是方程組的解，是有序數(shù)對，須加小括號。
例11．下列四個關系中，正確的是…………………( )。
. .
. .
錯解：
正解：
分析：首先， 選項中， 易錯點 是空集，是不含任何元素的集合，而{ }不是空集，它是以一個 為元素的單元素集合，所以 { }； 選項中 是空集， { }是以一個 為元素的單元素集合，這兩個集合之間沒有“屬于”或“不屬于”的關系； 選項中 、 這兩個集合之間同樣沒有“屬于”或“不屬于”的關系； 選項中 是集合，同時也是 的一個元素，所以 是正確的。
例12．下列各題中 與 表示同一集合的是……( )。
.
.
.
.
錯解：
正解：
分析： 選項中集合 、 的元素都是有序數(shù)對，而 ，∴ ； 選項中 是空集，是不含任何元素的集合，而{ }不是空集，它是以一個 為元素的單元素集合，∴ ； 選項中集合 是函數(shù) 的值域，集合 是函數(shù) 圖像上的所有點的集合，同樣 ； 選項中集合 、 分別是函數(shù) 和函數(shù) 的值域，這兩個函數(shù)值域相同，此題選 。
五.課本習題解析
六.同步自測
-------------------------------------------------------雙基訓練-------------------------------------------------------
1. 下面四個命題正確的是（ ）
以內的質數(shù)集合是 “個子較高的人”不能構成集合
方程 的解集是 偶數(shù)集為
2.下列關系正確的是 （ ）
Z∈Q (2,1)∈{(2,1)}
N R 2∈{(2,1)}
3.已知A＝{x x≤3 ,x∈R}，a= , b=2 , 則（ ）
a∈A且b A a A且b∈A
a∈A且b∈A a A且b A
4.下列集合中，不同于另外三個的是（ ）


5. 下面命題：
① {2，3，4，2}是由四個元素組成的；
②集合{0}表示僅一個數(shù)“零”組成的集合；
③集合{1，2，4}與{4，1，2}是同一集合；
④集合{小于1的正有理數(shù)}是一個有限集。
其中正確的是（ ）
③④ ②③ ①② ②

6.集合 面積為 的矩形 ， 面積為 的正三角形 ，則正確的是（ ）
A. 都是無限集
B. 都是有限集
C. 是有限集 是無限集
D. 是有限集 是無限集
7.用列舉法表示集合： ；
8.用描述法寫出直角坐標系中，不在坐標軸上的點的坐標組成的集合 ；
9.設 都是非零的實數(shù)， 則 的值組成的集合的元素個數(shù)為 ；
10. 集合 中的元素 所應滿足的條件是 ；
11.若集合 有且只有一個元素，則實數(shù) 的取值集合是 ；
12.設直線 上的點集為 ，則 ，點（2，7）與 的關系為
（2，7） 。
13. 已知 ，若集合 中恰有3個元素，求
14. 已知 ， ， ，求
15. 已知集合A={xx=a+b ，a，b∈R}，判斷下列元素x與集合A之間的關系：
（1）x=0；（2）x= ；（3）x= 。
-------------------------------------------------------綜合提高-------------------------------------------------------
16. 設下面8個關系式 ，
其中正確的個數(shù)是（ ）
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
17. 集合M={(x，y) ≥0，x∈R，y∈R}的意義是（ ）
A．第一象限的點
B．第三象限的點
C． 第一和第三象限的點
D． 不在第二象限也不在第四象限的點
18.下列各式中錯誤的是（ ）
A．.-3
B．
C．
D．
19. ,下列不屬于 的是（ ）
. . . .
20.方程組 的解集可表示為① ② ③
④ ⑤
以上正確的個數(shù)是（ ）
5 個 4個 3個 2個
21.已知下列四個條件：
①數(shù)軸上到原點距離大于 的點的全體
②大于 且小于 的全體素數(shù)
③與 非常接近的實數(shù)的全體
④實數(shù)中不是無理數(shù)的所有數(shù)的全體
其中能夠組成集合的是 ；
22. 關于 的方程 ，當實數(shù) 滿足條件 時，方程的解集是有限集；當實數(shù) 滿足條件 時，方程的解集是無限集。
23.已知集合 ，用列舉法表示 ；
24.用特征性質描述法表示直角坐標平面內的橫坐標與縱坐標相等的點的集合是 ；
25.已知 求實數(shù) 的值
26. 已知集合 用列舉法表示集合 。
27. 已知集合A= ，若A中元素至多只有一個，求實數(shù) 的取值范圍。
七.相關鏈接
為科學而瘋的人——康托
康托(Contor,Georg)(1845-1918)，俄羅斯—德國數(shù)學家、19世紀數(shù)學偉大成就之一——集合論的創(chuàng)立人。康托自幼對數(shù)學有濃厚興趣。23歲獲博士學位，以后一直從事數(shù)學與研究。他所創(chuàng)立的集合論已被公認為全部數(shù)學的基礎。
1874年康托的有關無窮的概念，震撼了知識界�？低袘{借古代與中世紀哲學著作中關于無限的思想而導出了關于數(shù)的本質新的思想模式，建立了處理數(shù)學中的無限的基本技巧，從而極大地推動了分析與邏輯的發(fā)展。他研究數(shù)論和用三角函數(shù)唯一地表示函數(shù)等問題，發(fā)現(xiàn)了驚人的結果：證明有理數(shù)是可列的，而全體實數(shù)是不可列的。
由于研究無窮時往往推出一些合乎邏輯的但又荒謬的結果(稱為“悖論”)，許多大數(shù)學家唯恐陷進去而采取退避三舍的態(tài)度。在1874—1876年期間，不到30歲的康托向神秘的無窮宣戰(zhàn)。他靠著辛勤的汗水，成功地證明了一條直線上的點能夠和一個平面上的點一一對應，也能和空間中的點一一對應。這樣看起來，1厘米長的線段內的點與太平洋面上的點，以及整個地球內部的點都“一樣多”，后來幾年，康托對這類“無窮集合”問題發(fā)表了一系列文章，通過嚴格證明得出了許多驚人的結論。
康托的創(chuàng)造性工作與傳統(tǒng)的數(shù)學觀念發(fā)生了尖銳沖突，遭到一些人的反對、攻擊甚至謾罵。有人說，康托的集合論是一種“疾病”，康托的概念是“霧中之霧”，甚至說康托是“瘋子”。
來自數(shù)學權威們的巨大精神壓力終于摧垮了康托，使他心力交瘁，患了精神分裂癥，被送進精神病醫(yī)院。他在集合論方面許多非常出色的成果，都是在精神病發(fā)作的間歇時期獲得的。
真金不怕火煉，康托的思想終于大放光彩。1897年舉行的第一次國際數(shù)學家會議上，他的成就得到承認，偉大的哲學家、數(shù)學家羅素稱贊康托的工作“可能是這個時代所能夸耀的最巨大的工作�！笨墒沁@時康托仍然神志恍惚，不能從人們的崇敬中得到安慰和喜悅。1918年1月6日，康托在一家精神病院去世。

高考解密
考點導航
05考綱
考題展示
考點①了解映射的概念,理解函數(shù)的概念
1.(2004年,湖北)
解
答案
2.(2004年,湖北)
解法一
解法二
答案
考點②


參考答案
1.1集合與集合的表示方法------------------------------------------
1.B 2.B 3. C 4. C 5. B 6. D
7. {（0，5），（1，3）（2，1）}
8. }
9. {3,-1}
10.
11. { 或 }
12.
13. 6
14.
15. 令 ，則x
(2) x= = ,令 即可，x
(3) x= , x .
16.C 17. D 18.C 19. A 20. A 21. ①②④ 22.
23. {0，6，14，21}
24. { }
25. 若 則 不成立； 成立；
若 則 不成立；
若 則 或 均不成立。
綜上所述，
26. {-7，-1，1，2，3，4}
27. 若 滿足題意；
若 。
綜上所述， 或 。

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