第三課時(shí) 球的表面積與體積
（一）目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
（1）了解球的表面積與體積公式（不要求記憶公式）.
（2）培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力.
2．過(guò)程與方法
通過(guò)作軸截面，尋找旋轉(zhuǎn)體類組合體中量與量之間的關(guān)系.
3．情感、態(tài)度與價(jià)值
讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.
（二）重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：球的表面積與體積的計(jì)算
難點(diǎn)：簡(jiǎn)單組合體的體積計(jì)算
（三）教學(xué)方法
講練結(jié)合
教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
新課引入復(fù)習(xí)柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積，點(diǎn)出主題.師生共同復(fù)習(xí)，教師點(diǎn)出點(diǎn)題（板書(shū)）復(fù)習(xí)鞏固
探索新知1．球的體積：
2．球的表面積：
師：設(shè)球的半徑為R，那么它的體積： ，它的面積 現(xiàn)在請(qǐng)大家觀察這兩個(gè)公式，思考它們都有什么特點(diǎn)？
生：這兩個(gè)公式說(shuō)明球的體積和表面積都由球的半徑R惟一確定.其中球的體積是半徑R的三次函數(shù)，球的表面積是半徑R的二次函數(shù).
師 (肯定) ：球的體積公式和球的表面積公式以后可以證明.這節(jié)課主要學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用.加強(qiáng)對(duì)公式的認(rèn)識(shí)培養(yǎng)學(xué)生理解能力
典例分析例1 如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證：
（1）球的體積等于圓柱體積的 ；
（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.
證明：（1）設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R，高為2R.
因?yàn)?，
，
所以， .
（2）因?yàn)?，
，
所以，S球 = S圓柱側(cè).
例2 球與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切，且球面面積與圓臺(tái)的側(cè)面積之比為3:4，則球的體積與圓臺(tái)的體積之比為（ ）
A．6:13 B．5:14
C．3:4 D．7:15
【解析】如圖所示，作圓臺(tái)的軸截面等腰梯形ABCD，球的大圓O內(nèi)切于梯形ABCD.
設(shè)球的半徑為R，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r1、r2，由平面幾何知識(shí)知，圓臺(tái)的高為2R，母線長(zhǎng)為r1 + r2.
∵∠AOB = 90°，OE⊥AB (E為切點(diǎn))，
∴R2 = OE2 = AE?BE = r1?r2.
由已知S球∶S圓臺(tái)側(cè)= 4 R2∶ (r1+r2)2 = 3∶4
(r1 + r2)2 =
V球∶V圓臺(tái) =
= 故選A.
例3 在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩垂直且PA = PB = PC = a，求這個(gè)球的體積.
解：∵PA、PB、PC兩兩垂直，
PA = PB = PC = a.
∴以PA、PB、PC為相鄰三條棱可以構(gòu)造正方體.
又∵P、A、B、C四點(diǎn)是球面上四點(diǎn)，
∴球是正方體的外接球 ，正方體的對(duì)角線是球的直徑.
∴ .
∴

教師投影例1并讀題，學(xué)生先獨(dú)立完成.教師投影答案并點(diǎn)評(píng)（本題聯(lián)系各有關(guān)量的關(guān)鍵性要素是球的半徑）



教師投影例2并讀題，
師：請(qǐng)大家思考一下這道題中組合體的結(jié)構(gòu)特征.
生：球內(nèi)切于圓臺(tái).
師：你準(zhǔn)備怎樣研究這個(gè)組合體？
生：畫(huà)出球和圓臺(tái)的軸截面.
師：圓臺(tái)的高與球的哪一個(gè)量相等？
生：球的直徑.
師：根據(jù)球和圓臺(tái)的體積公式，你認(rèn)為本題解題關(guān)鍵是什么？
生：求出球的半徑與圓臺(tái)的上、下底面半徑間的關(guān)系.
師投影軸截面圖，邊分析邊板書(shū)有關(guān)過(guò)程.
師：簡(jiǎn)單幾何體的切接問(wèn)題，包括簡(jiǎn)單幾何體的內(nèi)外切和內(nèi)外接，在解決這類問(wèn)題時(shí)要準(zhǔn)確地畫(huà)出它們的圖形，一般要通過(guò)一些特殊點(diǎn)，如切點(diǎn)，某些頂點(diǎn)，或一些特殊的線，如軸線或高線等，作幾何體的截面，在截面上運(yùn)用平面幾何的知識(shí)，研究有關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而把問(wèn)題解決.



教師投影例3并讀題，學(xué)生先思考、討論，教師視情況控制時(shí)間，給予引導(dǎo)，最后由學(xué)生分析，教師板書(shū)有關(guān)過(guò)程.
師：計(jì)算球的體積，首先必須先求出球的半徑.由于PA、PB、PC是兩兩垂直的而且相等的三條棱，所以P ? ABC可以看成一個(gè)正方體的一角，四點(diǎn)P、A、B、C在球上，所以此球可視為PA、PB、PC為相鄰三條棱的正方體的外接球，其直徑為正方體的對(duì)角線.本題較易，學(xué)生獨(dú)立完成，有利于培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決的能力.

通過(guò)師生討論，突破問(wèn)題解決的關(guān)鍵，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和問(wèn)題解決的能力.

本題有兩種解題方法，此處采用構(gòu)造法解題，目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想，轉(zhuǎn)化化歸的能力.另一種方法，因要應(yīng)用球的性質(zhì)，可在以后討論.
隨堂練習(xí)1．（1）將一個(gè)氣球的半徑擴(kuò)大1倍，它的體積擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍？
（2）一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長(zhǎng)是a cm，求球的體積.
（3）一個(gè)球的體積是100 cm2，試計(jì)算它的表面積( 取3.14，結(jié)果精確到1cm2，可用計(jì)算器).
參考答案：
1．（1）8倍；（2） （3）104.學(xué)生獨(dú)立完成鞏固所學(xué)知識(shí)
歸納總結(jié)1．球的體積和表面積
2．等積變換
3．軸截面的應(yīng)用學(xué)生獨(dú)立思考、歸納，然后師生共同交流、完善歸納知識(shí)，提高學(xué)生自我整合知識(shí)的能力.
課后作業(yè)1.3 第三課時(shí) 習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成固化練習(xí)
提升能力
備用例題
例1．已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AC = BC = 6，AB = 4，求球面面積與球的體積．
【分析】 可以用球的截面性質(zhì)。即截面小圓的圓心到球心的線段垂直于截面小圓平面．
【解析】 如圖，設(shè)球心為O，球半徑為R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA = OB = OC = R，則O1是△ABC的外心．
設(shè)M是AB的中點(diǎn)，由于AC = BC，則O1∈CM．
設(shè)O1M = x，易知O1M⊥AB，則O1A = ，O1C = CM ? O1M = ? x
又O1A = O1C
∴ ．解得
則O1A = O1B = O1C = ．
在Rt△OO1A中，O1O = ，∠OO1A = 90°，OA = R，
由勾股定理得 ．解得 ．
故 ．
例2．如圖所示棱錐P ? ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為a，PD = a，PA = PC = ，且PD是四棱錐的高．
（1）在這個(gè)四棱錐中放入一個(gè)球，求球的最大半徑；
（2）求四棱錐外接球的半徑．
【分析】（1）當(dāng)所放的球與四棱錐各面都相切時(shí)球的半徑最大，即球心到各個(gè)面的距離均相等，聯(lián)想到用體積分割法求解．（2）四棱錐的外接球的球心到P、A、B、C、D五點(diǎn)的距離均為半徑，只要找出球心的位置即可．球心O在過(guò)底面中心E且垂直于底面的垂線上．
【解析】（1）設(shè)此球半徑為R，最大的球應(yīng)與四棱錐各個(gè)面都相切，設(shè)球心為S，連結(jié)SA、SB、SC、SP，則把此四棱錐分為五個(gè)棱錐，設(shè)它們的高均為R．
，
，
，
S□ABCD = a2．
VP ? ABCD = VS ? PDA + VS ? PDC + V S ? ABCD + VS ? PAB + Vs ? PBC ，
，
，
所以 ， ，
即球的最大半徑為 ．
（2）法一：設(shè)PB的中點(diǎn)為F．
因?yàn)樵赗t△PDB中，F(xiàn)P = FB = FD，
在Rt△PAB中，F(xiàn)A = FP = FB，
在Rt△PBC中，F(xiàn)P = FB = FC，
所以FP = FB = FA = FC = FD．
所以F為四棱錐外接球的球心，則FP為外接球的半徑．
法二：球心O在如圖EF上，設(shè)OE = x，EA = ，
又
即球心O在PB中點(diǎn)F上．

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaoyi/64097.html

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