第三課時 球的表面積與體積
（一）目標
1．知識與技能
（1）了解球的表面積與體積公式（不要求記憶公式）.
（2）培養(yǎng)學生空間想象能力和思維能力.
2．過程與方法
通過作軸截面，尋找旋轉體類組合體中量與量之間的關系.
3．情感、態(tài)度與價值
讓學生更好地認識空間幾何體的結構特征，培養(yǎng)學生學習的興趣.
（二）重點、難點
重點：球的表面積與體積的計算
難點：簡單組合體的體積計算
（三）教學方法
講練結合
教學過程教學內容師生互動設計意圖
新課引入復習柱體、錐體、臺體的表面積和體積，點出主題.師生共同復習，教師點出點題（板書）復習鞏固
探索新知1．球的體積：
2．球的表面積：
師：設球的半徑為R，那么它的體積： ，它的面積 現在請大家觀察這兩個公式，思考它們都有什么特點？
生：這兩個公式說明球的體積和表面積都由球的半徑R惟一確定.其中球的體積是半徑R的三次函數，球的表面積是半徑R的二次函數.
師 (肯定) ：球的體積公式和球的表面積公式以后可以證明.這節(jié)課主要學習它們的應用.加強對公式的認識培養(yǎng)學生理解能力
典例分析例1 如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證：
（1）球的體積等于圓柱體積的 ；
（2）球的表面積等于圓柱的側面積.
證明：（1）設球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R，高為2R.
因為 ，
，
所以， .
（2）因為 ，
，
所以，S球 = S圓柱側.
例2 球與圓臺的上、下底面及側面都相切，且球面面積與圓臺的側面積之比為3:4，則球的體積與圓臺的體積之比為（ ）
A．6:13 B．5:14
C．3:4 D．7:15
【解析】如圖所示，作圓臺的軸截面等腰梯形ABCD，球的大圓O內切于梯形ABCD.
設球的半徑為R，圓臺的上、下底面半徑分別為r1、r2，由平面幾何知識知，圓臺的高為2R，母線長為r1 + r2.
∵∠AOB = 90°，OE⊥AB (E為切點)，
∴R2 = OE2 = AE?BE = r1?r2.
由已知S球∶S圓臺側= 4 R2∶ (r1+r2)2 = 3∶4
(r1 + r2)2 =
V球∶V圓臺 =
= 故選A.
例3 在球面上有四個點P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩垂直且PA = PB = PC = a，求這個球的體積.
解：∵PA、PB、PC兩兩垂直，
PA = PB = PC = a.
∴以PA、PB、PC為相鄰三條棱可以構造正方體.
又∵P、A、B、C四點是球面上四點，
∴球是正方體的外接球 ，正方體的對角線是球的直徑.
∴ .
∴

教師投影例1并讀題，學生先獨立完成.教師投影答案并點評（本題聯系各有關量的關鍵性要素是球的半徑）



教師投影例2并讀題，
師：請大家思考一下這道題中組合體的結構特征.
生：球內切于圓臺.
師：你準備怎樣研究這個組合體？
生：畫出球和圓臺的軸截面.
師：圓臺的高與球的哪一個量相等？
生：球的直徑.
師：根據球和圓臺的體積公式，你認為本題解題關鍵是什么？
生：求出球的半徑與圓臺的上、下底面半徑間的關系.
師投影軸截面圖，邊分析邊板書有關過程.
師：簡單幾何體的切接問題，包括簡單幾何體的內外切和內外接，在解決這類問題時要準確地畫出它們的圖形，一般要通過一些特殊點，如切點，某些頂點，或一些特殊的線，如軸線或高線等，作幾何體的截面，在截面上運用平面幾何的知識，研究有關元素的位置關系和數量關系，進而把問題解決.



教師投影例3并讀題，學生先思考、討論，教師視情況控制時間，給予引導，最后由學生分析，教師板書有關過程.
師：計算球的體積，首先必須先求出球的半徑.由于PA、PB、PC是兩兩垂直的而且相等的三條棱，所以P ? ABC可以看成一個正方體的一角，四點P、A、B、C在球上，所以此球可視為PA、PB、PC為相鄰三條棱的正方體的外接球，其直徑為正方體的對角線.本題較易，學生獨立完成，有利于培養(yǎng)學生問題解決的能力.

通過師生討論，突破問題解決的關鍵，培養(yǎng)學生空間想象能力和問題解決的能力.

本題有兩種解題方法，此處采用構造法解題，目標培養(yǎng)學生聯想，轉化化歸的能力.另一種方法，因要應用球的性質，可在以后討論.
隨堂練習1．（1）將一個氣球的半徑擴大1倍，它的體積擴大到原來的幾倍？
（2）一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長是a cm，求球的體積.
（3）一個球的體積是100 cm2，試計算它的表面積( 取3.14，結果精確到1cm2，可用計算器).
參考答案：
1．（1）8倍；（2） （3）104.學生獨立完成鞏固所學知識
歸納總結1．球的體積和表面積
2．等積變換
3．軸截面的應用學生獨立思考、歸納，然后師生共同交流、完善歸納知識，提高學生自我整合知識的能力.
課后作業(yè)1.3 第三課時 習案學生獨立完成固化練習
提升能力
備用例題
例1．已知過球面上三點A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AC = BC = 6，AB = 4，求球面面積與球的體積．
【分析】 可以用球的截面性質。即截面小圓的圓心到球心的線段垂直于截面小圓平面．
【解析】 如圖，設球心為O，球半徑為R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA = OB = OC = R，則O1是△ABC的外心．
設M是AB的中點，由于AC = BC，則O1∈CM．
設O1M = x，易知O1M⊥AB，則O1A = ，O1C = CM ? O1M = ? x
又O1A = O1C
∴ ．解得
則O1A = O1B = O1C = ．
在Rt△OO1A中，O1O = ，∠OO1A = 90°，OA = R，
由勾股定理得 ．解得 ．
故 ．
例2．如圖所示棱錐P ? ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長為a，PD = a，PA = PC = ，且PD是四棱錐的高．
（1）在這個四棱錐中放入一個球，求球的最大半徑；
（2）求四棱錐外接球的半徑．
【分析】（1）當所放的球與四棱錐各面都相切時球的半徑最大，即球心到各個面的距離均相等，聯想到用體積分割法求解．（2）四棱錐的外接球的球心到P、A、B、C、D五點的距離均為半徑，只要找出球心的位置即可．球心O在過底面中心E且垂直于底面的垂線上．
【解析】（1）設此球半徑為R，最大的球應與四棱錐各個面都相切，設球心為S，連結SA、SB、SC、SP，則把此四棱錐分為五個棱錐，設它們的高均為R．
，
，
，
S□ABCD = a2．
VP ? ABCD = VS ? PDA + VS ? PDC + V S ? ABCD + VS ? PAB + Vs ? PBC ，
，
，
所以 ， ，
即球的最大半徑為 ．
（2）法一：設PB的中點為F．
因為在Rt△PDB中，FP = FB = FD，
在Rt△PAB中，FA = FP = FB，
在Rt△PBC中，FP = FB = FC，
所以FP = FB = FA = FC = FD．
所以F為四棱錐外接球的球心，則FP為外接球的半徑．
法二：球心O在如圖EF上，設OE = x，EA = ，
又
即球心O在PB中點F上．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaoyi/64097.html

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