江蘇省南通第一中學2012—2013學年度第一學期期中考試卷高一數(shù)學說明1.本試卷滿分160分,考試時間120分鐘;2.在答題紙的密封線內填寫班級、姓名、考號,在右下角填上座位號,密封線內不要答題;3.請將所有答案按照題號填寫在答題紙相應的答題處,否則不得分.
一、題:本大題共14小題,每小題5分,共70分,請把答案填寫在答題紙相應的位置上1.若 ,則 ▲ .2.函數(shù) 的定義域是 ▲ .3.已知冪函數(shù) 的圖象過點 ,則 ▲ .4.設函數(shù) 滿足 ,則 的表達式是 ▲ .5.函數(shù) 的值域是 ▲ .6.若 , ,則用“>”將 按從大到小可排列為 ▲ .7.已知函數(shù) ,則 ▲ .8.若函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值與最小值之和為 ,則a的值為 ▲ .9.給定函數(shù):① ,② ,③ ,④ ,其中在區(qū)間 上是單調減函數(shù)的序號是 ▲ .(填上所有你認為正確的結論的序號)10.已知方程 的解所在區(qū)間為 ,則 = ▲ .11.已知函數(shù) 在區(qū)間 上是減函數(shù),則 的取值范圍是 ▲ .12.定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù) 滿足:① 在 內單調遞增,② ,則不等式 的解集為 ▲ .13.已知函數(shù) ,當 時, 恒成立,則實數(shù) 的取值范圍是 ▲ .14.已知函數(shù) ,現(xiàn)給出下列命題:① 當其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線時,則 = ;② 當其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線時,能找到一個非零實數(shù) 使 在 上是增函數(shù);③ 當 時,不等式 恒成立;④ 函數(shù) 是偶函數(shù).其中正確命題的序號是 ▲ .(填上所有你認為正確的命題的序號)
二、解答題:本大題共6小題,共計90分,請在答題紙相應的位置上作答,解答時應寫出字說明、證明或演算步驟15.(本小題滿分14分)設全集 R,集合 , .(1)求 ; (2)若集合 ,滿足 ,求實數(shù) 的取值范圍 16.(本小題滿分14分)(1)計算 的值;(2)已知 ,求 和 的值.17.(本小題滿分15分)已知 為定義在R上的奇函數(shù),當 時, 為二次函數(shù),且滿足 , 在 上的兩個零點為 和 .(1)求函數(shù) 在R上的解析式;(2)作出 的圖象,并根據(jù)圖象討論關于 的方程 根的個數(shù).18.(本小題滿分15分)已知函數(shù) ,其中 ,記函數(shù) 的定義域為D.(1)求函數(shù) 的定義域D;(2)若函數(shù) 的最小值為 ,求 的值;(3)若對于D內的任意實數(shù) ,不等式 < 恒成立,求實數(shù) 的取值范圍.
19.(本小題滿分16分)已知函數(shù) ( R).(1)試判斷 的單調性,并證明你的結論;(2)若 為定義域上的奇函數(shù),① 求函數(shù) 的值域;② 求滿足 的 的取值范圍.
20.(本小題滿分16分)若函數(shù) 滿足下列條件:在定義域內存在 使得 成立,則稱函數(shù) 具有性質 ;反之,若 不存在,則稱函數(shù) 不具有性質 .(1)證明:函數(shù) 具有性質 ,并求出對應的 的值;(2) 已知函數(shù) 具有性質 ,求 的取值范圍;(3)試探究形如:① ,② ,③ ,④ ,⑤ 的函數(shù),指出哪些函數(shù)一定具有性質 ?并說明理由.
江蘇省南通第一中學2012—2013學年度第一學期期中考試高一數(shù)學參考答案一、題:本大題共14小題,每小題5分,共70分,請把答案填寫在答題紙相應的位置上.1. 2. 3.9 4. (或寫成 )5. 6.c>a>b7.4 8. 9.②④ 10.411.a(chǎn)≤ 12. 13. 14.①③ 二、解答題:本大題共6小題,共計90分,請在答題紙相應的位置上作答,解答時應寫出字說明、證明或演算步驟.15.(本小題滿分14分) 解:(1)∵ ∴ ……………………………………4分∴ ……………………………………7分(2)由 得 ……………………………………9分 根據(jù)數(shù)軸可得 , ……………………………………12分從而 ……………………………………14分
16.(本小題滿分14分)解:(1)原式 …………………………………4分 …………………………………7分(2) …………………………………10分 ∵ ∴由 得 …………………………………14分 (注:不指出 得 扣1分;直接得 扣2分)
17.(本小題滿分15分)解:(1)由題意,當 時,設 , ,∴ ,∴ ……………………………2分 (注:設 一樣給分)當 時, ,∵ 為 上的奇函數(shù),∴ , ∴ 即 時, ……………………………5分 當 時,由 得: ……………………………6分 所以 . ……………………………7分
(2)作出 的圖象(如圖所示) …………………10分 (注: 的點或兩空心點不標注扣1分,不要重復扣分)
由 得: ,在圖中作 ,根據(jù)交點討論方程的根: 當 或 時,方程有 個根; ………………………………………11分 當 或 時,方程有 個根; ………………………………………12分 當 或 時,方程有 個根; ………………………………………13分 當 或 時,方程有 個根; ………………………………………14分 當 時,方程有 個根. ………………………………………15分
18.(本小題滿分15分) 解:(1)要使函數(shù)有意義:則有 ,解得 ∴ 函數(shù)的定義域D為 ………………………………………2分 (2) , ,即 , …………5分由 ,得 , . ……………………………7分(注: 不化簡為 扣1分)(3)由題知-x2+2x-2+2<1在x∈ 上恒成立,-2x+2-2+1>0在x∈ 上恒成立, ……………………………8分令g(x)=x2-2x+2-2+1,x∈ ,配方得g(x)=(x-)2-2+1,其對稱軸為x=,①當≤-3時, g(x)在 為增函數(shù),∴g(-3)= (-3-)2-2+1= 2+4 +10≥0,而2+4 +10≥0對任意實數(shù)恒成立,∴≤-3. ………………………10分②當-3<<1時,函數(shù)g(x)在(-3,-1)為減函數(shù),在(-1, 1)為增函數(shù),∴g()=-2+1>0,解得< ∴-3<< …………………12分③當≥1時,函數(shù)g(x)在 為減函數(shù),∴g(1)= (1-)2-2+1= 2-4 +2≥0,解得≥ 或≤ , ∴-3<< …………………14分綜上可得,實數(shù)的取值范圍是 (-∞, )∪[ ,+∞) …………………15分
19.(本小題滿分16分)解:(1)函數(shù) 為定義域(-∞,+∞),且 ,任取 (-∞,+∞),且 則 ………………3分∵ 在 上單調遞增,且 ∴ , , , ,∴ ,即 ,∴ 在(-∞,+∞)上的單調增函數(shù). …………………5分(2)∵ 是定義域上的奇函數(shù),∴ ,即 對任意實數(shù) 恒成立, 化簡得 ,∴ ,即 , ………………8分(注:直接由 得 而不檢驗扣2分)①由 得 ,∵ ,∴ , ……………10分∴ ,∴ 故函數(shù) 的值域為 . ………………………………………………12分②由 得 ,且 在(-∞,+∞)上單調遞增,∴ , …………………………14分解得 ,故 的取值范圍為 . ……………………………………………………16分
20.(本小題滿分16分)解:(1)證明: 代入 ,得: ,即 , ……………………………………2分解得 ,∴函數(shù) 具有性質 . …………………………………3分(2) 的定義域為R,且可得 ,]∵ 具有性質 ,∴存在 ,使得 ,代入得 ,化為 ,整理得: 有實根, ……………………………5分①若 ,得 ,滿足題意; ……………………………………………6分②若 ,則要使 有實根,只需滿足 ,即 ,解得 ,∴ ,綜合①②,可得 ………………………………………8分(3)解法一:函數(shù) 恒具有性質 ,即關于 的方程 (*)恒有解. ………………………………………9分 ①若 ,則方程(*)可化為 整理, 得 ,當 時,關于 的方程(*)無解,∴ 不恒具備性質 ; ………………………………………10分②若 ,則方程(*)可化為 ,解得 ,∴函數(shù) 一定具備性質 ; …………………12分③若 ,則方程(*)可化為 無解,∴ 不具備性質 ; ……………………………………………13分④若 ,則方程(*)可化為 ,化簡得 ,當 時,方程(*)無解,∴ 不恒具備性質 ; …………………………14分⑤若 ,則方程(*)可化為 ,化簡得 ,顯然方程無解,∴ 不 具備性質 ; …………………………15分綜上所述,只有函數(shù) 一定具備性質 . …………16分(注:第(3)問直接得 一定具備性質 而不說明理由只給1分)
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