福建師大附中
2014—2013學年度上學期期末考試
高一數(shù)學試題
（滿分：150分，時間：120分鐘）
說明：請將答案填寫在答卷紙上，考試結(jié)束后只交答案卷.
第1卷 共100分
一、：（每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求）
1. 下列條件中，能使 的條件是（***** ）
A. 平面 內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面 B. 平面 與平面 同平行于一條直線
C. 平面 內(nèi)有兩條直線平行于平面 D. 平面 內(nèi)有兩條相交直線平行于平面
2、直線 的傾斜角與在 軸上的截距分別是（***** ）
A. 135°，1 B. 45°，－1 C. 45°，1 D. 135°，－1
3、三個平面把空間分成７部分時，它們的交線有（***** ）
Ａ．１條　　 Ｂ．２條　 �。茫�３條　　 Ｄ．１或２條
4、已知直線 ， 互相平行，則 的值是（***** ）
A． B 1 C． 或 D．
5、設 是兩個不同的平面， 是一條直線，以下命題正確的是（***** ）
A．若 ，則 B．若 ，則
C．若 ，則 D．若 ，則
6、已知點 在直線 上，則 的最小值為（***** ）
A．2 B． 3 C． D．5
7、一梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形，且梯形OA/B/C/的面積為 ，
則原梯形的面積為（***** ）
A． 2 B． C．2 D． 4
8、若 為圓 的弦 的中點，則直線 的方程為（****）
A． B．
C． D．
9、長方體的三個相鄰面的面積分別為2，3，6，這個長方體的頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積為（***** ）
A． B．56πC．14π D．64π
10、已知圓 ： + =1，圓 與圓 關(guān)于直線 對稱，
則圓 的方程為（***** ）
A． + =1 B． + =1
C． + =1 D． + =1
11、點 是圓 內(nèi)不為圓心的一點，則直線 與該圓的位置關(guān)系是（***** ）
A．相切 B．相交 C．相離D．相切或相交
12、如圖，正方體 的棱長為1，線段 上有兩個動點E，F(xiàn)，
且 ，則下列結(jié)論中錯誤的是（***** ）
A． ， 為異面直線，且
B．
C．三棱錐 的體積為定值
D．
二、題：（本大題6小題，每小題5分，共30分，把答案填在答卷上）
13、過點 的直線的傾斜角等于 ，則 的值是_******_
14、直線 當 變化時，所有直線都通過定點_******_
15、若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_******_
16、兩平行線 間的距離是_******_
17、集合 ，其中 ，
若 中有且僅有一個元素，則 的值是_******_
18、將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下四個結(jié)論：
①AC⊥BD；
②△ACD是等邊三角形；
③二面角 的度數(shù)為 ；
④AB與CD所成的角是60°。
其中正確結(jié)論的序號是_******_
三、解答題：（本大題共6題，滿分60分）
19．（本小題滿分8分）
如圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，會溢出杯子嗎?請用你的計算數(shù)據(jù)說明理由．
20．（本小題滿分10分）
如圖，在平行四邊形 中，點O是原點，點 和點 的坐標分別是 、 ，點 是線段 上的動點。
（1）求 所在直線的一般式方程；
（2）當 在線段 上運動時，求線段 的中點 的軌跡方程．
21．（本小題?分12分）
如圖，長方體 中， ，
，點 為 的中點．
（1）求證：直線 ∥平面 ；
（2）求證：平面 平面 ；
（3）求 與平面 所成的角大小．
22、（本小題滿分10分）
如圖所示，一隧道內(nèi)設雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形構(gòu)成。已知隧道總寬度AD為 m，行車道總寬度BC為 m，側(cè)墻EA、FD高為2m，弧頂高MN為5m。
（1）建立直角坐標系，求圓弧所在的圓的方程；
（2）為保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5 m。請計算車輛通過隧道的限制高度是多少。
23、（本小題?分10分）
如圖，四面體ABCD中，O、E分別為BD、BC的中點，
且CA = CB = CD = BD = 2，AB = AD = 。
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求 異面直線AB與CD所成角的余弦值。
24、(本小題滿分10分)
已知圓 的圓心為C,直線L： 。
(1)若 ,求直線L被圓C所截得的弦長 的最大值；
(2)若 ,求直線L被圓C所截得的弦長 的最大值；
(3)若直線L是圓心C下方的切線，當 變化時，求實數(shù) 的取值范圍。
25、附加題.（10分）設 點是圓 上的動點，過點 作圓 的兩條切線，切點分別為 ,切線 分別交 軸于 兩點．是否存在點 ，使得線段 被圓 在點 處的切線平分？若存在，求出點 的縱坐標；若不存在，說明理由．
參考答案
第1卷 共100分
一、：DDCAC; BDACA; CD
二、題：
13、 ; 14、（3，1） ;15、1; 16、 17、3或7 18、①②④
三、解答題：
19．（本小題滿分8分）
解： 由圖可知 ；
；
因為 ，
所以，冰淇淋融化了，不會溢出杯子．
20．（本小題滿分10分）
21．（本題?分12分）
（1）證明：設AC和BD交于點O，連PO，
由P，O分別是 ，BD的中點，故PO// ，
∵ 平面 , 平面
所以直線 ∥平面
（2）長方體 中， ，
底面ABCD是正方形，則AC BD
又 面ABCD，則 AC，
∵ 平面 , 平面 ，
∴AC 面
∵ 平面 ∴平面 平面
（3）由（2）已證：AC 面
∴ 在平面 內(nèi)的射影為OP
∴ 是 與平面 所成的角,依題意得 , ,
在Rt△CPO中， ,∴ = ∴ 與平面 所成的角為
22. （本小題滿分10分）
23、（本小題?分10分）（1）證明： ?ABD中
∵AB = AD = ，O是BD中點，BD = 2
∴ AO ⊥ BD 且 = 1
?BCD中，連結(jié)OC ∵ BC = DC = 2
∴ CO ⊥ BD 且
?AOC中 AO = 1，CO = ，AC = 2
∴ AO 2 + CO 2 = AC 2 故 AO ⊥ CO
∴ AO ⊥平面BCD
（2）取AC中點F，連結(jié)OF、OE、EF
?ABC中 E、F分別為BC、AC中點
∴ EF∥AB，且
?BCD中 O、E分別為BD、BC中點
∴ OE∥CD 且
∴ 異面直線AB與C D所成角等于∠OEF（或其補角）
又OF是Rt?AOC斜邊上的中線 ∴
∴ 等腰?OEF中
24、(本小題滿分10分)解：圓C的方程可化為(x-a)2+(y-3a)2=4a
∴圓心為C（a,3a）,半徑為r=2
（1）若a=2，則c(2,6),r= ,
∵弦AB過圓心時最長，∴ max=4
（2）若m=2，則圓心C（a,3a）到直線x-y+2=0的距離
d= ,r=2
直線與圓相交，
又 =2 ，
∴當a=2時， max=2 ，
（3）圓心C（a,3a）到直線x-y+m=0的距離d=
∵直線L是圓心C的切線，∴d=r , ,
∴m=2a±
∵直線L是圓心C下方, ∴m=2a-2 =( -1)2-1
∵ ，∴當a= 時,mmin=-1; 當a=4時，,mmax=8-4 ，
故實數(shù)m的取值范圍是[-1,8-4 ]
附加題.（10分）設 點是圓 上的動點，過點 作圓 的兩條切線，切點分別為 ,切線 分別交 軸于 兩點．是否存在點 ，使得線段 被圓 在點 處的切線平分？若存在，求出點 的縱坐標；若不存在，說明理由．
解：設存在點 滿足條件
設過點 且與圓 相切的直線方程為：
則由題意得， ，化簡得：
設直線 的斜率分別為 ，則
圓 在點 處的切線方程為
令 ，得切線與 軸的交點坐標為
又得 的坐標分別為
由題意知，


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