第一、二章綜合能力檢測題
本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷非兩部分，滿分150分，時間120分鐘。
第Ⅰ卷(選擇題　共60分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的)
1．點C在線段AB上，且AC→＝25AB→，若AC→＝λBC→，則λ等于(　　)
A.23　　　　　　　　　B.32
C．－23D．－32
[答案]　C
[解析]　由AC→＝25AB→知，AC→?BC→＝2?3，且方向相反，∴AC→＝－23BC→，∴λ＝－23.

2．要想得到函數(shù)y＝sinx－π3的圖象，只須將y＝cosx的圖象(　　)
A．向右平移π3個單位
B．向左平移π3個單位
C．向右平移5π6個單位
D．向左平移5π6個單位
[答案]　C
[解析]　∵y＝sinx－π3＝cosπ2－x－π3
＝cos5π6－x＝cosx－5π6，
∴將y＝cosx的圖象向右移5π6個單位可得到
y＝sinx－π3的圖象．
3．設(shè)e1與e2是不共線向量，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，若a∥b且a≠b，則實數(shù)k的值為(　　)
A．1
B．－1
C．0
D．±1
[答案]　B
[解析]　∵a∥b，∴存在實數(shù)λ，使a＝λb(b≠0)，
∴ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
∵e1與e2不共線，∴k－λ＝0λk－1＝0，∴λ＝k＝±1，
∵a≠b，∴k≠1.
[點評]　e1與e2不共線，又a∥b，∴可知1k＝k1，∴k＝±1，∵a≠b，∴k＝－1.一般地，若e1與e2不共線，a＝e1＋ne2，b＝λe1＋μe2，若a∥b，則有λ＝nμ.
4．若sinθ＝，<1，－180°<θ<－90°，則tanθ等于(　　)
A.1－2
B．－1－2
C．±1－2
D．－1－2
[答案]　B
[解析]　∵－180°<θ<－90°，
∴sinθ＝<0，tanθ>0，
故可知tanθ＝－1－2.
5．△ABC中，AB→•BC→<0，BC→•AC→<0，則該三角形為(　　)
A．銳角三角形
B．直角三角形
C．鈍角三角形
D．不能確定
[答案]　C
[解析]　由AB→•BC→<0知，∠ABC為銳角；由BC→•AC→<0知∠ACB為鈍角，故選C.
6．設(shè)α是第二象限的角，且cosα2＝－cosα2，則α2所在的象限是(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[答案]　C
[解析]　∵α為第二象限角，∴α2為第一或三象限角，∵cosα2＝－cosα2，∴cosα2≤0，∴選C.
7．已知點A(2，－1)，B(4,2)，點P在x軸上，當PA→•PB→取最小值時，P點的坐標是(　　)
A．(2,0)
B．(4,0)
C.103，0
D．(3,0)
[答案]　D
[解析]　設(shè)P(x,0)，則PA→＝(2－x，－1)，PB→＝(4－x,2)，PA→•PB→＝(2－x)(4－x)－2＝x2－6x＋6＝(x－3)2－3，當x＝3時，取最小值－3，∴P(3,0)．
8．O是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足OB→－OC→＝OB→＋OC→－2OA→，則△ABC為(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等邊三角形
D．等腰直角三角形
[答案]　B
[解析]　∵OB→－OC→＝OC→＋OB→－2OA→，∴CB→＝AB→＋AC→，由向量加法的平行四邊形法則知，以AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩對角線長度相等，∴AB→⊥AC→.
9．如圖是函數(shù)f(x)＝Asinωx(A>0，ω>0)一個周期的圖象，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)的值等于(　　)

A.2
B.22
C．2＋2
D．22
[答案]　A
[解析]　由圖知：T＝8＝2πω，∴ω＝π4，
又A＝2，∴f(x)＝2sinπ4x，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋(5)＋f(6)＝2sinπ4＋sin2π4＋sin3π4＋sin4π4＋sin5π4＋sin6π4＝2sin3π4＝2.
[點評]　觀察圖象可知f(x)的圖象關(guān)于點(4,0)中心對稱，故f(3)＋f(5)＝0，f(2)＋f(6)＝0，又f(4)＝0，故原式＝f(1)＝2.
10．已知y＝Asin(ωx＋φ)在同一周期內(nèi)，x＝π9時有最大值12，x＝4π9時有最小值－12，則函數(shù)的解析式為(　　)
A．y＝2sinx3－π6
B．y＝12sin3x＋π6
C．y＝2sin3x－π6
D．y＝12sin3x－π6
[答案]　B
[解析]　由條件x＝π9時有最大值12，x＝4π9時有最小值－12可知，A＝12，T2＝4π9－π9，∴T＝2π3，∴ω＝3，
∴y＝12sin(3x＋φ)，將π9，12代入得，
12＝12sinπ3＋φ，
∴π3＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π6，
取k＝0知選B.
11．設(shè)點O是面積為4的△ABC內(nèi)部一點，且有OA→＋OB→＋2OC→＝0，則△AOC的面積為(　　)
A．2
B．1
C.12
D.13
[答案]　B
[解析]　如圖，以O(shè)A、OB為鄰邊作▱OADB，則OD→＝OA→＋OB→，結(jié)合條件OA→＋OB→＋2OC→＝0知，OD→＝－2OC→，

設(shè)OD交AB于，則OD→＝2O→，∴O→＝－OC→，
故O為C的中點，
∴S△AOC＝12S△CA＝14S△ABC＝14×4＝1.
12．已知sinα＋cosα＝713　(0<α<π)，則tanα＝(　　)
A．－512
B．－125
C.512
D．－125或－512
[答案]　B
[解析]　解法一：∵sinα＋cosα＝713，0<713<1,0<α<π，∴π2<α<π，
∴sinα>0，cosα<0，且sinα>cosα，
∴tanα<0且tanα>1，故選B.
解法二：兩邊平方得sinαcosα＝－60169，
∴tanαtan2α＋1＝－60169，∴60tan2α＋169tanα＋60＝0，
∴(12tanα＋5)(5tanα＋12)＝0，
∴tanα＝－125或－512，
∵0<α<π，sinα＋cosα＝713>0，∴tanα＝－125.
第Ⅱ卷(非選擇題　共90分)
二、題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)
13．已知扇形的圓心角為72°，半徑為20c，則扇形的面積為________．
[答案]　8πc2
[解析]　∵72°＝π180×72＝2π5，∴l(xiāng)＝2π5×20＝8π，
S＝12l•r＝12×8π×20＝80π(c2)．
14．已知a＝(3,4)，b＝(2，)且a與b夾角為銳角，則的取值范圍是________．
[答案]　>－32且≠83
[解析]　a•b＝6＋4>0，∴>－32，
又當a與b同向時，23＝4，∴＝83，
故>－32且≠83.
15．集合A＝{xkπ－π4<x<kπ＋π4，k∈Z}，B＝{xsinx>12}，則A∩B＝________.
[答案]　{xπ6＋2kπ<x<π4＋2kπ，k∈Z}∪{x3π4＋2kπ<x<5π6＋2kπ，k∈Z}
[解析]　B＝{xπ6＋2kπ<x<5π6＋2kπ，k∈Z}．
如圖可求A∩B.

16．已知θ為第三象限角，1－sinθcosθ－3cos2θ＝0，則5sin2θ＋3sinθcosθ＝________.
[答案]　265
[解析]　∵1－sinθcosθ－3cos2θ＝0，
∴sin2θ－sinθcosθ－2cos2θ＝0，
∴(sinθ－2cosθ)(sinθ＋cosθ)＝0，
∵θ為第三象限角，∴sinθ＋cosθ<0，
∴sinθ＝2cosθ，∴tanθ＝2，
∴5sin2θ＋3sinθcosθ＝5tan2θ＋3tanθtan2θ＋1＝265.
三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本題滿分12分)已知cosθ＋π2＝－12，求
cos(θ＋π)sinπ2－θcos(3π－θ)－1＋cos(θ－2π)cos(－θ)•cos(π－θ)＋sinθ＋5π2的值．
[解析]　∵cosθ＋π2＝－12，∴sinθ＝12，
原式＝－cosθcosθ(－cosθ－1)＋cosθcosθ•(－cosθ)＋cosθ
＝11＋cosθ＋11－cosθ＝2sin2θ＝8.
18．(本題滿分12分)已知A(－1,2)，B(2,8)．
(1)若AC→＝13AB→，DA→＝－23AB→，求CD→的坐標；
(2)設(shè)G(0,5)，若AE→⊥BG→，BE→∥BG→，求E點坐標．
[解析]　(1)∵AB→＝(3,6)，AC→＝13AB→＝(1,2)，
DA→＝－23AB→＝(－2，－4)，
∴C(0,4)，D(1,6)，∴CD→＝(1,2)．
(2)設(shè)E(x，y)，則AE→＝(x＋1，y－2)，BE→＝(x－2，y－8)，∵BG→＝(－2，－3)，AE→⊥BG→，BE→∥BG→，
∴－2(x＋1)－3(y－2)＝0－3(x－2)＋2(y－8)＝0，∴x＝－2213y＝3213.
∴E點坐標為－2213，3213.
19．(本題滿分12分)在▱ABCD中，點在AB上，且A＝3B，點N在BD上，且BN→＝λBD→，C、、N三點共線，求λ的值．
[證明]　設(shè)AB→＝e1，AD→＝e2，則BD→＝e2－e1，
BN→＝λBD→＝λ(e2－e1)，B→＝14AB→＝14e1，BC→＝AD→＝e2，
∴C→＝B→＋BC→
＝14e1＋e2，
N→＝B→＋BN→＝14e1＋λ(e2－e1)＝λe2＋14－λe1，
∵、N、C共線，∴N→與C→共線，
∵e1與e2不共線，∴14－λ14＝λ1，∴λ＝15.
20．(本題滿分12分)是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)y＝sin2x＋acosx－1＋58a在閉區(qū)間0，π2上最大值為1？若存在，求出對應(yīng)的a值，若不存在，說明理由．
[解析]　y＝－cos2x＋acosx＋5a8
＝－(cosx－a2)2＋a24＋5a8，
∵0≤x≤π2，∴0≤cosx≤1，
∵最大值為1，
∴(Ⅰ)0≤a2≤1a24＋5a8＝1或(Ⅱ)a2<05a8＝1或(Ⅲ)a2>1－1＋a＋5a8＝1，
由(Ⅰ)解得a＝89－54，(Ⅱ)(Ⅲ)無解，
∴a＝89－54.
[點評]　此類問題一般把cosx(或sinx)看成未知數(shù)整理為二次函數(shù)，然后由x的范圍，得出cosx(或sinx)的取值范圍A后，分為①A在對稱軸左側(cè)(或右側(cè))，用單調(diào)性討論；②對稱軸在A內(nèi)，在頂點處取得最值．試一試解答下題：
是否存在實數(shù)λ，使函數(shù)f(x)＝－2sin2x－4λcosx＋10≤x≤π2的最小值是－32？若存在，求出對應(yīng)的λ值，若不存在，試說明理由．
答案為λ＝58或12.
21．(本題滿分12分)
(1)角α的終邊經(jīng)過點P(sin150°，cos150°)，求tanα.
(2)角α的終邊在直線y＝－3x上，求sinα、cosα.
[解析]　(1)∵P12，－32，∴tanα＝－3212＝－3.
(2)在角α終邊上任取一點P(x，y)，則y＝－3x，
P點到原點距離r＝x2＋y2＝10x，
當x>0時，r＝10x，∴sinα＝y(tǒng)r＝－3x10x＝－31010，
cosα＝xr＝x10x＝1010，
當x<0時，r＝－10x，∴sinα＝y(tǒng)r＝31010，
cosα＝xr＝－1010.
22．(本題滿分14分)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ<π2)的一段圖象如圖所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的單調(diào)減區(qū)間，并指出f(x)的最大值及取到最大值時x的集合；

(3)把f(x)的圖象向左至少平移多少個單位，才能使得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)？
[解析]　(1)由圖知A＝3，34T＝4π－π4＝15π4，
∴T＝5π，∴ω＝25，∴f(x)＝3sin25x＋φ，
∵過(4π，－3)，∴－3＝3sin8π5＋φ，
∴8π5＋φ＝2kπ－π2，∴φ＝2kπ－21π10，
∵φ<π2，∴φ＝－π10，∴f(x)＝3sin25x－π10.
(2)由2kπ＋π2≤25x－π10≤2kπ＋3π2得，
5kπ＋3π2≤x≤5kπ＋4π　(k∈Z)，
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為5kπ＋3π2，5kπ＋4π　(k∈Z)．
函數(shù)f(x)的最大值為3，取到最大值時x的集合為
{xx＝5kπ＋3π2，k∈Z}．
(3)解法一：f(x)＝3sin2x5－π10
＝3cosπ2－2x5－π10＝3cos2x5－3π5
＝3cos25x－3π2，
故至少須左移3π2個單位才能使所對應(yīng)函數(shù)為偶函數(shù)．
解法二：f(x)＝3sin2x5－π10的圖象的對稱軸方程為25x－π10＝kπ＋π2，∴x＝5kπ2＋3π2，當k＝0時，x＝3π2，k＝－1時，x＝－π，故至少左移3π2個單位．
解法三：函數(shù)f(x)在原點右邊第一個最大值點為2x5－π10＝π2，∴x＝3π2，把該點左移到y(tǒng)軸上，需平移3π2個單位．
解法四：觀察圖象可知，欲使函數(shù)圖象左移后為偶函數(shù)，由其周期為5π可知，須把π4，0點變?yōu)椋?π4，0或把點(4π，－3)變?yōu)?π2，－3等，可知應(yīng)左移3π2個單位


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