2.3.2　等比數(shù)列的前n項和第二課時 優(yōu)化訓練
1．各項均為實數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和記作Sn，若S10＝10，S30＝70，則S40等于(　　)
A．150　　　　　　　　　　　B．－200
C．150或－200 D．400或－50
解析：選A.根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)可知，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，且公比為q10，利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，所以S220－10S20－600＝0，解得S20＝－20或S20＝30.因為S20＝S10(1＋q10)＞0，所以S20＝30.再次利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得(S30－S20)2＝(S20－S10)(S40－S30)，求得S40＝150.
2．已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝t?5n－2－15，則實數(shù)t的值為(　　)
A．4 B．5
C.45 D.15
解析：選B.由Sn＝t25?5n－15得t25＝15，
∴t＝5.
3．設f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(n∈N)，則f(n)等于(　　)
A.27(8n－1) B.27(8n＋1－1)
C.27(8n＋3－1) D.27(8n＋4－1)
解析：選B.依題意，f(n)是首項為2，公比為8的前n＋1項求和，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得．
4．(2009年高考全國卷Ⅱ)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，S6＝4S3，則a4＝________.
解析：由題意知{an}的公比q不為1，
又由S6＝4S3得a1?1－q6?1－q＝4?a1?1－q3?1－q，解得q3＝3，
∴a4＝a1q3＝1?3＝3.
答案：3
5．設{an}是等差數(shù)列，{bn}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.
(1)求{an}，{bn}的通項公式；
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn.
解：(1)設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，
則依題意有q＞0且1＋2d＋q4＝21，1＋4d＋q2＝13.
解得d＝2，q＝2，
所以an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.
(2)anbn＝2n－12n－1.
Sn＝1＋32＋522＋…＋2n－32n－2＋2n－12n－1，①
2Sn＝2＋3＋52＋…＋2n－32n－3＋2n－12n－2.②
②－①，得Sn＝2＋2＋22＋222＋…＋22n－2－2n－12n－1
＝2＋2×(1＋12＋122＋…＋12n－2)－2n－12n－1
＝2＋2×1－12n－11－12－2n－12n－1＝6－2n＋32n－1.
1．(2014年永安高二檢測)已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，則前9項之和等于(　　)
A．50 B．70
C．80 D．90
解析：選B.由a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)得q3＝12，
∴a7＋a8＋a9＝q3(a4＋a5＋a6)＝10，
∴前9項之和等于40＋20＋10＝70.
2．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若a8a4＝2，S4＝4，則S8等于(　　)
A．12 B．24
C．16 D．32
解析：選A.由題意知q4＝2，
∴S8＝S4＋q4S4＝S4＋2S4＝3S4＝12.
3．某人為了觀看2014年奧運會，從2005年起，每年5月10日到銀行存入a元定期儲蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期存款均自動轉為新的一年定期，到2014年將所有的存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(shù)(元)為(　　)
A．a(chǎn)(1＋p)7
B．a(chǎn)(1＋p)8
C.ap[(1＋p)7－(1＋p)]
D.ap[(1＋p)8－(1＋p)]
解析：選D.2005年存入的a元到2014年所得的本息和為a(1＋p)7，2006年存入的a元到2014年所得的本息和為a(1＋p)6，依此類推，則2014年存入的a元到2014年的本息和為a(1＋p)，每年所得的本息和構成一個以a(1＋p)為首項，1＋p為公比的等比數(shù)列，則到2014年取回的總額為a(1＋p)＋a(1＋p)2＋…＋a(1＋p)7＝a?1＋p?[1－?1＋p?7]1－?1＋p?＝ap[(1＋p)8－(1＋p)]．
4．設數(shù)列{an}是公比為a(a≠1)，首項為b的等比數(shù)列，Sn是前n項和，則點(Sn，Sn＋1)(　　)
A．在直線y＝ax－b上 B．在直線y＝bx＋a上
C．在直線y＝bx－a上 D．在直線y＝ax＋b上
解析：選D.由題意可得，Sn＝b?1－an?1－a，Sn＋1＝b?1－an＋1?1－a＝a?b?1－an?1－a＋b＝aSn＋b，∴點(Sn，Sn＋1)在直線y＝ax＋b上．
5．等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，其前n項的積為Tn，若T13＝4T9，則a8?a15等于(　　)
A．±2 B．±4
C．2 D．4
解析：選C.a8?a15＝a10?a13＝a11a12＝±2，由{an}為遞減數(shù)列，舍去－2.
6．西部某廠在國家積極財政政策的推動下，從2008年1月起，到2010年12月止的36個月中，月產(chǎn)值不斷遞增且構成等比數(shù)列{an}，若逐月累計的產(chǎn)值Sn＝a1＋a2＋…＋an滿足Sn＝101an－36，則該廠的年產(chǎn)值的遞增率為(精確到萬分位)(　　)
A．12.66% B．12.68%
C．12.69% D．12.70%
答案：B
7．已知等比數(shù)列前n項和為Sn，S10S5＝3132，則數(shù)列的公比為________．
解析：設該數(shù)列的公比為q，顯然q≠1.
由S10S5＝3132＝a1?1－q101－qa1?1－q51－q＝1＋q5.
解得q＝－12.
答案：－12
8．等比數(shù)列{an}共2n項，其和為－240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比q＝________.
解析：由題意S2n＝－240，S奇－S偶＝80，
得S奇＝－80，S偶＝－160，所以q＝S偶S奇＝2.
答案：2
9．數(shù)列{an}中，an＝2n－1?n為正奇數(shù)?，2n－1?n為正偶數(shù)?.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S9＝________.
解析：S9＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8)
＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15)
＝377.
答案：377
10．數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知an＝5Sn－3(n∈N＋)，求數(shù)列{an}的通項公式．
解：an＝5Sn－3，①
a1＝5S1－3＝5a1－3，
∴a1＝34.
n≥2時，an－1＝5Sn－1－3②
①②兩式相減an－an－1＝5an，
∴an＝－14an－1故{an}為首項為34，公比為－14的等比數(shù)列，
∴an＝34－14n－1.
11．(2009年高考浙江卷)設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝kn2＋n，n∈N＋，其中k是常數(shù)．
(1)求a1及an；
(2)若對于任意的m∈N＋，am，a2m，a4m成等比數(shù)列，求k的值．
解：(1)當n＝1，a1＝S1＝k＋1，
n≥2，an＝Sn－Sn－1＝kn2＋n－[k(n－1)2＋(n－1)]＝2kn－k＋1，(*)
經(jīng)驗證，n＝1時(*)式成立，
∴an＝2kn－k＋1.
(2)∵am，a2m，a4m成等比數(shù)列，
∴a22m＝am?a4m，
即(4km－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，
整理得，mk(k－1)＝0，
對任意的m∈N＋成立，∴k＝0或k＝1.
12．某家用電器一件現(xiàn)價2000元，實行分期付款，每期付款數(shù)相同，每期為一月，購買后一個月開始付款，每月付款一次，共付12次，購買后一年還清，月利率為0.8%，按復利計算，那么每期應付款多少？(1.00812≈1.1)
解：設每期應付款x元，則第1期付款到最后一次付款時的本息和為x(1＋0.008)11，第2期付款到最后一次付款時的本息和為x(1＋0.008)10，…，第12期付款沒有利息，所以各期付款連同利息之和為x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝1.00812－11.008－1x.
又所購電器的現(xiàn)價及其利息之和為2000×1.00812，
于是有1.00812－11.008－1x＝2000×1.00812.
解得x＝16×1.008121.00812－1≈176(元)．
所以每期應付款176元．


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