珠海市2014-2013學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè) 高一數(shù)學(xué)試題及參考答案
時(shí)量：120分鐘 分值：150分
參考公式：球的表面積 ，球的體積 ， 圓錐側(cè)面積
一、：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上填涂相應(yīng)選項(xiàng).
1.（集合的運(yùn)算）集合 ， ，則 （ ）
A． B． C． D．
2.（函數(shù)的概念）下列四個(gè)函數(shù)中，與 表示同一函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
3.（直線的截距）直線 在 軸上的截距為 ，則（ ）
A. B. C. D.
4.（函數(shù)的單調(diào)性）下列函數(shù)中,在區(qū)間 上是增函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
5.（直線平行）已知直線 和直線 ，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（-1，0） D．（-2，-1）
6.（函數(shù)的圖像）當(dāng) 時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù) 與 的圖象是（ ）
(A)(B) (C) (D)
7.（異面直線所成的角）在右圖的正方體中， 分別為棱 和棱 的中點(diǎn)，則異面直線 和 所成的角為（ ）
A． B． C． D．
8.（函數(shù)的零點(diǎn)）已知函數(shù) 的圖像是連續(xù)不斷的，有如下 ， 對(duì)應(yīng)值表：
123456
132.5210.5-7.5611.5-53.76-126.8
函數(shù) 在區(qū)間 上有零點(diǎn)至少有（ ）
A． 2個(gè) B. 3個(gè) C .4個(gè) D. 5個(gè)
9.（球的體積與表面積）已知正方體的內(nèi)切球（球與正方體的六個(gè)面都相切）的體積是 ，那么球的表面積等于（ ）
A． B. C. D.
10.（函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性）若偶函數(shù) 在 上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11.（指對(duì)數(shù)的綜合）三個(gè)數(shù) 的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C． D.
12.(函數(shù)綜合) 對(duì)于函數(shù) 定義域中任意的 有如下結(jié)論
① ②
③ ④
當(dāng) 時(shí),上述結(jié)論中正確的序號(hào)是（ ）
A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④
二、題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置.
13．（圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）已知圓的方程為 ，則圓心坐標(biāo)為 ，半徑為 2 .
14.（三視圖）如果一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示（單位長度：cm），則此幾何體的體積是
15.（直線的斜率）直線 的斜率是
16.（冪函數(shù)）冪函數(shù) 的圖象過點(diǎn) ，則 ______
17.（定義域）函數(shù) 的定義域?yàn)?.
18.（分段函數(shù)與解不等式）已知函數(shù) 則 的值 ．
19.（函數(shù)的奇偶性）已知函數(shù) 是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng) 時(shí)， ，那么 時(shí)， .
20.（立體幾何的綜合）
已知兩條不同直線 、，兩個(gè)不同平面 、 ，給出下列命題：
①若垂直于 內(nèi)的兩條相交直線，則⊥ ；
②若∥ ，則平行于 內(nèi)的所有直線；
③若 ， 且 ∥ ，則 ∥；
④若 ， ，則 ⊥ ；
其中正確命題的序號(hào)是 ①④ ．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）
三、解答題:本題共有5個(gè)小題，8分+10分+10分+10分+12分=50分．
21.(指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算)（本題滿分8分）計(jì)算：
(1) ； (2)
解：（1）原式= …………（4分）
（2）原式= …………………………（8分）
22. (直線方程) （本題滿分10分）已知 三個(gè)頂點(diǎn)是 ， ，
(1)求 邊上的垂直平分線的直線方程；（7分）
（2）求點(diǎn) 到 邊所在直線的距離．（3分）
解：（1） ，
，………（2分）
則所求直線的斜率為： ………………………………………（4分）
又 的中點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，所以 邊的上的中垂線所在的直線方程為：
………………………………………………………………………………（7分）
（2）直線 的方程為：
則點(diǎn) 到直線 ： 的距離為： ……………（10分）
23.在三棱柱 中，側(cè)棱垂直于底面，
(1) 求證： ； (2) 求證： ； （3）求三棱錐 的體積.
解：（1）證明：
∵ ， …………（2分）
…
∴ ……………（3分）
（2）證明：在直三棱柱 中 ……………………………（4分）
……………………………（5分）
……………………………………………（6分）
……………………………………………………（7分）
（3） …………………………………………………（8分）
……………………………………（10分）
24. (函數(shù)與單調(diào)性) （本小題滿分10分）
右圖是一個(gè)二次函數(shù) 的圖象.
(1)寫出這個(gè)二次函數(shù)的零點(diǎn)；
(2)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
(3)當(dāng)實(shí)數(shù) 在何范圍內(nèi)變化時(shí)， 在區(qū)間 上是單調(diào)函數(shù)．
解：（1）由圖可知二次函數(shù)的零點(diǎn)為 ………………（2分）
（2）設(shè)二次函數(shù)為 ,點(diǎn) 在函數(shù)上，
解得
所以 ………………………………………………（6分） （3） ，開口向下，對(duì)稱軸為
當(dāng) ，即 時(shí)， 在 上遞減………………………………（8分）
當(dāng) ， 即 時(shí)， 在 上遞增
綜上所述 或 …………………………………………………………………（10分）
注：第(1)小題中若零點(diǎn)寫為 ， ，扣1分。
25. (函數(shù)的奇偶性) （本小題滿分12分）
已知 。
（1）求函數(shù) 的定義域；
（2）判斷函數(shù) 的奇偶性，并予以證明；
（3）求使 的 的取值范圍。
解：(1) …………………………………………………………………（2分）
所以函數(shù) 的定義域?yàn)?………………………………………………………（3分）
(2) 任意取 ，則 ……………………………………………………（4分）
即 …………………………………………………………………（6分）
所以函數(shù) 是奇函數(shù)．…………………………………………………………………（7分）
(3) 由 ，可得 ，即
…………………………………………………………（9分）
……………………………………………………（11分）
所以 ， ………………………………………（12分）
附加題:
26．從點(diǎn) 處發(fā)出一條光線，與直線 相遇于點(diǎn) 后反射，反射光線恰與圓 相切，求線段 的長．
解： 設(shè)點(diǎn) 關(guān)于直線 對(duì)稱的點(diǎn)為
則 ，解得 ………………………（3分）
據(jù)物理學(xué)知識(shí)可知反射光線的反向延長線必過 ，……（4分）
所以設(shè)直線 的方程為： …………………………………………………………（5分）
則圓心到直線 的距離 …………………………………………………………（7分）
解得 或 (根據(jù)題意要舍去) ……………………………………………（8分）
聯(lián)立直線方程 ，解得 ，
即 的坐標(biāo)為 ………………………………………………………………（9分）
……………………………（10分）
27.已知四面體的 條棱的長為 ， 條棱的長為 ，求它的體積。
解： 根據(jù)分析可知滿足題目條件的四面體有兩種情況，也就是棱長為 的棱共面和異面
（1）當(dāng)棱長為 的棱異面時(shí)，四面體的圖形如右圖
……………………………………………………（2分）
經(jīng)過計(jì)算， ，………………………………………（4分）
，所以三角形 并不存在，即這種情況的三棱錐也不存在………………（5分）
（2）當(dāng)棱長為 的棱共面時(shí)，四面體的圖形如右圖
……………………………………………………（7分）
……………………………………………………（9分）
………………………………………………………（10分）
28．設(shè)函數(shù) 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)定義域內(nèi)任意的 存在 和 ，使 ，且滿足：
（1） ；
（2）當(dāng) 時(shí)，
請(qǐng)回答下列問題：（1）判斷函數(shù)的奇偶性并給出理由；（2）判斷 在 上的單調(diào)性并給出理由．
解：（1）函數(shù) 在定義域內(nèi)是奇函數(shù)………………………………………………………（1分）
因?yàn)樵诙�義域內(nèi)，對(duì)任意 存在 和 ，使 ，且滿足： ；
由于函數(shù) 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 必與 同時(shí)在定義域內(nèi)，…（2分）
同樣存在存在 和 ，使 ，且滿足： ，……（3分）
即
………………………………………………………………………………………………（4分）
函數(shù) 在定義域內(nèi)是奇函數(shù). ……………………………………………………………………………（5分）
（2）函數(shù) 在 上是單調(diào)遞增函數(shù)……………………………………………………………………（6分）
任意取 ，且 ，則
函數(shù) 在定義域內(nèi)是奇函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， ，
， ， …………………………………………………（7分）
又
……………………………………………………………………………………………（9分）
函數(shù) 在 上是單調(diào)遞增的……………………………………………………………………（10分）


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