第二十講 飛躍-從全等到相似
全等三角形是相似三角形的相似比等于1的特殊情況，從全等到相似是 認識上的一個巨大飛躍，不但認識形式上有質的變化．而且思維方式也產(chǎn)生突變，相等是全等三角形的主旋律，在相似形的問題中出現(xiàn)的線段間的關系比全等形中的等量關系復雜，不僅有比例式，還有等積式、平方式、線段乘積的和、差、線段比的和差等．
通過尋找(或構造)相似三角形，用以計算或論證的方法，我們稱為相似三角形法，在線段長度的計算、角相等的證明、比例線段的證明等方面有廣泛的應用，是幾何學中應用最廣泛的方法之一．
熟悉以下形如“A型”、“X型”“子母型”等相似三角形．


例題求解
【例1】如圖，△ABC中，∠ABC=60’°，點P是△ABC內(nèi)一點，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且PA=8，PC=6，則PB= ．
(全國初中數(shù)學競賽題)

思路點撥 PA、PB、PC分別是△ABP、△BCP的邊，從判定這兩個三角形的關系入手．
注 相似是幾何中的一個概念，但相似性不僅表現(xiàn)在事物的幾何形態(tài)上，而且還體現(xiàn)在事物的功能、結構、原理上．
類比推理也貫穿在物理學的全部發(fā)展過程中，著名物理學家麥克斯韋曾說：“借助類比，我試圖以便利的形式提出研究電現(xiàn)象所必須的數(shù)學手段和公式．”
在新事物面前，人們往往習慣于把它們與原有的、熟 知的事物相比．這里蘊含的思想方法就是類比．
【例2】 a、b、c分別是△ABC的三邊的長，且 ，則它的內(nèi)角∠A、∠B的關系是( )
A．∠B>2∠A B．∠B=2∠A C．∠B<2∠A D．不確定
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)
思路點撥 先化簡已知等式，根據(jù)所得等式構造相應線段，通過全等或相似尋找角的關系．
【例3】 如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是中線，P是AD上一點，過C作CF∥AB，延長BP交AC于E，交CF于F．求證：BP2=PE×PF
(吉林省中考題)
思路點撥 由于BP、PE、PF在同一條直線上，所以必須通過作輔助線尋找等線段來轉化問題．

【例4】 如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，連結FC(AB>AE) ．
(1)△AEF與△EFC是否相似，若相似，證明你的結論，若不相似，請說明理由；
(2)設 ，是否存在這樣的 值，使△AEF與△BFC相似?若存在，證明你的結論并求出 的值：若不存在，說明理由．
(重慶市中考題)

思路點撥 本例是一道存在性探索問題，對于(2)，假設存在，則Rt△AEF與Rt△BFC中有一對銳角相等，怎樣由邊的比值得出角的關系?不妨從特殊角入手，逆推求出 的值．


【例5】 如圖，△ABC和△AlBlC1均為正三角形，BC和B1C1的中點均為D．求證：AA1⊥CC1．
(重慶市競賽題)


思路點撥 作出等邊三角形最基本的輔助線，并延長AAl交CCl于E，尋找相似三角形，證明∠A=90°．
注 比例 線段(或等積式的)證明是幾何問題中的常見題型．基本證法有：
(1)從相似三角形入手；
(2)利用平行截割定理．
有時需根據(jù)要證明的式子，過恰當?shù)狞c作平行線，在具體證明過程中，常常要作等線段代換、等比代抉或等積代換，以促使問題的轉化．
將問題置于幾何問題的背景中探索，要綜合運用幾何代數(shù)知識，多角度思考嘗試，需要注意的是，若題目沒有指出具體的對應關系，結論常常具有不確定性，需要分類討論．
學力訓練
1．如圖，由邊長為1的25個小正方形組成的正方形網(wǎng)格上有一個△ABC，在網(wǎng)格上，畫出一個與△ABC相似且面積最大的△A1BlC1，使它的三個頂點都落在小正方形的頂點上，則△A1BlC1的面積是 ． (泰州市中考題)

2．如圖，在△ABC中，AB=15cm，AC=12cm，AD是∠BAC的外角平分線，DE∥AB交AC的延長線于點C，那么CE= cm． (重慶市中考題)
3．如圖，正方形ABCD的邊長為2，AE=BE，MN=1，線段MN的兩端點在CB、CD上滑動，當CM= 時，△AED與以M、N、C為頂點的三角 形相似．
(桂林市中考題)
4．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是CD上一點，AE⊥EF，有下列結論：①∠BAE=30°；②CE2=AB×CF；③CF= CD；④△ABE∽△AEF．其中正確結論的序號是 ． (黃岡市中考題)
5．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中點，AE⊥AD交CB延長線于點E，則結論正確的是( )
A ．△AEDt∽△ACD B．△AEB∽△ACD C．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC
(江蘇省競賽題)

6．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，對角線AC⊥BD于P，若 ，
則 的值是（ ）
A． B． C． D． (2000年紹興市中考題)
7．如圖，將△ADE繞正方形ABCD的頂點A順時針旋轉90°，得△ABF，連結EF交AB于H，則下列結論錯誤的是( )
A．AE⊥AF B． EF：AF= C．AF2=FH×FE D．
(黑龍江省中考題)
8．如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD=60°，BP=1，CD＝ ，則△ABC的邊長為( )
A．3 B．4 C．5 D． 6 (黑龍江省中考題)
9．已知：正方形的邊長為1
(1)如圖①，可以算出一個正方形的對角線長為 ，求兩個正方形并排拼成的矩形的對角線 長，并猜想出n個正方形并排拼成的矩形的對角線長．
(2)根據(jù)圖②，求證：△BCK∽△BED．
(3)由圖③，在下列所給的三 個結論中，選出一個正確的結論加以證明：
①∠BEC+∠BDE=45°；②∠BEC+∠BED=45°；③∠BEC+∠DFE=45°．

10．如圖，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A點出發(fā)，沿AB以每秒4?的速度向點B運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3?的速度向A點運動，設運動的時間為x．
(1)當x為何值時，PQ∥BC?
（2）當 時，求 的值；
(3)△APQ能否與△C QB相似?若能，求出AP的長；若不能，請說明理由．
(金華市中考題)
11．如圖，設P是等邊△ABC的一邊BC上的任意一點，連結AP，它的垂直平分線交AB、AC于M、N兩點，求證：BP×PC=BM×CN． (安徽省競賽題)


12．已知平行四邊形ABCD中，過點B的直線順次與AC、AD及CD的延長線相交于點E、
F、G，若BE=5，EF=2，則FG的長是 ． ( “弘晟杯”上海市競賽題)

13．如圖，ABCD是正方形，E、F是AB、BC的中點，連結CC交DB、DF于G、H，則EG：GH：= ． (重慶市競賽題)
14．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB (“祖沖之杯”邀請賽試題)
15．已知一個梯形被一條對角線分成兩個相似三角形，如果兩腰的比為 ，那么兩底的比為( )
A． B． C． D． (江蘇省競賽題)
16．如圖，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC與PB交于點D，且PB=4，PD=3，則AD×DC等于( )
A．6 B．7 C． 12 D．16
(TI杯全國初中數(shù)學競賽試題)
17．如圖，在△ABC中，D是邊AC上一點，下面4種情況中，△ABD∽△ACB不一定成立的情況是( )
A．AD×BC=AB×BD B．AB2=AD×AC C．∠ABD=∠ACB D．AB×BC=AC×BD
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)
18．如圖，正方形ABCD中，M為AD中點，以M為頂點作∠BMN=∠MBC，MN交CD于N，求證：DN=2NC．
19．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，K、M分別是 AD、BC上的點，已知∠DAM=∠CBK，求證：∠DMA=∠CKB． (“祖沖之杯”邀請賽試題)


20．如圖，△ABC中，∠ACB=2∠ABC，求證：AB2=AC2+AC×BC．
21．如圖，AB是等腰直角三角形的斜邊，若點M在邊AC上，點N在邊BC上，沿直線MN將△MCN翻折，使點C落在AB上，設其落點為點P．
(1)當點P是邊AB的中點時，求證： ；
(2)當點P不是邊AB的中點時， 是否仍然成立?請證明你的結論．
(2001年北京市宣武區(qū)中考題)

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