第二十二講 直角三角形的再發(fā)現(xiàn)
直角三角形是一類特殊三角形，有著豐富的性質(zhì)：兩銳角互余、斜邊的平方是兩直角邊的平方和、斜邊中線等于斜邊一半、30°所對的直角邊等于斜邊一半等，在學習了相似三角形的知識后，我們利用相似三角形法，能得到應用極為廣泛的結(jié)論．
如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，則有：
1．同一三角形中三邊的平方關系：AB2=AC2+BC2，
AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2．
2．角的相等關系：∠A=∠DCD，∠B=∠ACD．
3．線段的等積式：由面積得 AC×BC=AB×CD；
由 △ACD∽△CBD∽△ABC，得CD2=AD×BD，AC2=AD×AB，BC2=BD×AB．
以直角三角形為背景的幾何問題，常以下列圖形為載體，綜合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四邊形等豐富的知識．

注 直角三角形被斜邊上的高分成的3個直角三角形相似，由此導出的等積式的特點是：一線段是兩個三角形的公共邊，另兩條線段在同一直線上，這些等積式廣泛應用于與直角三角形問題的計算與證明中．

例題求解
【例1】 等腰三角形ABC的底邊長為8cm，腰長5cm，一動點P在底邊上從B向C以0．25cm／秒的速度移動，當點P運動到PA與腰垂直的位置時，點P運動的時間為 ．
(江蘇省常州市中考題)
思路點撥 為求BP需作出底邊上的高，就得到與直角三角形相關的基本圖形，注意動 態(tài)過程．
【例2】 如圖，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD=40cm2，S△ABE：S△DBA=1：5，則AE的長為( )
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm (青島市中考題)

思路點撥 從題設條件及基本圖形入手，先建立AB、AD的等式．
【例3】 如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DB為BC的中點，E為AC上一點，點G在BE上，連結(jié)DG并延長交AE于F，若∠FGE=45°．
(1)求證：BD×BC＝BG×BE；
(2)求證：AG⊥BE；
(3)若E為AC的中點，求EF：FD的值．（鹽城市中考題）

思路點撥 發(fā)現(xiàn)圖形中特殊三角形、基本圖形、線段之間的關系是解本例的基礎．(1)證明△GBD∽△CBE；(2)證明△ABG∽EBA；(3)利用相似三角形，把求 的值轉(zhuǎn)化為求其他線段的比值．
【例4】 如圖，H、Q分別是正方形ABCD的邊AB、BC上的點，且BH=BQ，過B作HC的垂線，垂足為P．求證：DP⊥PQ． (“祖沖之杯”邀請賽試題)


思路點撥 因∠BPQ+∠QPC=90°，要證DP⊥PQ，即證∠QPC+∠DPC=90°，只需證∠BPQ=∠DPC，只要證明△BPQ∽△CPD即可．
注 題設條件有中點，圖形中有與直角三角形相關的基本圖形，給我們以豐富的聯(lián)想，單獨應用或組合應用可推出許多結(jié)論．因此，讀者應不拘泥于給出的思路點撥，多角度探索與思考，尋找更多更好的解 法，以培養(yǎng)我們發(fā)散思的能力．
【例5】 已知△ABC中，BC>AC，CH是AB邊上的高，且滿足 ，試探討∠A與∠B的關系，井加以證明． (武漢市選拔賽試題)
思路點撥 由題設條件易想到直角三角形中的基本圖形、基本結(jié)論，可猜想出∠A與∠B的關系，解題的關鍵是綜合運用勾股定理、比例線段的性質(zhì)， 推導判定兩個三角形相似的條件．
注 構造逆命題是提出問題的一個常用方法，本例是在直角三角形被斜邊上的高分成的相似三角形得出結(jié)論基礎上提出的一個逆命題，讀者你能提出新的問題嗎?并加以證明．

學力訓練
1．如圖，已知正方形ABCD的邊長是1，P是CD邊的中點 ，點Q在線段BC上，
當BQ= 時，三角形ADP與三角形QCP相似．
(云南省中考題)
2．如圖，Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，DF⊥CB于E，若BE=6，CE=4，則
AD= ．
3．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=2 ，AC=4，過AC的中點O作EF⊥AC交AD于E，交BC于F，則EF= ． (重慶市競賽題)
4．P是Rt△ABC的斜邊BC上異于B、C的一點，過點P作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，滿足這樣條件的直線共有( )
A．1條 B． 2條 C．3條 D．4條
(2001年安徽省中考題)
5．在△ABC中，AD是高，且AD2=BD×CD，那么∠BAC的度數(shù)是( )
A．小于90° B．等于90° C．大于90° D．不確定
6． 如 圖，矩形ABCD中，AB= ，BC=3，AE⊥BD于E，則EC=( )
A． B． C． D．


7．如圖，在矩形ABCD中，E是CD的中點，BE⊥ AC交AC于F，過F作FG∥AB交AE于G，求證：AG2＝AF×FC．
8．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延長線相交于G．
求證；(1)AB=BH；(2)AB2=GA×HE． (青島市中考題)

9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于點D，過點C作CE⊥AD于E，CE的延長線交AB于點F，過點E作EG∥BC交AB于點G，AE×AD=16，AB=4
(1)求證：CE=EF；
(2)求EG的長．
(河南省中考題)
10．如圖，直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AC⊥BD，已知 ，則 = ．
(江蘇省競賽題)


11．如圖，在Rt△ABC中，兩條直角邊AB、AC的長分別為l厘米、2厘米，那么直角的角平分線的長度等于 厘米．
12．如圖，點D、E分別在△ABC的邊AC和BC上，∠C＝90°，DE∥AB，且3DE=2AB，AE=13，BD=9，那么AB的長為 ．
( “我愛 數(shù)學”初中數(shù)學夏令營試題)
13．如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，若AD= AC，CE= BC，則∠1與∠2的大小關系是( )
A．∠1>∠2 B．∠1<∠2 C．∠1=∠2 D．無法確定
(天津市競賽題)
14．如圖，△ABC中，CD⊥AB交AB于點D，有下列條件：
①∠A=∠BCD；②∠A+∠BCD=∠ADC；③ ；④BC2=BD×BA．
其中，一定能判斷△ABC是直角三角形的共有( )
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 (2003年河南省競賽題)


15．如圖，在直角梯形ABCD中， AB=7，AD=2，DC=3，如果邊AD上的點P使得以P，
A、D為頂點的三角形和以P、B、C為頂點的三角形相似，那么這樣的點P有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分線，DE∥BC交AC于點E，DF∥ AC交BC于點F．
求證：(1)四邊形CEDF是正方形；(2)CD2=AE×BF．
(山東省競賽題)
17．如圖，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于D，已知Rt△ABC的三邊長都是整數(shù)，且BD=113，求Rt△BCD與Rt△ACD的周長之比．
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽題 )


18．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線AD交BC邊于D，求證： ．
(昆明市競賽題)
19．如圖，已知邊長為a的正方形ABCD，在AB、AD上分別取點P、S，連結(jié)PS，將Rt△SAP繞正方形中心O旋轉(zhuǎn)180°得Rt△QCR，從而得四邊形PQRS．試判斷四邊形PQRS能否變化成矩形?若能，設PA= x，SA=y ，請說明x 、y具有什么關系時，四邊形PQRS是矩形；若不能，請說明理由．
(山東省濟南市中考題)
20．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°
(1)當點D在斜邊AB內(nèi)時，求證： ；
(2)當點D與點A重合時，(1)中的等式是否存在?請說明理由；
(3)當點D在BA的延長線上時，(1)中的等式是否存在?請說明理由．

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