第七章 三角形
本章小結(jié)
小結(jié)1 本章概述
三角形是幾何知識中的重要內(nèi)容，也是幾何學(xué)的基礎(chǔ)．本章從三角形出發(fā)，先學(xué)習(xí)與三角形有關(guān)的線段和角再到多邊形，其中包括三角形的內(nèi)角和、外角和及多邊形的內(nèi)角和等知識，最后到多邊形的實際應(yīng)用．
小結(jié)2 本章學(xué)習(xí)重難點
【本章重點】了解三角形的有關(guān)概念(內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線)；會畫出任意三角形的角平分線、中線和高．
【本章難點】通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或六邊形可以鑲嵌平面，并能運用這幾種圖形進(jìn)行簡單的鑲嵌設(shè)計．
【學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意的問題】
正確理解三角形的有關(guān)概念，掌握有關(guān)性質(zhì)．在學(xué)習(xí)中，要注意觀察，搜集資料，多交流，注重新舊知識的聯(lián)系，學(xué)會將新知識轉(zhuǎn)化到已學(xué)的知識上去，再進(jìn)行歸納、整理、分析，要深刻理解并掌握歸納、類比的方法．學(xué)習(xí)中，還要多注意結(jié)合圖形，理解用多邊形鑲嵌圖案的道理，欣賞豐富多彩的圖案，體驗數(shù)學(xué)美，提高審美情趣．

小結(jié)3 中考透視
本章知識在中考中所占比重較大，一方面以填空題、選擇題形式出現(xiàn)，以考查對基本概念、基本定理的理解為主；另一方面以綜合題形式出現(xiàn)，主要考查對知識的靈活運用及綜合運用的能力，利用本章知識解決實際問題的題目也越來越多地出現(xiàn)在中考試題中，還有平面圖形的鑲嵌內(nèi)容也是近年來的熱點考題，備受關(guān)注．由于鑲嵌問題具有較強(qiáng)的實用性，對知識的運用要求靈活性較高，所以要得到這類問題的分?jǐn)?shù)也不是太容易的，分值占3～4分．

知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖



專題總結(jié)及應(yīng)用
一、知識性專題
專題1 三角形的三條重要線段
【專題解讀】三角形的中線、角平分線和高是三角形的三條重要線段，它們具有十分重要的性質(zhì)，三角形的高構(gòu)造了垂直的條件，三角形的中線隱含線段相等，通過三角形的中線可以把三角形的面積分成相等的兩部分，三角形的角平分線提供了角相等的條件.掌握這些概念,對解與三角形有關(guān)的問題十分重要.
例1 如圖7-64所示,D為△ABC中AC邊上一點,AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一點,且△DEC的面積等于△ABC的面積的一半,求EB.
分析 已知△DEC的面積等于△ABC的面積的一半,在圖形中, △DEC與△ABC既不同底也不等高,因此需尋找橋梁△AEC來建立二者之間的關(guān)系,因為△AEC既與△DEC等高也與△ABC等高.
解:作EF⊥AC于F,則 ,
作CG⊥AB于點G,則 ,
∴ ,即 .
又∵ ,∴ ,∴AE=3,
∴BE=AB-AE=1,即BE的長為1.
【解題策略】等高的兩個三角形的面積比等于底邊長的比,它是面積問題中常用的解題策略.
專題2 多邊形的內(nèi)角和及外角和
【專題解讀】用三角形的內(nèi)角和定理可以推出多邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理,在推導(dǎo)的過程中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想,在解有關(guān)多邊形的問題時,如求多邊形的內(nèi)角、外角、邊數(shù)及對角線等問題，這兩個定理都很重要.
例2 已知一個多邊形的內(nèi)角和與某個外角的度數(shù)的總和為1350°,求這個多邊形的邊數(shù).
分析 應(yīng)充分利用多邊形每個外角在0°～180°間和等式的性質(zhì)巧解此題.
解:設(shè)這個多邊形的這個外角為x,它的邊數(shù)為n,
則(n-2)?180°+x=1350°, ∴(n-2) ?180°=8×180°-(90°+x),
由此可得90°+x是180°的倍數(shù). ∵0°＜x＜180°,
∴x=180°-90°=90°,
∴(n-2) ?180°=7×180°,
∴n=9.
【解題策略】靈活運用多邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理是解決此類問題的關(guān)鍵.
二、規(guī)律方法專題
專題3 用公式法解有關(guān)對角線的條數(shù)問題
【專題解讀】用n邊形的對角線有 條來解決相關(guān)問題.
例3 若一個多邊形有77條對角線,求它的內(nèi)角和.
分析 由 =77,求n.
解:設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n,由題意,得 =77.
解得n=14,即這個多邊形是十四邊形,
十四邊形的內(nèi)角和為(14-2) ×180°=2160°,即內(nèi)角和為2160°.
【解題策略】根據(jù)對角線條數(shù)的公式 ,即已知邊數(shù)可求對角線的條數(shù),反之已知對角線的條數(shù),可求出邊數(shù).
三、思想方法專題
專題4 轉(zhuǎn)化思想
【專題解讀】轉(zhuǎn)化思想在本章中有很多的應(yīng)用,主要體現(xiàn)在探索有關(guān)多邊形的問題時經(jīng)常轉(zhuǎn)化為三角形的問題進(jìn)行解決.
例4 填表.
多邊形的邊數(shù)3456…n
內(nèi)角和
外角和
分析 先由三角形的內(nèi)角和為180°及外角和為360°逐一推廣,將4,5,…,n邊形分割成若干個三角形,易得答案.
解:填表如下.
多邊形的邊數(shù)3456…n
內(nèi)角和180°360°540°720°…(n-2) ?180°
外角和360°360°360°360°…360°
【解題策略】解決有關(guān)多邊形問題時,經(jīng)常轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決.
2011中考真題精選
（2011陜西，12，3分）如圖，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于點E ，若 ， 則 ．

考點：平行線的性質(zhì)。
分析：由AC∥BD，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求得∠B的度數(shù)；由鄰補角的定義，求得∠BAC的度數(shù)；又由AE平分∠BAC交BD于點E，即可求得∠BAE的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得∠2的度數(shù)．
解答：解：∵AC∥BD，
∴∠B=∠1=64°，
∴∠BAC=180°?∠1=180°?64°=116°，
∵AE平分∠BAC交BD于點E，
∴∠BAE= ∠BAC=58°，
∴∠2=∠BAE+∠B=64°+58°=122°．
故答案為：122°．
點評：此題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，鄰補角的定義以及三角形外角的性質(zhì)．題目難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC=40°，則∠CAP= 50°．

考點：角平分線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)．
分析：根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．
解答： 解：延長BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
設(shè)∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=（x-40）°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA，PM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA，
∴∠FAP=∠PAC=50°．
故答案為：50°．
點評：此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM=PN=PF是解決問題的關(guān)鍵．
（2011?貴港）在△ABC中，∠A=30°，∠B=55°，延長AC到D，則∠BCD=　85　度．
考點：三角形的外角性質(zhì)。
分析：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可推出∠BCD=∠A+∠B，即可推出結(jié)論．
解答：解：∵△ABC中，∠A=30°，∠B=55°，
∴∠BCD=∠A+∠B=85°．
故答案為85°．
點評：本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵在于推出∠BCD=∠A+∠B，認(rèn)真的計算．
（2011?西寧）如圖，將三角形的直角頂點放在直尺的一邊上，∠1=30°，∠3=20°，則∠2=　50°�。�

考點：平行線的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)。
專題：綜合題。
分析：先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求得∠4的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．
解答：解：由三角形的外角性質(zhì)可得∠4=∠1+∠3=50°，
∵∠2和∠4是兩平行線間的內(nèi)錯角，
∴∠2=∠4=50°．
故答案為：50°．

點評：本題綜合考查了三角形的外角性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，得到∠4的度數(shù)是解題的關(guān)鍵
（2011湖州，12，4分）如圖：CD平分∠ACB，DE∥AC且∠1=30°，則∠2=　60　度．

考點：平行線的性質(zhì)；角平分線的定義.
專題：計算題.
分析：已知CD平分∠ACB，DE∥AC，可推出∠ACB=∠2，易求解．
解答：解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠1；∵DE∥AC，∴∠ACB=∠2；
又∵∠1=30°，∴∠2=60°．
點評：本題應(yīng)用的知識點為兩直線平行，同位角相等；角平分線的定義．
（2011湖北隨州，8，3）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝　50°�。�

考點：角平分線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)。
分析：根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案．
解答：解：延長BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝（x－40）°，
∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝2x°－（x°－40°）－（x°－40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA＝PA，PM＝PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA，∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
故答案為：50°．

點評：此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PM＝PN＝PF是解決問題的關(guān)鍵
如圖，AD∥BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點P，作PE⊥AB于點E．若PE=2，則兩平行線AD與BC間的距離為 4．

【考點】角平分線的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．
【專題】幾何計算題．
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．
【解答】 解：過點P作MN⊥AD，
∵AD∥BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點P，PE⊥AB于點E，
∴AP⊥BP，PN⊥BC，
∴PM=PE=2，，PE=PN=2，∴MN=2+2=4．故答案為：4．
【點評】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．
（2011湖南長沙，13，3分）如圖，CD是△ABC的外角∠ACE的平分線，AB∥CD，∠ACE＝100°，則∠A＝____________．

考點：角平分線 平行線
專題：相交線與平行線
分析：因為CD是∠ACE的平分線，∠ACE＝100°，所以∠ACD＝ ∠ACE＝50°；因為AB∥CD，所以∠A＝∠ACD＝50°．
解答：50°
點評：本題解法不唯一，如可以先由平角定義求得∠ACB的度數(shù)，再由平角分線定義與平行線性質(zhì)求得∠B的度數(shù)，最后由三角形的內(nèi)角和定理，求得∠A的度數(shù)．
（2011?青海）認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾的探究片段，完成所提出的問題．
探究1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+ ，理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線
∴
∴
又∵∠ABC+∠ACB=180°?∠A
∴
∴∠BOC=180°?（∠1+∠2）=180°?（90°? ∠A）
=
探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請說明理由．
探究3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（只寫結(jié)論，不需證明）
結(jié)論：　∠BOC=90°? ∠A�。�

考點：三角形的外角性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理。
專題：常規(guī)題型。
分析：（1）根據(jù)提供的信息，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠O與∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC與∠O的關(guān)系；
（2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠OBC與∠OCB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．
解答：解：（1）探究2結(jié)論：∠BOC= ∠A，
理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2= （∠A+∠ABC）= ∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2?∠1= ∠A+∠1?∠1= ∠A；
（2）探究3：∠OBC= （∠A+∠ACB），∠OCB= （∠A+∠ABC），
∠BOC=180°?∠0BC?∠OCB，
=180°? （∠A+∠ACB）? （∠A+∠ABC），
=180°? ∠A? （∠A+∠ABC+∠ACB），
結(jié)論∠BOC=90°? ∠A．

點評：本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵，讀懂題目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．

綜合驗收評估測試題
(時間：120分鐘 滿分：120分)
一、選擇題
1.若一個正多邊形的一個外角是40°，則這個正多邊形的邊數(shù)是 （ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
2．如圖7-65所示的是“北大西洋公約組織”標(biāo)志的主體部分（平面圖），它是由四個完全相同的四邊形OABC拼成的.測得AB=BC,OA=OC,OA⊥OC, ∠ABC=36°,則∠OAB的度數(shù)是 ( )
A.116° B.117° C.118° D.119°

3.如圖7-66所示,在△ABC中,AB=AC,點D在AC上,且BD=BC=AD,則∠A等于 ( )
A.30° B.40° C.45° D.36°
4.一個等腰三角形(有兩條邊相等的三角形)的兩邊長分別為4.6和9.2,則此三角形的周長為 ( )
A.23 B.18.4 C.23或18.4 D.13.8
5.把14 cm長的細(xì)鐵絲截成三段,圍成不等邊三角形,并且使三邊長均為整數(shù),那么 ( )
A.只有一種截法 B.有兩種截法
C.有三種截法 D.有四種截不動
6.一個多邊形的每一個內(nèi)角都是120°,這個多邊形是 ( )
A.正四邊形 B.正五邊形 C.正六邊形 D.正七邊形
7.一個凸n邊形的n個內(nèi)角的和與某一外角的總和為1500°,則n的值為 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.一個多邊形木板截去一個三角形后(截線不經(jīng)過頂點),得到新多邊形的內(nèi)角和為2340°,則原多邊形的邊數(shù)為 ( )
A.13 B.14 C.15 D.16
9.若n邊形的內(nèi)角和是1260°,則邊數(shù)n為 ( )
A.8 B.9 C.10 D.11
10.若一個多邊形的每一個外角都等于72°,則這個多邊形是 ( )
A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形
二、填空題
11.若一個三角形的三邊長都是整數(shù),周長為5,則最小邊為_______.
12.木工師傅做完門框后,為防止變形,通常在角上釘一斜條,根據(jù)是________.
13.小明繞著五邊形各邊走一圈,他共轉(zhuǎn)了_________度.
14.如果一個多邊形各邊相等,周長為70,且內(nèi)角和為1440°,那么它的邊長為________.
15.若多邊形的邊數(shù)由5條增加了n條,則內(nèi)角和增加了_________.
16.平面內(nèi),當(dāng)繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角恰好圍成一個_______時,就能拼成一個平面圖形.
17.如果只用圓、正五邊形、矩形中的一種圖形鑲嵌整個平面，那么這個圖形只能是________.
18.如圖7-67所示,有一底角為35°的等腰三角形紙片,現(xiàn)過底邊上一點,沿與底邊垂直的方向?qū)⑵浼糸_,分成三角形和四邊形兩部分,則四邊形中的最大角的度數(shù)是______.
三、解答題
19.如圖7-68所示,D是△ABC中BC邊上一點.求證2AD＜AB+BC+AC.
20.如圖7-69所示, ∠1+∠2+∠3+∠4為多少度?

21.如圖7-70所示,求 的度數(shù).
22.一個多邊形切去一個角后是十邊形,求原多邊形的內(nèi)角和.
23.一個凸多邊形,除了一個內(nèi)角外,其余各角的和為2750°,求這個多邊形的邊數(shù).


參考答案
1.B
2.B
3.D
4.A[提示:根據(jù)兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊判斷,等腰三角形的腰長只能為9.2.]
5.D[提示:①3,5,6;②4,5,5;③2,6,6;④6,4,4.]
6.C[提示:根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理得(n-2) ?180°=n?120°.]
7.D[提示:根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理及題意有(n-2) ?180°＜1500°,n取最大值.]
8.B[提示:截線不經(jīng)過頂點時,原n邊形變?yōu)?n+1)邊形,則有(n+1-2)?180°=2340°，n=14.]
9.B[提示：根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理得（n-2）?180°=1260°,n=9.]
10.C[提示：外角為72°，則內(nèi)角為108°.根據(jù)（n-2）?180°=108°?n，得n=5.]
11．1[提示：周長為5，三邊長分別為1，2，2.]
12．三角形具有穩(wěn)定性
13．540
14．7[提示：根據(jù)內(nèi)角和定理得（n-2）?180°=1440°，n=10，則邊長為7.]
15．180n°
16．周角[提示：根據(jù)平面鑲嵌的條件.]
17．矩形
18．125°
19．提示：根據(jù)三角形三邊長的關(guān)系進(jìn)行推理.在△ABD中，AD＜AB+BD①.在△ADC中，AD＜AC+DC②.①+②即可得到結(jié)論.
20．提示：該圖為四邊形，內(nèi)角和為360°.
21．解：原式=180°-∠1+180°-∠3+180°-∠5=540°-（∠1+∠3+∠5）.又∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，且∠2+∠4+∠6=180°，∴原式=360°.
22．解：分三種情況：①切線不經(jīng)過頂點，則原多邊形有9條邊，內(nèi)角和為（9-2）×180°=1260°；②切線經(jīng)過一個頂點，則原多邊形有10條邊，內(nèi)角和為（10-2）×180°=1440°；③切線經(jīng)過兩個頂點，則原多邊形有11條邊，內(nèi)角和為（11-2）×180°=1620°.
23．解：設(shè)邊數(shù)為n（n≥3，n為自然數(shù)），除去的內(nèi)角為x°(0＜x＜180)，根據(jù)題意，得2750+x=(n-2)?180,所以x=(n-2)?180-2750，因為0＜x＜180,所以 ＜n＜ ，所以n=18.所以這個多邊形的邊數(shù)為18.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/chuyi/72257.html

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