注意全等三角形的構(gòu)造方法
搞清了全等三角形的證題思路后，還要注意一些較難的一些證明問題，只要構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對(duì)集中起來，再進(jìn)行等量代換，就可以化難為易了．下面舉例說明幾種常見的構(gòu)造方法，供同學(xué)們參考．
1．截長補(bǔ)短法
例1．如圖（1）已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，
求證：AB+BE=AC．
解法（一）（補(bǔ)短法或補(bǔ)全法）延長AB至F使AF=AC，
由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45，
∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC．
解法（二）（截長法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知
△ABE≌△AGE，∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45, ∴CG=EG,
∴AB+BE=AG+CG=AC．
2．平行線法（或平移法）
若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過中點(diǎn)作平行線或中位線，對(duì)Rt△,有時(shí)可作出斜邊的中線．
例2．△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q， 求證：AB+BP=BQ+AQ．
證明：如圖（1），過O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC
=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，
∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，
∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，
∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=OD，∴AB+BP=AD+DB+BP
=AQ+OQ+BO=AQ+BQ．

說明：⑴本題也可以在AB截取AD=AQ，連OD，
構(gòu)造全等三角形，即“截長補(bǔ)短法”．
⑵本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下：
①如圖（2），過O作OD∥BC交AC于D，
則△ADO≌△ABO來解決．
②如圖（3），過O作DE∥BC交AB于D，
交AC于E，則△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO來解決．
③如圖（4），過P作PD∥BQ交AB的延長線于D，
則△APD≌△APC來解決．
④ 如圖（5），過P作PD∥BQ交AC于D，
則△ABP≌△ADP來解決．
（本題作平行線的方法還很多，感興趣
的同學(xué)自己研究）．


　3．旋轉(zhuǎn)法
對(duì)題目中出現(xiàn)有一個(gè)公共端點(diǎn)的相等線段時(shí)，可試用旋轉(zhuǎn)方法構(gòu)造全等三角形。
例3．已知：如圖（6），P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=4，PC=5，
求∠APB的度數(shù)．
分析：直接求∠APB的度數(shù)，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，
聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形．
略解：將△BAP繞A點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°至△ACD，連接PD，
則△BAP≌△ADC，∴DC=BP=4，∵AP=AD，∠PAD=60°，
又∵PC=5，PD +DC =PC 圖（6）
∴△PDC為Rt△, ∠PDC=90∴∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90=150．
4．倍長中線法
題中條件若有中線，可延長一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)。
例4．如圖（7）AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=BE．
求證：AC=BF
證明：延長AD至H使DH=AD，連BH，∵BD=CD，
∠BDH=∠ADC，DH=DA，
∴△BDH≌△CDA，∴BH=CA，∠H=∠DAC，又∵AE=EF，
∴∠DAC=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE= 圖（7）
∠BFD=∠DAC=∠H，∴BF=BH，∴AC=BF．
5．翻折法
若題設(shè)中含有垂線、角的平分線等條件的，可以試用軸對(duì)稱性質(zhì)，沿軸翻轉(zhuǎn)圖形來構(gòu)造全等三角形．
例5．如圖（8）已知：在△ABC中，∠A=45, AD⊥BC，若BD=3，DC=2，
求：△ABC的面積．
解：以AB為軸將△ABD翻轉(zhuǎn)180，得到與它全等
的△ABE，以AC為軸將△ADC翻轉(zhuǎn)180，得到
與它全等的△AFC，EB、FC延長線交于G，易證
四邊形AEGF是正方形，設(shè)它的邊長為x，則BG
=x－3，CG=x－2，在Rt△BGC中，（x-3） +（x-2） =5 ．
解得x=6，則AD=6，∴S△ABC= ×5×6=15． 　　　　　 圖（8）

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