一. 構(gòu)造平行四邊形證兩線段平行
例1. 已知如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC和BD交于O，E、F分別為OB、OD的中點，過O任作一直線分別交AB、CD于G、H。
求證：GF//EH。
證明：連結(jié)GE、FH
四邊形ABCD是平行四邊形


又
四邊形EHFG是平行四邊形



二. 構(gòu)造平行四邊形證兩線段相等
例2. 如圖，中，D在AB上，E在AC的延長線上，BD=CE連結(jié)DE，交BC于F，∠BAC外角的平分線交BC的延長線于G，且AG//DE。
求證：BF=CF
分析：過點C作CM//AB交DE于點M，可以證明BD=CM，然后再利用平行四邊形的性質(zhì)得到BF=CF
證明：過點C作CM//AB交BE于點M，連接BM、CD，則∠CME=∠ADE

四邊形BMCD為平行四邊形
故BF=CF


三. 構(gòu)造平行四邊形證線段的不等關(guān)系
例3. 如圖，AD是的邊BC上的中線，求證：
分析：欲證，即要證，設(shè)法將2AD、AB、AC歸結(jié)到一個三角形中，利用三角形任意兩邊之和大于第三邊來證明。注意到AD為的中線，故可考慮延長AD到E，使DE=AD，則四邊形ABEC為平行四邊形。從而問題得證。
證明：延長AD到E，使DE=AD，連結(jié)BE、EC

四邊形ABEC是平行四邊形

在中，AE<AB+BE
即2AD<AB+AC


點評：此題是利用三角形三邊關(guān)系定理、平行四邊形的判定，通過延長中線將證明三角形中三條線段間的不等關(guān)系，轉(zhuǎn)化為三角形三邊之間的關(guān)系，從而使問題迎刃而解。

四. 構(gòu)造平行四邊形證線段的倍分關(guān)系
例4. 如圖，分別以中的AB、AC為邊向外作正方形ABEF和正方形ACGH，M是BC的中點，求證：FH=2AM
證明：延長AM到D，使MD=AM，連結(jié)BD、CD，
是BC的中點
四邊形ABDC為平行四邊形

又AF=BA，AH=AC=BD

故FH=2AM


五. 構(gòu)造平行四邊形證兩線段互相平分
例5. 平面上三個等邊三角形兩兩共有一個頂點，如圖所示，求證：CD與EF互相平分
分析：要證CD與EF互相平分，須證四邊形DFCE是平行四邊形
證明：連結(jié)DE、DF、AF易知AD=AB=BD

又AE=AC，AD=AB
∠DAE=60°－∠EAB=∠BAC

四邊形DECF是平行四邊形
故CD與EF互相平分


六. 構(gòu)造平行四邊形證角的不等關(guān)系
例6. 如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，對角線AC>BD
求證：∠DBC>∠ACB
證明：過點D作DE//AC交BC的延長線于點E，則四邊形ACED是平行四邊形

又

在中，∠DBE>∠E



七. 構(gòu)造平行四邊形證線段的和差關(guān)系
例7. 如圖，中，點E、F在邊AB上，AE=BF，ED//AC//FG，求證：ED+FG=AC
證明：過E作EH//BC交AC于H

四邊形CHED為平行四邊形

又AE=BF，



同步練習(xí)：
1. 如圖1，在梯形BCED中，DE//BC延長BD、CE交于A，在BD上截取BF=AD。過F作FG//BC交EC于G，求證：DE+FG=BC 初中數(shù)學(xué)。

2. 如圖2，中，AB=AC，E是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，BE=CF，EF交BC于D。
求證：DE=DF

3. 如圖3，平行四邊形ABCD中，E、G、F、H分別是四條邊上的點，且AE=CF，BG=DH，求證：EF與GH互相平分

4. 如圖4，已知AB=AC，B是AD的中點，E是AB的中點，求證CD=2CE

5. 已知：如圖5在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC，點E在BC上，點F在AD上，AF=CE，EF與對角線BD相交于點O，求證：O是BD的中點。


提示：
1. 過點F作FM//AC交BC于點M，則有平行四邊形FMCG。
2. 過E作EG//AC交BC于G，連結(jié)CE、GF。
3. 連結(jié)FH、HE、EG、GF
4. 延長CE至F，使EF=CE，連結(jié)AF、BF。
5. 連結(jié)BF、DE

四邊形ABCD是平行四邊形

又

四邊形BEDF是平行四邊形
O是BD的中點


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