3.1.2 函數(shù)的極值
一、復(fù)習(xí)引入：
1. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：
； ； ；； ； ； ；
2.法則1 　
法則2 ,
法則3
3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (理科)
4. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：設(shè)函數(shù)y=f(x) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi) >0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi) <0，那么函數(shù)y=f(x) 在為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)
5.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x). ②令f′(x)＞0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間
二、講解新課：
1.極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點(diǎn)
2.極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)＞f(x0).就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點(diǎn)
3.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值
在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值請(qǐng)注意以下幾點(diǎn)：
（?）極值是一個(gè)局部概念由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小
（?）函數(shù)的極值不是唯一的即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)
（?）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示， 是極大值點(diǎn)， 是極小值點(diǎn)，而 >
（?）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)

4. 判別f(x0)是極大、極小值的方法:
若 滿足 ，且在 的兩側(cè) 的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則 是 的極值點(diǎn)， 是極值，并且如果 在 兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則 是 的極大值點(diǎn)， 是極大值；如果 在 兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則 是 的極小值點(diǎn)， 是極小值
5. 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟:
(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)
(2)求方程 =0的根
(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查 在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無極值
三、講解范例：
例1求y= x3－4x+ 的極值
解：y′=( x3－4x+ )′=x2－4=(x+2)(x－2) 令y′=0，解得x1=－2，x2=2
當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表


-2(-2,2)2


+0－0+

?極大值
?極小值
?
∴當(dāng)x=－2時(shí)，y有極大值且y極大值= 當(dāng)x=2時(shí)，y有極小值且y極小值=－5

例2求y=(x2－1)3+1的極值
解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1
當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表



-1(-1,0)0(0,1)1


－0－0+0+

?無極值?極小值0?無極值?
∴當(dāng)x=0時(shí)，y有極小值且y極小值=0

求極值的具體步驟：第一，求導(dǎo)數(shù) .第二，令 =0求方程的根，第三，列表，檢查 在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值，如果左右都是正，或者左右都是負(fù)，那么f(x)在這根處無極值.
如果函數(shù)在某些點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo)，也需要考慮這些點(diǎn)是否是極值點(diǎn)
四、課堂練習(xí)：
1．求下列函數(shù)的極值.
(1)y=x2－7x+6 (2)y=x3－27x
(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7令y′=0，解得x= .
當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表.



－0+

?極小值
?
∴當(dāng)x= 時(shí)，y有極小值，且y極小值=－
(2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)令y′=0，解得x1=－3，x2=3.
當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表


-3(-3,3)3


+0－0+

?極大值54?極小值-54?
∴當(dāng)x=－3時(shí)，y有極大值，且y極大值=54當(dāng)x=3時(shí)，y有極小值，且y極小值=－54

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