第 4 課時　電磁感應定律的應用(一)
重點難點突破
一、電磁感應中的圖象問題
1.圖象問題
圖象類型(1)磁感應強度B、磁通量Φ、感應電動勢E和感應電流I隨時間t變化的圖象，即B-t圖象、Φ-t圖象、E-t圖象和I-t圖象
(2)對于切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢和感應電流的情況，還常涉及感應電動勢E和感應電流I隨線圈位移x變化的圖象，即E-x圖象和I-x圖象
問題類型(1)由給定的電磁感應過程選出或畫出正確的圖象
(2)由給定的有關圖象分析電磁感應過程，求解相應的物理量
應用知識左手定則、安培定則、楞次定律、法拉第電磁感應定律、歐姆定律、牛頓定律、相關數(shù)學知識等
2.解決此類問題的一般步驟
(1)明確圖象的種類，是B-t圖，還是Φ-t圖，或者E-t圖、I-t圖等.
(2)分析電磁感應的具體過程.
(3)結合法拉第電磁感應定律、歐姆定律、牛頓定律等規(guī)律寫出函數(shù)方程.
(4)根據(jù)函數(shù)方程進行數(shù)學分析，例如分析斜率的變化、截距等.
(5)畫圖象或判斷圖象.
二、電磁感應中的電路問題
1.在電磁感應中，切割磁感線的導體或磁通量發(fā)生變化的回路將產(chǎn)生感應電動勢，該導體或回路就相當于電源，將它們接上電容器，便可使電容器充電；將它們接上電阻等用電器，便可對用電器供電，在回路中形成電流.因此，電磁感應問題往往與電路問題聯(lián)系在一起.
2.解決與電路相聯(lián)系的電磁感應問題的基本方法是：
(1)用法拉第電磁感應定律和楞次定律確定感應電動勢的大小和方向.
(2)畫等效電路.
(3)運用全電路歐姆定律、串并聯(lián)電路性質(zhì)、電功率等公式聯(lián)立求解.
3.解決電磁感應的電路問題的四個注意：
(1)注意有效切割長度；
(2)注意有效接入長度；
(3)注意有效面積；
(4)注意有效包圍.
典例精析
1.有效切割長度問題
【例1】如圖所示，一個邊長為a，電阻為R的等邊三角形線框在外力作用下以速度v勻速地穿過寬度為a的兩個勻強磁場.這兩個磁場的磁感應強度大小均為B，方向相反，線框運動方向與底邊平行且與磁場邊緣垂直.取逆時針方向的電流為正，試通過計算，畫出從進入磁場開始，線框中產(chǎn)生的感應電流I與沿運動方向的位移x之間的函數(shù)圖象.
【解析】線框進入第一個磁場時，切割磁感線的有效長度隨位移均勻變化，在位移由0→a/2過程中，切割的有效長度由0增大到 ，電流為逆時針.在位移由a/2→a時，切割邊bc和cd上產(chǎn)生的感應電動勢在整個閉合回路中反向串聯(lián)，隨著cd邊上切割的有效長度變長，整個回路的電動勢由大變小，電流為逆時針.在x＝a/2時，E＝B32av，I＝ ；x＝a時，E＝0，I＝0；線框穿越兩磁場邊界時，線框bc邊進入磁場2的那部分切割產(chǎn)生的電動勢與cd邊在磁場1中切割產(chǎn)生的電動勢同向，而與bc邊在磁場1中切割產(chǎn)生的電動勢反向；所以在位移由a→3a/2時，電動勢由0→3avB；電流由0→ ，電流方向為順時針；當位移由3a/2→2a時，電動勢由3avB→0，電流方向仍為順時針.
線框移出第二個磁場時的情況與進入第一個磁場時相似.
由此可得，I-x圖象應如圖所示.
【思維提升】必須注意有效切割長度隨時間均勻增大，故感應電動勢也在均勻增大，結合閉合電路的歐姆定律可得出電流隨時間變化的圖象.還需注意從1到2區(qū)域有兩段有效切割長度，有兩個電動勢產(chǎn)生，此題綜合性很強.
【拓展1】如圖甲所示，平行于y軸的導體棒以速度v向右做勻速直線運動，經(jīng)過半徑為R、磁感應強度為B的圓形勻強磁場區(qū)域，導體棒中的感應電動勢E與導體棒位置x關系的圖象是( A )
【解析】由題圖可知導體棒的有效切割長度l隨x的變化率先減小后增大，因感應電動勢E＝Blv，B和v均恒定，故E隨x的變化率也應先減小后增大，選A.
2.有效接入長度問題
【例2】如圖所示，直角三角形導線框abc固定在勻強磁場中，ab是一段長為l、電阻為R的均勻導線，ac和bc的電阻可不計，ac的長度為 ，磁場的磁感應強度為B，方向垂直紙面向里.現(xiàn)有一段長度為 、電阻為 的均勻導體桿MN架在導線框上，開始時緊靠ac，然后沿ab方向以恒定速度v向b端滑動，滑動中桿始終與ac平行并與導線框保持良好接觸.那么當MN滑過的距離為 時，導線ac中的電流為多大？方向如何？
【解析】由幾何關系可求出桿MN滑過 時切割磁感線的有效接入長度為L＝ ，由法拉第電磁感應定律得此時的感應電動勢為E＝ .再根據(jù)右手定則可知導體桿中電流由N′流向M，故此時的等效電路圖如圖所示，則導線ac中電流由a流向c，電路總電阻為R總＝ ＝59R.由全電路的歐姆定律得總電流為I＝ ，則通過ac的電流Iac＝23I＝
【思維提升】此種情況屬于導體切割磁感線問題，哪部分導體切割磁感線且接入電路了，哪部分導體就產(chǎn)生感應電動勢，相當于電源.
【拓展2】如圖所示中兩條平行虛線之間存在勻強磁場.虛線間的距離為l，磁場方向垂直紙面向里.abcd是位于紙面內(nèi)的梯形線圈，ad與bc間的距離也為l，t＝0時刻，bc邊與磁場區(qū)域邊界重合(如圖).現(xiàn)令線圈以恒定的速度v沿垂直于磁場區(qū)域邊界的方向穿過磁場區(qū)域，取沿a→b→c→
d→a的感應電流為正，則在線圈穿越磁場區(qū)域的過程中，感應電流I隨時間t變化的圖線可能是( B )
【解析】當bc剛進入磁場時，產(chǎn)生電動勢為Blv，l為bc長度，方向為負方向，隨著bc向右移，進入磁場的有效長度應該是框架與左邊虛線框兩交點的距離，這段長度均勻變長，故產(chǎn)生的電動勢均勻增大，電流也均勻增大.當bc邊剛出磁場時，ad邊剛進入磁場，此時電流方向為a→b→c→d→a，為正方向，有效長度為框架與右側虛線兩交點的距離，故電動勢在均勻增大，電流也均勻增大.
3.有效面積問題和有效包圍問題
【例3】如圖所示，半徑為a的圓形區(qū)域內(nèi)有均勻磁場，磁感應強度為B＝0.2 T，磁場方向垂直紙面向里.半徑為b的金屬圓環(huán)與磁場同心放置，磁場與環(huán)面垂直.其中a＝0.4 m，b＝0.6 m，金屬環(huán)上分別接有燈L1、L2，兩燈的電阻均為R0＝2 Ω.一金屬棒MN與金屬環(huán)接觸良好，棒與環(huán)的電阻均忽略不計.
(1)若棒以v0＝5 m/s的速率在環(huán)上向右勻速滑動，求棒滑過圓環(huán)直徑OO′的瞬間(如圖所示)，MN中產(chǎn)生的感應電動勢和流過燈L1的電流；
(2)撤去中間的金屬棒MN，將右面的半圓環(huán)OL2O′以OO′為軸向上翻轉90°，若此時磁場隨時間均勻變化，其變化率為ΔB/Δt＝4π T/s，求L1的功率.
【解析】(1)當棒滑過圓環(huán)直徑OO′的瞬間，棒切割磁感線的有效長度為2a，感應電流的方向自下而上.又燈L1、L2并聯(lián)，故此時的等效電路圖如圖甲所示.
由法拉第電磁感應定律得
E1＝2Bav0＝0.8 V　則I1＝ ＝0.4 A
(2)將右面的半圓環(huán)OL2O′以OO′為軸向上翻轉90°后，要求感應電動勢，圓環(huán)的有效面積是此題的易錯點.是半徑為b的半圓，還是半徑為a的半圓.由于磁通定義式Φ＝BS中的S應該是磁場與閉合回路重疊部分的面積，故此題的有效面積應為以a為半徑的半圓的面積.注意此時燈L1、L2是串聯(lián)的，等效電路圖如圖乙所示.
由法拉第電磁感應定律得
E2＝ ＝0.32 V
則P1＝ ＝1.28×10－2 W
【思維提升】解決此類問題的關鍵是明確當線圈或導體的面積比磁場面積大時，應以磁場的面積為有效面積.
【拓展3】光滑平行金屬導軌在水平面內(nèi)固定，導軌間距l(xiāng)＝0.5 m，導軌左端接阻值為R＝2 Ω的電阻，右端接阻值為RL＝4 Ω的小燈泡，導軌電阻不計.如圖1所示，在導軌的MNQP矩形區(qū)域內(nèi)有豎直向上的磁場，MN、PQ間距d＝2 m，此區(qū)域磁感應強度B隨時間t變化的規(guī)律如圖2所示.垂直導軌跨接一金屬桿，其電阻r＝2 Ω.在t＝0時刻，用水平恒力F拉金屬桿，使其由靜止開始自GH位置往右運動.在金屬桿由GH位置運動到PQ位置的過程中，小燈泡的亮度始終沒有變化，求：
(1)通過小燈泡的電流；
(2)金屬桿的質(zhì)量m.
【解析】(1)由題意知，金屬桿向右運動到MN位置的過程中，磁場的變化導致電路中產(chǎn)生感應電動勢.整個包圍磁場的閉合導體框應為電源，電路為r與R并聯(lián)，再與RL串聯(lián)，等效電路圖如圖3所示.
由法拉第電磁感應定律知E＝ dl＝0.5 V，通過小燈泡的電流為IL＝ ＝ ＝0.1 A
(2)由小燈泡的亮度始終沒有變化，可知金屬桿開始進入磁場時磁場應不再變化，且桿恰好勻速運動，即桿進入磁場的時刻為t＝4 s，且F安＝F
接下來桿切割磁感線運動產(chǎn)生感應電動勢，電路為R與RL并聯(lián)，再與r串聯(lián)，等效電路圖如圖4所示.由于燈泡中電流不變，所以流過桿的電流為I總＝0.3 A，桿所受安培力為
F安＝BI總l＝0.3 N，故F＝F安＝0.3 N.由于R總′＝r＋ ＝103 Ω，故E′＝I總R總′＝1 V.又E′＝Blv，代入數(shù)據(jù)解得v＝1 m/s
由動量定理有Ft＝mv，得m＝Ftv＝1.2 kg
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4.平均電動勢和瞬時電動勢的應用區(qū)別
【例4】如圖所示，在與勻強磁場垂直的平面內(nèi)放置一個折成銳角的裸導線MON，∠MON＝α，在它上面擱置另一根與ON垂直的導線PQ，PQ緊貼MO、ON并以平行于ON的速度v，從頂角O開始向右勻速滑動，設裸導線單位長度的電阻為R0，磁感應強度為B，求回路中的感應電流.
【錯解】設PQ從頂角O開始向右運動的時間為Δt，
Ob＝v?Δt
ab＝v?Δt?tan α
Oa＝
回路中的電阻為
R＝(Oa＋Ob＋ab)R0＝(1＋cos α＋sin α)R0
電動勢為
Ε＝ ＝12Βv2Δttan α
Ι＝ΕR＝
【錯因】利用Ε＝ 求出的是電動勢的平均值，但本題所要求的是電動勢的瞬時值.因為電阻的數(shù)值為(1＋cos α＋sin α)R0 ，是經(jīng)過Δt時間后，PQ所在位置處，回路的瞬時電阻值.
由于兩者不對應，結果就不可能正確.
【正解】設PQ從頂角O開始向右運動的時間為Δt，
Ob＝v?Δt
ab＝v?Δt?tan α
Oa＝
回路中的電阻為
R＝(Oa＋Ob＋ab)R0＝(1＋cos α＋sin α)R0
電動勢為
E＝BLv＝B?ab?v＝Bv2?Δt?tan α
所以Ι＝ΕR＝


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