一．知識要點(diǎn)
1. 若已知二次函數(shù)的圖象上任意三點(diǎn)坐標(biāo)，則用一般式 （a≠0）求解析式。
2. 若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（或?qū)ΨQ軸最值），則應(yīng)用頂點(diǎn)式 ，其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)。
3. 若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，則應(yīng)用交點(diǎn)式 ，其中 為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：求二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式
難點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出函數(shù)關(guān)系式，解決實(shí)際問題。
三. 教學(xué)建議：
求二次函數(shù)的關(guān)系式，應(yīng)恰當(dāng)?shù)剡x用二次函數(shù)關(guān)系式的形式，選擇恰當(dāng)，解題簡捷；選擇不當(dāng)，解題繁瑣；解題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目特點(diǎn)，靈活選用。
典型例題
例1. 已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（－1，－6），B（2，3），C（0，－5）三點(diǎn)，求其函數(shù)關(guān)系式。
分析：設(shè) ，其圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，－5），可得 ，再由另外兩點(diǎn)建立關(guān)于 的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值即可。
解：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為
因?yàn)閳D象過點(diǎn)C（0，－5），∴
又因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)A（－1，－6），B（2，3），故可得到：

∴所求二次函數(shù)的解析式為
說明：當(dāng)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點(diǎn)時(shí)，可設(shè)其關(guān)系式為 ，然后確定a、b、c的值即得，本題由C（0，－5）可先求出c的值，這樣由另兩個點(diǎn)列出二元一次方程組，可使解題過程簡便。
例2. 已知二次函數(shù) 的圖象的頂點(diǎn)為（1， ），且經(jīng)過點(diǎn)
（－2，0），求該二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式。
分析：由已知頂點(diǎn)為（1， ），故可設(shè) ，再由點(diǎn)（－2，0）確定a的值即可
解： ，則
∵圖象過點(diǎn)（－2，0），
∴
∴
即：
說明：如果題目已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k），一般設(shè) ，再根據(jù)其他條件確定a的值。本題雖然已知條件中已設(shè) ，但我們可以不用這種形式而另設(shè) 這種形式。因?yàn)樵?這種形式中，我們必須求a、b、c的值，而在 這種形式中，在頂點(diǎn)已知的條件下，只需確定一個字母a的值，顯然這種形式更能使我們快捷地求其函數(shù)關(guān)系式。
例3. 已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是 ，且函數(shù)有最大值為2，圖象與x軸的一個交點(diǎn)是（－1，0），求這個二次函數(shù)的解析式。
分析：依題意，可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－3，2），因此，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式
解：設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為
∵圖象經(jīng)過（－1，0），

∴
∴所求這個二次函數(shù)的解析式為
即：
說明：在題設(shè)的條件中，若涉及頂點(diǎn)坐標(biāo)，或?qū)ΨQ軸，或函數(shù)的最大（最小值），可設(shè)頂點(diǎn)式為解析式。
例4. 已知二次函數(shù) 的圖象如圖1所示，則這個二次函數(shù)的關(guān)系式是__________________。

圖1
分析：可根據(jù)題中圖中的信息轉(zhuǎn)化為一般式（或頂點(diǎn)式）（或交點(diǎn)式）。
方法一：由圖象可知：該二次函數(shù)過（0，0），（2，0），（1，－1）三點(diǎn)
設(shè)解析式為
根據(jù)題意得：
∴所求二次函數(shù)的解析式為
方法二：由圖象可知，該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－1）
設(shè)解析式為
∵圖象過（0，0），∴ ，∴
∴所求二次函數(shù)的解析式為
即
方法三：由圖象可知，該二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)（0，0），（2，0）
設(shè)解析式為
∵圖象過（1，－1）
∴ ，∴
∴所求二次函數(shù)解析式為：
即：
說明：依題意后兩種方法比較簡便。
例5. 已知：拋物線在x軸上所截線段為4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），求這個函數(shù)的關(guān)系式
分析：由于拋物線是軸對稱圖形，設(shè)拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)為（x1，0），（x2，0），則有對稱軸 ，利用這個對稱性很方便地求二次函數(shù)的解析式
解：∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）
∴對稱軸是直線x＝2
∵拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間距離為4
∴兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（4，0）
設(shè)所求函數(shù)的解析式為
∵圖象過（0，0）點(diǎn)
∴ ，∴
∴所求函數(shù)的解析式為
例6. 已知二次函數(shù) 的最大值是零，求此函數(shù)的解析式。
分析：依題意，此函數(shù)圖象的開口應(yīng)向下，則有 ，且頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值為零，則有： 。以上兩個條件都應(yīng)滿足，可求m的值。
解：依題意：
由①得
由②得： （舍去）
所求函數(shù)式為
即：
例7. 已知某拋物線是由拋物線 經(jīng)過平移而得到的，且該拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），B（2，4），求其函數(shù)關(guān)系式。
分析：設(shè)所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 ，則由于它是拋物線 經(jīng)過平移而得到的，故a＝2，再由已知條件列出b、c的二元一次方程組可解本題。
解：設(shè)所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 ，則由已知可得a＝2，又它經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），B（2，4）
故： 解得：
∴所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：
說明：本題的關(guān)鍵是由所求拋物線與拋物線 的平移關(guān)系，得到
例8. 如圖2，已知點(diǎn)A（－4，0）和點(diǎn)B（6，0），第三象限內(nèi)有一點(diǎn)P，它的橫坐標(biāo)為－2，并且滿足條件

圖2
（1）求證：△PAB是直角三角形。
（2）求過P、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式，并求頂點(diǎn)坐標(biāo)。
分析：（1）中須證 ，由已知條件：
，應(yīng)過P作PC⊥x軸
（2）中已知P、A、B三點(diǎn)的坐標(biāo)，且根據(jù)點(diǎn)的位置可用三種不同的方法求出拋物線的解析式
解：（1）過P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，
由已知易知AC＝2，BC＝8

∴ ，解得：PC＝4
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（－2，－4）
由勾股定理可求得：
，又
∴
故△APB是直角三角形
（2）解法1，可設(shè)過P、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為：
，
則有
∴
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（1， ）
解法2：由拋物線與x軸交于A（－4，0），B（6，0），
可設(shè) ，又拋物線過點(diǎn)P（－2，－4）可求a值
解法3：由A（－4，0），B（6，0）
可知拋物線的對稱軸為
可設(shè) ，將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式可求a，k的值
例9. 如圖3所示，是某市一條高速公路上的隧道口，在平面直角坐標(biāo)系上的示意圖，點(diǎn)A和A1，點(diǎn)B和B1分別關(guān)于y軸對稱，隧道拱部分BCB1為一段拋物線，最高點(diǎn)C離路面AA1的距離為8米，點(diǎn)B離地面AA1的距離為6米，隧道寬AA1為16米

圖3
（1）求隧道拱拋物線BCB1的函數(shù)表達(dá)式；
（2）現(xiàn)有一大型運(yùn)貨汽車，裝載某大型設(shè)備后，其寬為4米，車載大型設(shè)備的頂部與路面的距離均為7米，問它能否安全通過這個隧道？請說明理由。
分析：（1）由已知可得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），B點(diǎn)坐標(biāo)為（－8，6），從而可求其函數(shù)關(guān)系式。
（2）假設(shè)汽車從正中行駛，則其最右邊到y(tǒng)軸的距離是2，于是求出拋物線上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)的坐標(biāo)，再看它到地面AA1的距離是否大于7米，由此可判斷運(yùn)貨汽車能否安全通過隧道。
解：（1）如圖所示，由已知得OA＝OA1＝8，OC＝8，
故C點(diǎn)坐標(biāo)（0，8），B點(diǎn)坐標(biāo)為（－8，6）
設(shè)隧道拱拋物線BCB1的函數(shù)表達(dá)式為 ，
則
∴隧道拱拋物線BCB1的函數(shù)關(guān)系式為
（2）設(shè)貨運(yùn)汽車從正中行駛，則其最右邊正上方拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，設(shè)這個點(diǎn)為D，過D作DE⊥x軸于E
當(dāng)x＝2時(shí)，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，7 ），∴DE
∵ ＞7
∴該運(yùn)貨汽車能安全通過這個隧道。
說明：要求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是確定其上的點(diǎn)的坐標(biāo)，再選用適當(dāng)?shù)男问角笃潢P(guān)系式。
本題第（2）小題中，還可以求出拋物線上縱坐標(biāo)為7的點(diǎn)的坐標(biāo)（有兩個），再比較這兩點(diǎn)間的水平距離是否大于4。
例10. 有這樣一個問題：
已知：二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過A（0，a），B（1，2）， ，求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線 ，題目中的矩形框部分是一段被墨水覆蓋而無法辨認(rèn)的文字。
（1）根據(jù)現(xiàn)有的信息，你能否求出題目中二次函數(shù)的關(guān)系式？若能，寫出求解過程，若不能，說明理由。
（2）請你根據(jù)已有信息，在原題中的矩形框內(nèi)，填加一個適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。
分析：僅由A、B兩點(diǎn)無法求其關(guān)系式，但如果把待證的結(jié)論也看成已知條件，則可求出其關(guān)系式
解：（1）能 ，過程如下
由圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，a），得c＝a
將圖象對稱軸為直線 看成已知條件，則
∵拋物線 的對稱軸是直線
∴
∴
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（1，2）
∴
∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為
（2）可補(bǔ)充條件： （或 或其他條件）
說明：二次函數(shù) 配方后可變形為 ，故其圖象的對稱軸是直線 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
第（2）題的答案不唯一，補(bǔ)充的條件只要能求出其關(guān)系式為 即可。
例11. 已知四點(diǎn)A（1，2），B（0，6），C（－2，20），D（－1，12），試問是否存在一個二次函數(shù)，使它的圖象同時(shí)經(jīng)過這四個點(diǎn)？如果存在，請求出它的關(guān)系式；如果不存在，說明理由。
分析：先求出經(jīng)過A、B、C的拋物線的關(guān)系式，再驗(yàn)證點(diǎn)D是否在所求拋物線上，若在，則存在這樣的二次函數(shù)；若不在，則不存在這樣的二次函數(shù)。
解：設(shè)圖象經(jīng)過A、B、C的二次函數(shù)為
則由圖象經(jīng)過點(diǎn)B（0，6），可得c＝6
又∵圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），C（－2，20）

解得：
∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)為
∵當(dāng)
∴點(diǎn)D（－1，12）在函數(shù) 的圖象上

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