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九年級(jí)數(shù)學(xué)競賽拋物線講座
一般地說來，我們稱函數(shù) ( 、 、 為常數(shù)， )為 的二次函數(shù)，其圖象為一條拋物線，與拋物線相關(guān)的知識(shí)有：
1． 、 、 的符號(hào)決定拋物線的大致位置；
2．拋物線關(guān)于 對(duì)稱，拋物線開口方向、開口大小僅與 相關(guān)，拋物線在頂點(diǎn)( ， )處取得最值；
3．拋物 線的解析式有下列三種形式：
①一般式： ；
②頂點(diǎn)式： ；
③交點(diǎn)式： ，這里 、 是方程 的兩個(gè)實(shí)根．
確定拋物線的解析式一般要兩個(gè)或三個(gè)獨(dú)立條件，靈活地選用不同方法求出拋物線的解析式是解與拋物線相關(guān)問題的關(guān)鍵．
注：對(duì)稱是一種數(shù)學(xué)美，它展示出整體的和諧與平衡之美，拋物線是軸對(duì)稱圖形，解題中應(yīng)積極捕捉、創(chuàng)造對(duì)稱關(guān)系，以便從整體上把握問題， 由拋物線捕捉對(duì)稱信息的方式有：
(1)從拋物線上兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等獲得對(duì)稱信息；
(2)從拋物線的對(duì)稱軸方程與拋物線被 軸所截得的弦長獲得對(duì)稱信息．
【例題求解】
【例1】 二次函數(shù) 的圖象如圖所示，則函數(shù)值 時(shí)，對(duì)應(yīng) 的取值范圍是 ．
思路點(diǎn)撥 由圖象知 拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一1，一4)，可求出 ， 值，先求出 時(shí)，對(duì)應(yīng) 的值．

【 例2】 已知拋物線 ( <0)經(jīng)過點(diǎn)(一1，0)，且滿足 ．以下結(jié)論：① ；② ；③ ；④ ．其中正確的個(gè)數(shù)有( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
思路點(diǎn)撥 由條件大致確定拋物線的位置，進(jìn)而判定 、 、 的符號(hào)；由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)得等式或不等式；運(yùn)用根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系．


【例 3】 如圖，有一塊鐵皮，拱形邊緣呈拋物線狀，MN＝4 分米，拋物線頂點(diǎn)處到邊MN的距離是4分米，要在鐵皮上截下一矩形ABCD，使矩形頂點(diǎn)B、C落在邊MN上，A、D落在拋物線上，問這樣截下的矩形鐵皮的周長能否等于8分米?

思路點(diǎn)撥 恰當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，易得出M、N及拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出拋物線的解析式，設(shè)A( ， )，建立含 的方程，矩形鐵皮的周長能否等于8分米，取決于求出 的值是否在已求得的拋物線解析式中自變量的取值范圍內(nèi)．


注： 把一個(gè)生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化，成數(shù)學(xué)問題，需要觀察分析、建模，建立直角坐標(biāo)系下的函數(shù)模型是解決實(shí)際問題的常用方法，同一問題有不同的建模方式，通過分析比較可獲得簡解．
【例4】 二次函數(shù) 的圖象與 軸交于A、兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊)，與 軸交于C點(diǎn)，且∠ACB＝90°．
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)計(jì)兩種方案：作一條與 軸不重合，與△A BC兩邊相交的直線，使截得的三角形與△ABC相似，并且面積為△BOC面積的 ，寫出所截得的三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)(注：設(shè)計(jì)的方案不必證明)．

思路點(diǎn)撥 (1)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可用m的代數(shù)式表示，利用相似三角形性質(zhì)建立含m的方程；(2)通過特殊點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形基本圖形，確定設(shè)計(jì)方案．



注： 解函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題，善于求點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式是解題的基礎(chǔ)；而充分發(fā)揮形的因素，數(shù)形互助，把證明與計(jì)算相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
【例5】已知函數(shù) ，其中自變量 為正整數(shù)， 也是正整數(shù)，求 何值時(shí)，函數(shù)值最�。�
思路點(diǎn)撥 將函數(shù)解析式通過變形得配方式，其對(duì)稱軸為 ，因 ， ，故函數(shù)的最小值只可能在 取 ， ， 時(shí)達(dá)到．所以，解決本例的關(guān)鍵在于分類討論．

學(xué)歷訓(xùn)練
1．如圖，若拋物線 與四條直線 、 、 、 所圍成的正方形有公共點(diǎn)，則 的取值范圍是 ．
2．拋物線 與 軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，與 軸交于C點(diǎn)，且線段A B的長為1，△ABC的面積為1，則 的值為 ．
3．如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線 ，它與 軸交于A、B兩點(diǎn)，與 軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-l，0)、 (0， )，則(1)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 ；(2)若點(diǎn)P為此拋物線上位于 軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△ABP面積的最大值為 ．


4．已知二次函數(shù) 的圖象如圖所示，且OA＝OC，則由拋物線的特征寫出如下含有 、 、 三個(gè)字母的式子① ，② ，③ ，④ ，>0，其中正確結(jié)論的序號(hào)是 (把你認(rèn)為正確的都填上)．
5．已知 ，點(diǎn)( ， )，( ， )，( ， )都在函數(shù) 的圖象上，則( )
A． B． C． D．

6．把拋物線 的圖象向右平移3 個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得圖象的解析式為 ，則有( )
A． ， B． ， C． ，c＝3 D． ，

7．二次函數(shù) 的圖象如圖所示，則點(diǎn)( ， )所在的直角坐標(biāo)系是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8．周長是4m的矩形，它的面積S(m2)與一邊長 (m)的函數(shù)圖象大致是( )


9．下面的文字后，回答問題：
“已知：二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0， )，B(1，-2) ，求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線 ．
題目中的橫線部分是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字．
(1)根據(jù)現(xiàn)有的信息，你能否求出題目中二次函數(shù)的解析式?若能，寫出求解過程；若不能，說明理由．
(2)請(qǐng)你根據(jù)已有信息，在原題中的橫線上，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整．
10．如圖，一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí)，達(dá)到最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈．已知籃圈中心到地面的距離為3.05米．
(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；
(2)該運(yùn)動(dòng)員身高1. 8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少?

11．如圖，拋物線和直線 ( )與 軸、y軸都相交于A、B兩點(diǎn)，已知拋物線的對(duì)稱軸 與 軸相交于C點(diǎn)，且∠ABC＝90°，求拋物線的解析式．

12．拋物線 與 軸交于A、B兩點(diǎn)，與 軸交于點(diǎn)C，若△ABC是直 角三角形，則 ．

13．如圖，已知直線 與拋物線 相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么△OAB的面積等于 ．
14．已知二次函數(shù) ，一次函數(shù) ．若它們的圖象對(duì)于任意的實(shí)數(shù)是都只有一個(gè)公共點(diǎn)，則二次函數(shù)的解析式為 ．
15．如圖，拋物線 與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，則下列關(guān)系式中不能總成立的是( )
A．b=0 B．S△ADC＝c2 C．a(chǎn)c＝一1 D．a(chǎn)+c＝0
16．由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見到如下文字：已知二次函數(shù) 的圖象過點(diǎn)(1，0)…求證：這個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱．
根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)不具有的性質(zhì)是( )
A．過點(diǎn)(3，0) B．頂點(diǎn)是(2，一2)
C．在 軸上截得的線段長為2 D．與 軸的交點(diǎn)是(0，3)

17．已知A(x1，2002)，B(x2，2002)是二次函數(shù) ( )的圖象上兩 時(shí)，二次函數(shù)的值是( )
A． B． C． 2002 D ．5

18．某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過1000噸，該產(chǎn)品的年 產(chǎn)量(單位：噸)與費(fèi)用(單位：萬元)之間函數(shù)的圖象是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線的一部分(如圖1所示)；該產(chǎn)品的年銷售量(單位：噸)與銷售單價(jià)(單位：萬元／噸)之間函數(shù)的圖象是線段(如圖2所示)．若生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，問年產(chǎn)量是多少噸時(shí)，所獲毛利潤最大?(毛利潤＝銷售額一費(fèi)用)．

19．如圖，已知二次函數(shù) 的圖象與 軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊)，與 軸交于點(diǎn)C，直線：x＝m(m>1)與 軸交于點(diǎn)D．
(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)在直線x＝m (m>1)上有一點(diǎn)P (點(diǎn)P在第一象限)，使得以P、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、O為頂點(diǎn)的三角形相似，求P點(diǎn)坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；
(3)在(2)成立的條件下，試問：拋物線 上是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形?如果存在這樣的點(diǎn)Q，請(qǐng)求出m的值；如果不存在，請(qǐng)簡要說明理由．

20．已知二次函數(shù) 及實(shí)數(shù) ，求
(1)函數(shù)在一2(2)函數(shù)在a≤x≤a+2的最小值．
21．如圖，在直角坐標(biāo)： O 中，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(4， )，且在 軸上截得的線段AB的長為6．
(1)求二次函數(shù)的解析式；
(2)在 軸上求作一點(diǎn)P (不寫作法)使PA+PC最小，并求P點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)在 軸的上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)Q，使得以Q、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?如果存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

22．某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)的問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重要結(jié)論．一是發(fā)現(xiàn)拋物線y=ax2+2x+3(a≠0)，當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，它的頂點(diǎn)都在某條直線上；二是發(fā)現(xiàn)當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，若把拋物線y=ax2+2x+3的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少 ，縱坐標(biāo)增加，得到A點(diǎn)的坐標(biāo)；若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加 ，縱坐標(biāo)增加 ，得到B點(diǎn)的坐標(biāo)，則A、B兩點(diǎn)一定仍在拋物線y=ax2+2x+3上．
(1)請(qǐng)你協(xié)助探求出當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，拋物線y=ax2+2x+3的頂點(diǎn)所在直線的解析式；
(2)問題(1)中的直線上有一個(gè)點(diǎn)不是該拋物線的頂點(diǎn)，你能找出它來嗎?并說明理由；
(3)在他們第二個(gè)發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運(yùn)用“一般——特殊—一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么?你能用數(shù)學(xué)語言將你的猜想表述出來嗎?你的猜想能成立嗎?若能成立請(qǐng)說明理由．

參考答案

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/chusan/73900.html

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