4.2 微積分基本定理
過程：
1、復(fù)習(xí)：
定積分的概念及用定義計(jì)算
2、引入新課
我們講過用定積分定義計(jì)算定積分,但其計(jì)算過程比較復(fù)雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計(jì)算定積分的新方法，也是比較一般的方法。
變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系
設(shè)一物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t時(shí)物體所在位置為S(t),速度為v(t)（ ），
則物體在時(shí)間間隔 內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為 。
另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)S（t）在 上的增量 來表達(dá)，即
=


而 。
對于一般函數(shù) ，設(shè) ，是否也有

若上式成立，我們就找到了用 的原函數(shù)（即滿足 ）的數(shù)值差 來計(jì)算 在 上的定積分的方法。
注：1：定理 如果函數(shù) 是 上的連續(xù)函數(shù) 的任意一個(gè)原函數(shù)，則

證明：因?yàn)?= 與 都是 的原函數(shù)，故
- =C（ ）
其中C為某一常數(shù)。
令 得 - =C，且 = =0
即有C= ，故 = +
= - =
令 ，有
此處并不要求學(xué)生理解證明的過程
為了方便起見，還常用 表示 ，即

該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題，是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁。 它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)也提供計(jì)算定積分的一種有效方法，為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學(xué)的發(fā)展帶來了深遠(yuǎn)的影響，是微積分學(xué)中最重要最輝煌的成果。
例1．計(jì)算下列定積分：
（1） ； （2） 。
解：（1）因?yàn)?，
所以 。
（2））因?yàn)?，
所以
。
練習(xí)：計(jì)算
解：由于 是 的一個(gè)原函數(shù)，所以根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式有
= = =
例2．計(jì)算下列定積分：
。
由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)�用曲邊梯形的面積表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。
解：因?yàn)?，
所以
，
，
.
可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0:
( l ）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸上方時(shí)（圖1.6一3 ) ，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；

圖1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸下方時(shí)（圖 1 . 6 一 4 ) ，定積分的值取負(fù)值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；


( 3）當(dāng)位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時(shí)，定積分的值為0（圖 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積．
例3．汽車以每小時(shí)32公里速度行駛，到某處需要減速停車。設(shè)汽車以等減速度 =1.8米/秒2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？
解:首先要求出從剎車開始到停車經(jīng)過了多少時(shí)間。當(dāng)t=0時(shí)，汽車速度 =32公里/小時(shí)= 米/秒 8.88米/秒,剎車后汽車減速行駛,其速度為 當(dāng)汽車停住時(shí),速度 ,故從 解得 秒
于是在這段時(shí)間內(nèi),汽車所走過的距離是
= 米,即在剎車后,汽車需走過21.90米才能停住.
微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)它也提供了計(jì)算定積分的一種有效方法．微積分基本定理是微積分學(xué)中最重要的定理，它使微積分學(xué)蓬勃發(fā)展起來，成為一門影響深遠(yuǎn)的學(xué)科，可以毫不夸張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果．
四：課堂小結(jié)：
本節(jié)課借助于變速運(yùn)動(dòng)物體的速度與路程的關(guān)系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式.成立，進(jìn)而推廣到了一般的函數(shù)，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積分的簡便方法，運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，這就要求大家前面的求導(dǎo)數(shù)的知識比較熟練，希望，不明白的同學(xué)，回頭來多復(fù)習(xí)！

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaoer/69761.html

相關(guān)閱讀：空間向量基本定理學(xué)案練習(xí)題