2.1平面向量的實際背景及基本概念

教材分析：
向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，反過來，向量的理論和方法，又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具，向量之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運算性質(zhì)，通過向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算，這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問題。
向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運算在向量范圍內(nèi)不都適用。因此，本章在介紹向量概念時，重點說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后又重新給出了向量代數(shù)的部分運算法則，包括加法、減法、實數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積的運算法則等。之后，又將向量與坐標聯(lián)系起來，把關(guān)于向量的代數(shù)運算與數(shù)量(向量的坐標)的代數(shù)運算聯(lián)系起來，這就為研究和解決有關(guān)幾何問題又提供了兩種方法——向量法和坐標法。
本章共分五大節(jié)。第一節(jié)是“平面向量的實際背景及基本概念”，內(nèi)容包括向量的物理背景與概念、向量的幾何表示、相等向量與共線向量。
本節(jié)從物理學(xué)中的位移、力這些既有大小又有方向的量出發(fā)，抽象出向量的概念，并重點說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的幾何表示、向量的長度、零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景與概念”中介紹向量的定義；在“向量的幾何表示”中，主要介紹有向線段、有向線段的三個要素、向量的表示、向量與有向線段的區(qū)別與聯(lián)系、向量的長度、零向量、單位向量、平行向量；在“相等向量與共線向量”中，主要介紹相等向量，共線向量定義等。
目標：
1、了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量.
2、通過對向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認識現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別.
3、通過學(xué)生對向量與數(shù)量的識別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認識客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力.
重點：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量.
教學(xué)難點：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.
學(xué) 法：本節(jié)是本章的入門課，概念較多，但難度不大.學(xué)生可根據(jù)在原有的位移、力等物理概念來學(xué)習(xí)向量的概念，結(jié)合圖形實物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念.
教 具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)
授課類型：新授課
教學(xué)過程：
一、情景設(shè)置：
如圖，老鼠由A向西北逃竄，貓在B處向東追去，設(shè)問：貓能否追到老鼠？（畫圖）
結(jié)論：貓的速度再快也沒用，因為方向錯了.
分析：老鼠逃竄的路線AC、貓追逐的路線BD實際上都是有方向、有長短的量.
引言：請同學(xué)指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？
二、新課學(xué)習(xí)：
（一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量
（二）請同學(xué)閱讀課本后回答：（可制作成幻燈片）
1、數(shù)量與向量有何區(qū)別？
2、如何表示向量？
3、有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？
4、長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量？
5、滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？
6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系？
7、如果把一組平行向量的起點全部移到一點O，這是它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關(guān)系？
（三）探究學(xué)習(xí)
1、數(shù)量與向量的區(qū)別：
數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大小；
向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.
2.向量的表示方法：
①用有向線段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑體，印刷用）等表示；
③用有向線段的起點與終點字母： ；
④向量 的大小??長度稱為向量的模，記作 .
3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度.
向量與有向線段的區(qū)別：
（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；
（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.
4、零向量、單位向量概念：
①長度為0的向量叫零向量，記作0. 0的方向是任意的.
注意0與0的含義與書寫區(qū)別.
②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.
說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.
5、平行向量定義：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行.
說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，記作ａ∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定義：
長度相等且方向相同的向量叫相等向量.
說明：（1）向量ａ與ｂ相等，記作ａ＝ｂ；（2）零向量與零向量相等；
（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān).
7、共線向量與平行向量關(guān)系：
平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關(guān)）.
說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.
（四）理解和鞏固：
例1 書本86頁例1.
例2判斷：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）兩個非零向量相等的當且僅當什么？（長度相等且方向相同）
（7）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）
例3下列命題正確的是（ ）?
A.ａ與ｂ共線，ｂ與ｃ共線，則ａ與c也共線?
B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形
的四頂點?
C.向量ａ與ｂ不共線，則ａ與ｂ都是非零向量?
D.有相同起點的兩個非零向量不平行
解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關(guān)，所以Ｄ不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若ａ與ｂ不都是非零向量，即ａ與ｂ至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有ａ與ｂ共線，不符合已知條件，所以有ａ與ｂ都是非零向量，所以應(yīng)選C.
例4 如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量 、 、 相等的向量.
變式一：與向量長度相等的向量有多少個？（11個）
變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？（存在）
變式三：與向量共線的向量有哪些？（ ）
課堂練習(xí)：
1．判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.?
①向量 與 是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；?
②單位向量都相等；?
③任一向量與它的相反向量不相等；?
④四邊形ABCD是平行四邊形當且僅當 ＝
⑤一個向量方向不確定當且僅當模為0；?
⑥共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.
解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量 、 在同一直線上.
②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.
③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的. ④、⑤正確.⑥不正確.如圖 與 共線，雖起點不同，但其終點卻相同.
2．書本88頁練習(xí)
三、小結(jié) ：
1、描述向量的兩個指標：模和方向.
2、平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡單類比.
3、向量的圖示，要標上箭頭和始點、終點.
四、課后作業(yè)：
書本88頁習(xí)題2.1第3、5題

2.1平面向量的實際背景及基本概念

課前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標
通過閱讀教材初步了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量.
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容
（一）、情景設(shè)置：
如圖，老鼠由A向西北逃竄，貓在B處向東追去，設(shè)問：貓能否追到老鼠？（畫圖）
結(jié)論：貓的速度再快也沒用，因為方向錯了.
分析：老鼠逃竄的路線AC、貓追逐的路線BD實際上都是有方向、有長短的量.
引言：請同學(xué)指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？
（二）、新課預(yù)習(xí)：
1、向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量
2、請同學(xué)閱讀課本后回答：（可制作成幻燈片）
1)數(shù)量與向量有何區(qū)別？
2)如何表示向量？
3)有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？
4)長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量？
5)滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？
6)有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系？
7)如果把一組平行向量的起點全部移到一點O，這是它們是不是平行向量？這時各
向量的終點之間有什么關(guān)系？
三、提出疑惑
同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中
疑惑點疑惑內(nèi)容


課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標
1、通過對向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認識現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別.
2、通過學(xué)生對向量與數(shù)量的識別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認識客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力.
二、學(xué)習(xí)過程
1、數(shù)量與向量的區(qū)別？

-
2.向量的表示方法？
①
②
③
④向量 的大小??長度稱為向量的模，記作 。
3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素： 。
向量與有向線段的區(qū)別：
（1） 。
（2） 。
4、零向量、單位向量概念：
① 叫零向量，記作0. 0的方向是任意的.
注意0與0的含義與書寫區(qū)別.
② 叫單位向量.
說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.
5、平行向量定義：
① 叫平行向量；②我們規(guī)定0與 平行.
說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，記作ａ∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定義： 叫相等向量。
說明：（1）向量ａ與ｂ相等，記作ａ＝ｂ；（2）零向量與零向量相等；
（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān).
7、共線向量與平行向量關(guān)系：
平行向量就是共線向量，這是因為 （與有向線段的起點無關(guān)）.
說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.
三、理解和鞏固：
例1 書本86頁例1.
例2判斷：
（1）平行向量是否一定方向相同？

（2）不相等的向量是否一定不平行？

（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？

（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？

（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？

（6）兩個非零向量相等的當且僅當什么？

（7）共線向量一定在同一直線上嗎？

例3下列命題正確的是（ ）?
A.ａ與ｂ共線，ｂ與ｃ共線，則ａ與c也共線?
B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形
的四頂點?
C.向量ａ與ｂ不共線，則ａ與ｂ都是非零向量?
D.有相同起點的兩個非零向量不平行

例4 如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量 、 、 相等的向量.

變式一：與向量長度相等的向量有多少個？

變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？

變式三：與向量共線的向量有哪些？

課堂練習(xí)：
1．判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.?
①向量 與 是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；?
②單位向量都相等；?
③任一向量與它的相反向量不相等；?
④四邊形ABCD是平行四邊形當且僅當 ＝
⑤一個向量方向不確定當且僅當模為0；?
⑥共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.

2．書本88頁練習(xí)

課后練習(xí)與提高
1．下列各量中不是向量的是（ ）
?A.浮力 B.風(fēng)速 C.位移 D.密度
2.下列說法中錯誤的是（ ）
A.零向量是沒有方向的 B.零向量的長度為0
C.零向量與任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
3．把平面上一切單位向量的始點放在同一點,那么這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是（ ） A.一條線段 B.一段圓弧 C.圓上一群孤立點 ? D.一個單位圓
4．已知非零向量 ,若非零向量 ，則 與 必定 .
5．已知 、 是兩非零向量,且 與 不共線,若非零向量 與 共線,則 與 必定 .
6.設(shè)在平面上給定了一個四邊形ABCD,點K、L、M、N分別是AB、BC、CD、DA的中點,則

課堂練習(xí)答案：
解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量 、 在同一直線上.
②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.
③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的. ④、⑤正確.⑥不正確.如圖 與 共線，雖起點不同，但其終點卻相同.
課后練習(xí)與提高參考答案：
1.D 2.A 3.D 4.平行 5.不共線?6. ，

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相關(guān)閱讀：空間向量基本定理學(xué)案練習(xí)題