第十五　復　數(shù)

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　　1.理解復數(shù)的基本概念、復數(shù)相等的充要條.
2.了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.
3.會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算.了解復數(shù)的代數(shù)形式的加、減運算及其運算的幾何意義.
4.了解從自然數(shù)系到復數(shù)系的關系及擴充的基本思想，體會理性思維在數(shù)系擴充中的作用.　　本重點：1.復數(shù)的有關概念；2.復數(shù)代數(shù)形式的四則運算.
本難點：運用復數(shù)的有關概念解題.　　近幾年高考對復數(shù)的考查無論是試題的難度，還是試題在試卷中所占 比例都是呈下降趨勢，常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，多為容易題.在復習過程中，應將復數(shù)的概念及運算放在首位.

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15.1　復數(shù)的概念及其運算

典例精析
題型一　復數(shù)的概念
【例1】 (1)如果復數(shù)(m2＋i)(1＋mi)是實數(shù)，則實數(shù)m＝　　　　��；
(2)在復平面內，復數(shù)1＋ii對應的點位于第　　　象限；
(3)復數(shù)z＝3i＋1的共軛復數(shù)為z＝　　　　　.
【解 析】 (1)(m2＋i)(1＋mi)＝m2－m＋(1＋m3)i是實數(shù)⇒1＋m3＝0⇒m＝－1.
(2)因為1＋ii＝i(1＋i)i2＝1－i，所以在復平面內對 應的點為(1，－1)，位于第四象限.
(3)因為z＝1＋3i，所以z＝1－3i.
【點撥】 運算此類 題目需注意復數(shù)的代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，并注意復數(shù)分為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，復數(shù)的幾何意義，共軛復數(shù)等概念.
【變式訓練1】(1)如果z＝1－ai1＋ai為純虛數(shù)，則實數(shù)a等于(　　)
A.0B.－1C.1D.－1或1
(2)在復平面內，復數(shù)z＝1－ii(i是虛數(shù)單位)對應的點位于(　　)
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【解析】(1)設z＝xi，x≠0，則
xi＝1－ai1＋ai⇔1＋ax－(a＋x)i＝0⇔ ⇔ 或 故選D.
(2)z＝1－ii＝(1－i)(－i)＝－1－i，該復數(shù)對應的點位于第三象限.故選C.
題型二　復數(shù)的相等
【例2】(1)已知復數(shù)z0＝3＋2i，復數(shù)z滿足z•z0＝3z＋z0，則復數(shù)z＝　　　　�。�
(2)已知m1＋i＝1－ni， 其中m，n是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則m＋ni＝　　　　��；
(3)已知關于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有實根，則這個實根為　　　　　，實數(shù)k的值為　　　　.
【解析】(1)設z＝x＋yi(x，y∈R)，又z0＝3＋2i，
代入z•z0＝3z＋z0得(x＋yi)(3＋2i)＝3(x＋yi)＋3＋2i，
整理得 (2y＋3)＋(2－2x)i＝0，
則由復數(shù)相等的條得
解得 所以z＝1－ .
(2)由已知得m＝(1－ni)(1＋i)＝(1＋n)＋(1－n)i.
則由復數(shù)相等的條得
所以m＋ni＝2＋i.
(3)設x＝x0是方程的實根， 代入方程并整理得
由復數(shù)相等的充要條得
解得 或
所以方程的實根為x＝2或x＝ －2，
相應的k值為k＝－22或k＝22.
【點撥】復數(shù)相等須先化為z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，再由相等 得實部與實部相等、虛部與虛部相等.
【變式訓練2】(1)設i是虛數(shù)單位，若1＋2i1＋i＝a＋bi(a，b∈R)，則a＋b的值是(　　)
A.－12B.－2C.2D.12
(2)若(a－2i)i＝b＋i，其中a，b∈R，i為虛數(shù)單位，則a＋b＝　　　　.
【解析】(1)C.1＋2i1＋i＝(1＋2i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝ 3＋i2，于是a＋b＝32＋12＝2.
(2)3.2＋ai＝b＋i⇒a＝1，b＝ 2.
題 型三　復數(shù)的運算
【例3】 (1)若復數(shù)z＝－12＋32i， 則1＋z＋z2＋z3＋…＋z2 008＝　　　　　；
(2)設復數(shù)z滿足z＋z＝2＋i，那么z＝　　　　　.
【解析】 (1)由已知得z2＝－12－32i，z3＝1，z4＝－12＋32i ＝z.
所以zn具有周期性，在一個周期內的和為0，且周期為3.
所以1＋z＋z2＋z3＋…＋z2 008
＝1＋z＋(z2＋z3＋z4)＋…＋(z2 006＋z2 007＋z2 008)
＝1＋z＝12＋32i.
(2)設z＝x＋yi(x，y∈R)，則x＋yi＋x2＋y2＝2＋i，
所以 解得 所以z＝ ＋i.
【點撥】 解(1)時要注意x3＝1⇔(x－1)(x2＋x＋1)＝0的三個根為1，ω，ω－，
其中ω＝－12＋32i，ω－＝－12－32i， 則
1＋ω＋ω2＝0， 1＋ω－＋ω－2＝0 ，ω3＝1，ω－3＝1，ω•ω－＝1，ω2＝ω－，ω－2＝ω.
解(2)時要注意z∈R，所以須令z＝x ＋yi.
【變式訓練3】(1)復數(shù)11＋i＋i2等于(　　)
A.1＋i2 B.1－i2C.－12D.12
(2)(2010江西鷹潭)已知復數(shù)z＝23－i1＋23i＋(21－i)2 010，則復數(shù)z等于(　　)
A.0B.2C.－2iD.2i
【解析】(1 )D.計算容易有11＋i＋i2＝12.
(2)A.
總結提高
復數(shù)的代數(shù)運算是重點，是每年必考內容之一，復數(shù)代數(shù)形式的運算：①加減法按合并同類項法則進行；②乘法展開、除法須分母實數(shù)化.因此，一些復數(shù)問題只需設z＝a＋bi(a，b∈R)代入原式后，就 可以將復數(shù)問題化歸為實數(shù)問題解決.

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