§X3.3帶電粒子在磁場中的運動（一）

【學習目標】 洛倫茲力、圓周運動、圓心、半徑、運動時間
【自主學習】
一、基礎(chǔ)知識：
1、洛侖茲力
叫洛侖茲力。通電導線所受到的安培力實際上是作用在運動電荷上的洛侖茲力的 。
2、洛侖茲力的方向
用左手定則判定。應用左手定則要注意：
（1）判定負電荷運動所受洛侖茲力的方向，應使四指指向電荷運動的 方向。
（2）洛侖茲力的方向總是既垂直于 又垂直于 ，即總是垂直于 所決定的平面。但在這個平面內(nèi)電荷運動方向和磁場方向卻不一定垂直，當電荷運動方向與磁場方向不垂直時，應用左手定則不可能使四指指向電荷運動方向的同時讓磁感線垂直穿入手心，這時只要磁感線從手心穿入即可。
3、洛侖茲力的大小
f= ，其中 是帶電粒子的運動方向與磁場方向的夾角。
（1）當 =90°，即v的方向與B的方向垂直時，f= ，這種情況下洛侖茲力 。
（2）當 =0°，即v的方向與B的方向平行時，f= 最小。
（3）當v=0，即電荷與磁場無相對運動時，f= ，表明了一個重要結(jié)論：磁場只對相對于磁場運動的電荷有作用力，而對相對磁場靜止的電荷沒有作用力。
4、洛侖茲力作用效果特點
由于洛侖茲力總是垂直于電荷運動方向，因此洛侖茲力總是 功。它只能改變運動電荷的速度 （即動量的方向），不能改變運動電荷的速度 （或動能）。
5、帶電粒子在磁場中運動（不計其它作用）
（1）若v//B，帶電粒子以速度v做 運動（此情況下洛倫茲力F=0）
（2）若v⊥B，帶電粒子在垂直于磁感線的平面內(nèi)以入射速度v做 運動。
①向心力由洛倫茲力提供： =m
②軌道半徑公式：R= = 。
③周期：T= = ，頻率：f= = 。
角頻率： 。
說明：T、F和 的兩個特點：
①T、f和 的大小與軌道半徑（R）和運動速率（v）無關(guān)，只與 和 有關(guān)；
②比荷（ ）相同的帶電粒子，在同樣的勻強磁場中，T、f和 相同。
二、重點、疑點：
1、洛倫茲力公式F=qvB是如何推導的？
直導線長L，電流為I，導體中運動電荷數(shù)為n，截面積為S，電荷的電量為q，運動速度為v，則安培力F′=ILB=nF
所以洛侖茲力F=
因為I=NqSv（N為單位體積內(nèi)的電荷數(shù)）
所以F= 式中n=NSL故F=qvB。
2、如何確立帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的圓心、半徑及運動時間？
（1）圓心的確定。因為洛倫茲力f指向圓心，根據(jù)f⊥v，畫出粒子運動軌跡上任意兩點（一般是射入和射出磁場的兩點）的f的方向，其延長線的交點即為圓心。
（2）半徑的確定和計算。圓心找到以后，自然就有了半徑（一般是利用粒子入、出磁場時的半徑）。半徑的計算一般是利用幾何知識，常用解三角形的方法及圓心角等于圓弧上弦切角的兩倍等知識。
（3）在磁場中運動時間的確定。利用圓心角與弦
切角的關(guān)系，或者是四邊形內(nèi)角和等于360°計算出圓
心角 的大小，由公式t= ×T可求出運動時間。
有時也用弧長與線速度的比。
如圖所示，還應注意到：
①速度的偏向角 等于弧AB所對的圓心角 。
②偏向角 與弦切角 的關(guān)系為： ＜180°， =2 ； ＞180°， =360°-2 ；
（4）注意圓周運動中有關(guān)對稱規(guī)律
如從同一直線邊界射入的粒子，再從這一邊射出時，速度與邊界的夾角相等；在圓形磁場區(qū)域內(nèi)，沿徑向射入的粒子，必沿徑向射出。
3、電場和磁場對電荷作用的區(qū)別如何？
(1)電荷在電場中一定要受到電場力的作用，而電荷在磁場中不一定受磁場力作用。只有相對于磁場運動且運動方向與磁場不平行的電荷才受磁場力的作用，而相對磁場靜止的電荷或雖運動但運動方向與磁場方向平行的電荷則不受磁場力作用．
(2)電場對電荷作用力的大小僅決定于場強E和電荷量q，即F=qE，而磁場對電荷的作用力大小不僅與磁感應強度B和電荷量q有關(guān)，還與電荷運動速度的大小v及速度方向與磁場方向的夾角 有關(guān)，即，F(xiàn)=qvBsin ．
(3)電荷所受電場力的方向總是沿著電場線的切線(與電場方向相同或相反)，而電荷所受磁場力的方向總是既垂直于磁場方向，又垂直于運動方向(即垂直于磁場方向和運動方向所決定的平面)．
(4)電荷在電場中運動時，電場力要對運動電荷做功(電荷在等勢面)運動除外)，而電荷在磁場中運動時，磁場力一定不會對電荷做功。

【典型例題】
例1、圖中N表示真空室中垂直于紙面的平板，它的一側(cè)有勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應強度大小為B。一帶電粒子從平板上狹縫O處以垂直于平板的初速v射入磁場區(qū)域，最后到達平板上的P點。已知B、v以及P到O的距離l，不計重力，求此粒子的電荷e與質(zhì)量m之比。

例2、一個負離子，質(zhì)量為m，電量為q，以速率v垂直于屏S經(jīng)小孔O射入有勻強磁場的真空室中，磁感應強度B的方向與離子運動方向垂直，并垂直于紙面向里，如圖所示。如果離子進入磁場后經(jīng)過時間t到達P點，則直線OP與離子入射方向之間的夾角 跟t的關(guān)系式如何？

例3、如圖，在某裝置中有一勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直于Oxy所在的紙面向外。某時刻在x=l0、y=0處，一質(zhì)子沿y軸的負方向進入磁場；同一時刻，在x=-l0、y=0處，一個 粒子進入磁場，速度方向與磁場垂直。不考慮質(zhì)子與 粒子的相互作用。設(shè)質(zhì)子的質(zhì)量為m，電荷量為e。
（1）如果質(zhì)子經(jīng)過坐標原點O，它的速度為多大？
（2）如果 粒子與質(zhì)子經(jīng)最短時間在坐標原點相遇， 粒子的速度應為何值？方向如何？

【針對訓練】
1、在圖所示的各圖中，勻強磁場的磁感應強度均為B，帶電粒子的速率均為v、帶電量均為q。試求出圖中帶電粒子所受洛侖茲力的大小，并標出洛侖茲力的方向。（ ）

2、每時每刻都有大量帶電的宇宙射線向地球射，地球磁場可以有效地改變這些宇宙射線中大多數(shù)帶電粒子的運動方向，使它們不能到達地面，這對地球上的生命有十分重要的意義。假設(shè)有一個帶正電的宇宙射線粒子正垂直于地面向赤道射，（如圖，地球由西向東轉(zhuǎn)，虛線表示地球自轉(zhuǎn)軸，上方為地理北極），在地球磁場的作用下，它將（ ）
A、向東偏轉(zhuǎn)
B、向南偏轉(zhuǎn)
C、向西偏轉(zhuǎn)
D、向北偏轉(zhuǎn)
3、如圖所示，光滑半圓形軌道與光滑斜面軌道在B處與圓弧相連，帶正電小球從A靜止起釋放，且能沿軌道前進，并恰能通過圓弧的最高點C�，F(xiàn)將整個軌道置于水平向外的勻強磁場中，使球仍能恰好通過圓環(huán)最高點C，釋放高度H′與原釋放高度H的關(guān)系是（ ）
A、H′=H
B、H′＜H
C、H′＞H
D、不能確定
4、圖為云室中某粒子穿過鉛板P前后的軌跡。室中勻強磁場的方向與軌跡所在平面垂直（圖中垂直于紙面向里）。由此可知此粒子（ ）

A、一定帶正電
B、一定帶負電
C、不帶電
D、可能帶正電，也可能帶負電
5、質(zhì)子（ ）和 粒子（ ）從靜止開始經(jīng)相同的電勢差加速后垂直進入同一勻強磁場做圓周運動，則這兩粒子的動能之比Ek1:Ek2= ，軌道半徑之比r1:r2= ，周期之比T1:T2= 。
6、如圖所示，一電子以速度1.0×107m/s與
x軸成30°的方向從原點出發(fā)，在垂直紙面向里
的勻強磁場中運動，磁感應強度B=1T，那么圓運
動的半徑為 m，經(jīng)過時間 s，第一
次經(jīng)過x軸。（電子質(zhì)量m=9.1×10-31kg）
7、如圖所示，在y＜0的區(qū)域內(nèi)存在勻強磁場，磁場方向垂直于xOy平面并指向紙面外，磁感應強度為B。一帶正電的粒子以速度v0從O點射入磁場，入射方向在xOy平面內(nèi)，與x軸正向的夾角為 。若粒子射出磁場的位置與O點的距離為l，求該粒子的電荷量和質(zhì)量之比 。

【能力訓練】
1、如圖所示，在垂直紙面向里的勻強磁場的邊界上，有兩個質(zhì)量和電量均相同的正、負離子，從O點以相同的速度射入磁場中，射入方向均與邊界成 角。若不計重力，關(guān)于正、負離子在磁場中的運動，下列說法正確的是（ ）
A、運動的軌道半徑不相同
B、重新回到邊界的速度大小和方向都相同
C、重新回到邊界的位置與O點距離不相同D、運動的時間相同
2、如圖，在x＞0、y＞0的空間中有恒定的勻強磁場，磁感強度的方向垂直于xOy平面向里，大小為B�，F(xiàn)有一質(zhì)量為m電量為q的帶電粒子，在x軸上到原點的距離為x0的P點，以平行于y軸的初速度射入此磁場，在磁場作用下沿垂直于y軸的方向射出此磁場。不計重力的影響。由這些條可知（ ）
A、不能確定粒子通過y軸時的位置
B、不能確定粒子速度的大小
C、不能確定粒子在磁場中運動所經(jīng)歷的時間
D、以上三個判斷都不對
3、-介子衰變的方程為- ，其中-介子和 介子帶負的基元電荷， 是介子不帶電。一個-介子沿垂直磁場的方向射入勻強磁場中，其軌跡為圓弧AP，衰變后產(chǎn)生的 介子的軌跡為圓弧PB，軌跡在P點相切，它們的半徑 與 之比為2:1。 介子的軌跡未畫出，由此可知 的動量大小與 的動量大小之比為（ ）
A、1:1
B、1:2
C、1:3
D、1:6
4、如圖所示， 粒子和質(zhì)子從勻強磁場中同一點出發(fā)，沿著與磁感應強度垂直的方向以相同的速率開始反向運動。若磁場足夠大，則它們再相遇時所走過的路程之比是（不計重力）（ ）
A、1:1
B、1:2
C、2:1
D、4:1
5、一個質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子，以速度v垂直射入磁感應強度為B的勻強磁場中，粒子經(jīng)過一段時間，受到的沖量大小為mv，不計重力，則這段時間可能為（ ）
A、2 m/(qB)B、 m/(qB)C、 m/(3qB)D、7 m/(3qB)
6、如圖，在一水平放置的平板N的上方有勻強磁場，磁感應強度的大小為B，磁場方向垂直于紙面向里。許多質(zhì)量為m帶電量為＋q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個方向，由小孔O射入磁場區(qū)域。不計重力，不計粒子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域，其中R＝mv/Bq。哪個圖是正確的？
A B
C D
7、如圖所示，勻強磁場中有一圓形的空腔管道，
虛線表示中心軸線，在管的一端沿軸線方向入射一束帶
電粒子流，其中有質(zhì)子、氘核和 粒子，如果它們以相
同動能入射，已知質(zhì)子能夠沿軸線通過管道，那么還能夠通過管道的粒子是 ；如果它們經(jīng)相同的電勢差加速后入射，已知氘核能夠沿軸線通過管道，那么還能夠沿軸線通過的粒子是 。
8、如圖所示一電子以速度v垂直射入磁感應
強度為B，寬度為d的勻強磁場中，穿透磁場時
速度方向與電子原入射方向夾角30°，則電子
的質(zhì)量是 。
9、如圖所示，在x軸上方有勻強磁場B，一個質(zhì)量為m，帶電量為-q的粒子，以速度v從O點射入磁場， 角已知，粒子重力不計，求
（1）粒子在磁場中的運動時間。
（2）粒子離開磁場的位置
10、如圖所示，小車A質(zhì)量為mA=2kg，置于光滑水平面上，初速度為v=14m/s，帶電荷量q=0.2C的可視為質(zhì)點的物體B，質(zhì)量mB=0.1kg，輕輕放在小車的右端，在它們的周圍存在勻強磁場，方向垂直紙面向里，磁感應強度B=0.5T，物體B與小車之間有摩擦力，小車足夠長，求（g取10m/s2）：
（1）物體B的最大速度；
（2）小車A的最小速度；
（3）在此過程中產(chǎn)生的內(nèi)能。

【學后反思】
________________________________________________________________________________________________________________________ 。

參考答案：
[典型例題]
例1、解析：粒子初速v垂直于磁場，粒子在磁場中受洛倫茲力而做勻速圈周運動，設(shè)其半徑為R，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律，
有
因粒子經(jīng)O點時的速度垂直于OP，故OP是直徑，l＝2R
由此得
例2、解析：做出OP的中垂線與OS的交點即為離子做勻速圓周運動的圓心，軌跡如圖示：
方法一：弧OP對應的圓心角 ①
周期T= ②
運動時間：t= ③
解得： ④
方法二：弧OP對應的圓心角 ⑤
半徑為r，則qvB= ⑥
弧長：l=r• ⑦
線速度：v= ⑧
解得： ⑨
例3、解析：①質(zhì)子的運動軌跡如圖示，其圓心在x= 處
其半徑r1= ⑴
又r1= ⑵
⑶
②質(zhì)子從x=l0處至達坐標原點O處的時間為
t= ⑷
又TH= ⑸
⑹
粒子的周期為 ⑺
⑻
兩粒子的運動軌跡如圖示
由幾何關(guān)系得： ⑼
又 ⑽
解得：
與x軸正方向的夾角為 。
[針對訓練]
1、F=qvB F= qvB 0 F=qvB 2、A 3、B 4、A
5、1:2 1: ；1:2 6、5.69×10-5 5.95×10-12 7、
[能力訓練]
1、B 2、D 3、C 4、A 5、CD 6、A 7、 ；
8、2qBd/v 9、 10、（1）10m/s （2）13.5m/s （3）8.75J

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