2013深圳外國語學校綜合測試
理科數學
本試卷分第I卷（）和第II卷（非）兩部分．共4頁．滿分150分．考試時間120分鐘．
注意事項：
1．選擇題答案的序號填涂在答題卡指定的位置上，非選擇題應在答題卡上對應的位置作答. 超出答題區(qū)域書寫的答案無效．
2．作選考題時，按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑．
參考數據：錐體的體積公式 錐體 ，其中 是錐體的底面積， 是錐體的高．
第I卷（選擇題 共40分）
一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1．設全集 ＜ ，集合 ，則 等于
A． B． 　C． D．
2. 是虛數單位，若 ，則 等于
A．1　 　　　　 B． 　　　　　C． 　　　　　D．
3．若 ，對任意實數 都有 ，且 ，則實數 的值等于
A． ； B． ； C． 或 D．5或1
4．在等比數列 中， ，公比 ．若 ，則 （ ）
A．9 　 　　B．10 　　 　 C．11 　　 　 D．12
5．實數 滿足 若目標函數 取得最大值4，則實數 的值為
A．2 　　　　B．3 　　　　C．4 　　　　 D．
6．某工廠將甲、乙等五名新招聘員工分配到三個不同的車間，每個車間至少分配一名員工，若甲、乙兩名員工必須分到同一個車間，則不同分法的種數為
A．24　 　　 　　B．36　　　　　　　C．48　　　　　　D．60
7．一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為
A ． B． C． D．
8．在整數集 中，被5除所得余數為 的所有整數組成一個“類”，記為 ，即 ．給出如下四個結論：
① ； ② ； ③ ；
④“整數 ， 屬于同一“類”的充要條件是“ ”．
其中，正確結論的是 ( )
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
第II卷（非選擇題 共110分）
二、題：（本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．）
（一）必做題 (9～13題)
9．已知向量 、 的夾角為 ，且 ， ，則 ________.
10. 運行如右圖所示的程序框圖,則輸出 的值為________.
11.直線 與拋物線 圍成的圖形的面積等于______.
12.已知雙曲線 （ ）的離心率為2，一個焦點與拋物線 的焦點相同，則雙曲線的漸近線方程為_________.
13. 已知函數 的圖象關于點 對稱，且函數 為奇函數，則下列結論：①點 的坐標為 ；②當 時， 恒成立；③關于 的方程 有且只有兩個實根。其中正確結論的題號為 。
A ．①② 　　 B．②③ 　　 C． 　　 D．①②③
（二）選做題 (14～15題，考生只能從中選做一題)
14．（坐標系與參數方程選做題）在直角坐標系中，曲線 的參數方程為 ；在極坐標系（以原點 為極點，以 軸正半軸為極軸）中，曲線 的方程為 ， 則 與 兩交點的距離為________.
15．（幾何證明選講選做題）如圖, 是兩圓的交點, 是小圓的一條直徑, 和 分別是 和 的延長線與大圓的交點,已知 ,且 ,則 ________________．
三、解答題（本大題共6小題，滿分80分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）
16．（本小題滿分12分）
已知函數 ，
(I) 求函數 的最小正周期及單調增區(qū)間；
(Ⅱ)在 中，角A、B、C所對的邊分別是 、 、 ，又 ， ， 的面積等于 ，求邊長 的值．
17．（本小題滿分l2分）
如圖,一個圓形游戲轉盤被分成6個均勻的扇形區(qū)域.用力旋轉轉盤,轉盤停止轉動時,箭頭A所指區(qū)域的數字就是每次游戲所得的分數(箭頭指向兩個區(qū)域的邊界時重新轉動),且箭頭A指向每個區(qū)域的可能性都是相等的.在一次家庭抽獎的活動中,要求每個家庭派一位兒童和一位成人先后分別轉動一次游戲轉盤,得分情況記為(a,b)(假設兒童和成人的得分互不影響,且每個家庭只能參加一次活動).
(Ⅰ)求某個家庭得分為(5,3)的概率；
(Ⅱ)若游戲規(guī)定:一個家庭的得分為參與游戲的兩人得分之和,且得分大于等于8的家庭可以獲得一份獎品.求某個家庭獲獎的概率；
(Ⅲ)若共有4個家庭參加家庭抽獎活動.在(Ⅱ)的條件下,記獲獎的家庭數為X,求X的分布列及數學期望.
18．（本小題滿分l4分）
如圖，在矩形 中， ， 為 的中點，將 沿 折起，使 ；再過點 作 ，且 ．
(Ⅰ)求證： ；
(Ⅱ)求直線 與 所成角的正弦值；
(Ⅲ)求點 到 的距離．
19．（本小題滿分l4分）
已知等差數列 的首項為a，公差為b，等比數列 的首項為b，公比為a，其中a，b都是大于1的正整數，且 ．
（1）求a的值；
（2）若對于任意的 ，總存在 ，使得 成立，求b的值；
（3）令 ，問數列 中是否存在連續(xù)三項成等比數列？若存在，求出所有成等比數列的連續(xù)三項；若不存在，請說明理由．
20．(本小題滿分l4分)
如圖，已知拋物線 ： 和⊙ ： ，過拋物線 上一點
作兩條直線與⊙ 相切于 、 兩點，分別交拋物線為E、F兩點，圓心點 到拋物線準線的距離為 ．
（1）求拋物線 的方程；
（2）當 的角平分線垂直 軸時，求直線 的斜率；
（3）若直線 在 軸上的截距為 ，求 的最小值．
21．(本小題滿分l4分)
設 是定義在區(qū)間 上的函數，其導函數為 .如果存在實數 和函數 ，其中 對任意的 都有 ，使得 ，則稱函數 具有性質 .
（I）設函數 ，（ ），其中 為實數
①求證：函數 具有性質 ；
②求函數 的單調區(qū)間；
(II)已知函數 具有性質 ，給定 ， ，
設 為實數， ， ，且 ， ，
若 ，求 的取值范圍。
數 學(理科)參考答案
一、選擇題
D B C C　A B A C
二、題
9． 　　　 10． 　　　11． 　　 12． 　　13． ①③
14． 　　　　15．
三、解答題
16、 解：（1）因為 ………2分
故 的最小正周期為 ………3分
即 ………5分
所以，函數的增區(qū)間為 ………6分
（2） ………8分
………10分
由余弦定理
………12分
17、 解：(Ⅰ)記事件A：某個家庭得分情況為（5，3）.
所以某個家庭得分情況為（5，3）的概率為 . ……………2分
（Ⅱ）記事件B：某個家庭在游戲中獲獎，則符合獲獎條件的得分包括（5，3），（5，5），（3，5）共3類情況. 所以
所以某個家庭獲獎的概率為 . ……………4分
(Ⅲ)由（Ⅱ）可知，每個家庭獲獎的概率都是 ……5分
…………………………10分
所以X分布列為：
X01234
P
…………………………12分
18、（1）證明：折疊前，矩形 中，連接 ， 中， ， ，
即 ， ………1分
，交線為 ，
， ………3分
而
………4分
（2） 由（1）知， 是直線與 所成的角，………6分
在 中， ，
………8分
故直線 與 所成角的正弦值為 。 ………9分
（3）設點 到 的距離為 ，
且 ，
四邊形 為平行四邊形，
，從而 ，
故點 到 的距離等于點 到 的距離， ………11分
，
作 ，
，交線為 ，
，則 是D到面ABCE的距離，而 ………12分
由
………13分
點 到 的距離為 ………14分
19．（本小題滿分14分）
解：（1）由已知，得 ．由 ，得 ．
因a，b都為大于1的正整數，故a≥2．又 ，故b≥3．…………………1分
再由 ，得 ．
由 ，故 ，即 ．
由b≥3，故 ，解得 ．………………… ………………………3分
于是 ，根據 ，可得 ．……………………………………4分
（2）由 ，對于任意的 ，均存在 ，使得 ，則
．
又 ，由數的整除性，得b是5的約數．
故 ，b=5．
所以b=5時，存在正自然數 滿足題意．……………………………8分
（3）設數列 中， 成等比數列，由 ， ，得
．
化簡，得 ． （※） …………………………10分
當 時， 時，等式（※）成立，而 ，不成立．…………………11分
當 時， 時，等式（※）成立．…………………… …………………12分
當 時， ，這與b≥3矛盾．
這時等式（※）不成立．………………………………………………………13分
綜上所述，當 時，不存在連續(xù)三項成等比數列；當 時，數列 中的第二、三、四項成等比數列，這三項依次是18，30，50．…………………………………………14分
20、解（1）∵點 到拋物線準線的距離為 ，
∴ ，即拋物線 的方程為 ．
（2）法一：∵當 的角平分線垂直 軸時，點 ，∴ ，
設 ， ，
∴ ， ∴ ，
∴ ． ．
法二：∵當 的角平分線垂直 軸時，點 ，∴ ，可得 ， ，∴直線 的方程為 ，
聯(lián)立方程組 ，得 ，
∵ ∴ ， ．
同理可得 ， ，∴ ．
（3）法一：設 ，∵ ，∴ ，
可得，直線 的方程為 ，
同理，直線 的方程為 ，
∴ ，
，
∴直線 的方程為 ，
令 ，可得 ，
∵ 關于 的函數在 單調遞增， ∴ ．
法二：設點 ， ， ．
以 為圓心， 為半徑的圓方程為 ，①
⊙ 方程： ．②
①-②得：
直線 的方程為 ．
當 時，直線 在 軸上的截距 ，
∵ 關于 的函數在 單調遞增， ∴ ．
21、（1）(i) ………………1分
∵ 時， 恒成立，∴函數 具有性質 ；……………2分
(ii)（方法一）設 ， 與 的符號相同。
當 時， ， ，故此時 在區(qū)間 上遞增；………………3分
當 時，對于 ，有 ，所以此時 在區(qū)間 上遞增；………4分
當 時， 圖像開口向上，對稱軸 ，而 ，
對于 ，總有 ， ，故此時 在區(qū)間 上遞增；……5分
（方法二）當 時，對于 ，
所以 ，故此時 在區(qū)間 上遞增；…………………………5分
當 時， 圖像開口向上，對稱軸 ，
方程 的兩根為： ， ………………………6分
而
當 時， ， ，故此時 在區(qū)間 上遞減；
同理得： 在區(qū)間 上遞增。
綜上所述，當 時， 在區(qū)間 上遞增；
當 時， 在 上遞減； 在 上遞增…………7分
(2)（方法一）由題意，得：
又 對任意的 都有 >0，
所以對任意的 都有 ， 在 上遞增。 …………8分
又 。 …………9分
當 時， ，且 ，
…………11分
…………12分
……13分
綜合以上討論，得：所求 的取值范圍是（0，1）�！�………14分
（方法二）由題設知， 的導函數 ，其中函數 對于任意的 都成立。所以，當 時， ，從而 在區(qū)間 上單調遞增。 …………8分
①當 時，有 ，
，得 ，同理可得 ，所以由 的單調性知 、 ，
從而有 < ，符合題設。 …………10分
②當 時， ，
，于是由 及 的單調性知 ，所以 ≥ ，與題設不符�！�………12分
③當 時，同理可得 ，進而得 ≥ ，與題設不符。
因此綜合①、②、③得所求的 的取值范圍是（0，1）�！�………14分


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