珠海市2014-2013學年度第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測 高一數(shù)學試題及參考答案
時量：120分鐘 分值：150分
參考公式：球的表面積 ，球的體積 ， 圓錐側面積
一、：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請在答題卡上填涂相應選項.
1.（集合的運算）集合 ， ，則 （ ）
A． B． C． D．
2.（函數(shù)的概念）下列四個函數(shù)中，與 表示同一函數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
3.（直線的截距）直線 在 軸上的截距為 ，則（ ）
A. B. C. D.
4.（函數(shù)的單調性）下列函數(shù)中,在區(qū)間 上是增函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
5.（直線平行）已知直線 和直線 ，它們的交點坐標是（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（-1，0） D．（-2，-1）
6.（函數(shù)的圖像）當 時，在同一坐標系中，函數(shù) 與 的圖象是（ ）
(A)(B) (C) (D)
7.（異面直線所成的角）在右圖的正方體中， 分別為棱 和棱 的中點，則異面直線 和 所成的角為（ ）
A． B． C． D．
8.（函數(shù)的零點）已知函數(shù) 的圖像是連續(xù)不斷的，有如下 ， 對應值表：
123456
132.5210.5-7.5611.5-53.76-126.8
函數(shù) 在區(qū)間 上有零點至少有（ ）
A． 2個 B. 3個 C .4個 D. 5個
9.（球的體積與表面積）已知正方體的內切球（球與正方體的六個面都相切）的體積是 ，那么球的表面積等于（ ）
A． B. C. D.
10.（函數(shù)的奇偶性和單調性）若偶函數(shù) 在 上是增函數(shù)，則下列關系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11.（指對數(shù)的綜合）三個數(shù) 的大小關系為（ ）
A. B.
C． D.
12.(函數(shù)綜合) 對于函數(shù) 定義域中任意的 有如下結論
① ②
③ ④
當 時,上述結論中正確的序號是（ ）
A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④
二、題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．請將答案填在答題卡相應位置.
13．（圓的標準方程）已知圓的方程為 ，則圓心坐標為 ，半徑為 2 .
14.（三視圖）如果一個幾何體的三視圖如右圖所示（單位長度：cm），則此幾何體的體積是
15.（直線的斜率）直線 的斜率是
16.（冪函數(shù)）冪函數(shù) 的圖象過點 ，則 ______
17.（定義域）函數(shù) 的定義域為 .
18.（分段函數(shù)與解不等式）已知函數(shù) 則 的值 ．
19.（函數(shù)的奇偶性）已知函數(shù) 是定義在上的奇函數(shù)，當 時， ，那么 時， .
20.（立體幾何的綜合）
已知兩條不同直線 、，兩個不同平面 、 ，給出下列命題：
①若垂直于 內的兩條相交直線，則⊥ ；
②若∥ ，則平行于 內的所有直線；
③若 ， 且 ∥ ，則 ∥；
④若 ， ，則 ⊥ ；
其中正確命題的序號是 ①④ ．（把你認為正確命題的序號都填上）
三、解答題:本題共有5個小題，8分+10分+10分+10分+12分=50分．
21.(指數(shù)與對數(shù)的運算)（本題滿分8分）計算：
(1) ； (2)
解：（1）原式= …………（4分）
（2）原式= …………………………（8分）
22. (直線方程) （本題滿分10分）已知 三個頂點是 ， ，
(1)求 邊上的垂直平分線的直線方程；（7分）
（2）求點 到 邊所在直線的距離．（3分）
解：（1） ，
，………（2分）
則所求直線的斜率為： ………………………………………（4分）
又 的中點 的坐標為 ，所以 邊的上的中垂線所在的直線方程為：
………………………………………………………………………………（7分）
（2）直線 的方程為：
則點 到直線 ： 的距離為： ……………（10分）
23.在三棱柱 中，側棱垂直于底面，
(1) 求證： ； (2) 求證： ； （3）求三棱錐 的體積.
解：（1）證明：
∵ ， …………（2分）
…
∴ ……………（3分）
（2）證明：在直三棱柱 中 ……………………………（4分）
……………………………（5分）
……………………………………………（6分）
……………………………………………………（7分）
（3） …………………………………………………（8分）
……………………………………（10分）
24. (函數(shù)與單調性) （本小題滿分10分）
右圖是一個二次函數(shù) 的圖象.
(1)寫出這個二次函數(shù)的零點；
(2)求這個二次函數(shù)的解析式；
(3)當實數(shù) 在何范圍內變化時， 在區(qū)間 上是單調函數(shù)．
解：（1）由圖可知二次函數(shù)的零點為 ………………（2分）
（2）設二次函數(shù)為 ,點 在函數(shù)上，
解得
所以 ………………………………………………（6分） （3） ，開口向下，對稱軸為
當 ，即 時， 在 上遞減………………………………（8分）
當 ， 即 時， 在 上遞增
綜上所述 或 …………………………………………………………………（10分）
注：第(1)小題中若零點寫為 ， ，扣1分。
25. (函數(shù)的奇偶性) （本小題滿分12分）
已知 。
（1）求函數(shù) 的定義域；
（2）判斷函數(shù) 的奇偶性，并予以證明；
（3）求使 的 的取值范圍。
解：(1) …………………………………………………………………（2分）
所以函數(shù) 的定義域為 ………………………………………………………（3分）
(2) 任意取 ，則 ……………………………………………………（4分）
即 …………………………………………………………………（6分）
所以函數(shù) 是奇函數(shù)．…………………………………………………………………（7分）
(3) 由 ，可得 ，即
…………………………………………………………（9分）
……………………………………………………（11分）
所以 ， ………………………………………（12分）
附加題:
26．從點 處發(fā)出一條光線，與直線 相遇于點 后反射，反射光線恰與圓 相切，求線段 的長．
解： 設點 關于直線 對稱的點為
則 ，解得 ………………………（3分）
據(jù)物理學知識可知反射光線的反向延長線必過 ，……（4分）
所以設直線 的方程為： …………………………………………………………（5分）
則圓心到直線 的距離 …………………………………………………………（7分）
解得 或 (根據(jù)題意要舍去) ……………………………………………（8分）
聯(lián)立直線方程 ，解得 ，
即 的坐標為 ………………………………………………………………（9分）
……………………………（10分）
27.已知四面體的 條棱的長為 ， 條棱的長為 ，求它的體積。
解： 根據(jù)分析可知滿足題目條件的四面體有兩種情況，也就是棱長為 的棱共面和異面
（1）當棱長為 的棱異面時，四面體的圖形如右圖
……………………………………………………（2分）
經過計算， ，………………………………………（4分）
，所以三角形 并不存在，即這種情況的三棱錐也不存在………………（5分）
（2）當棱長為 的棱共面時，四面體的圖形如右圖
……………………………………………………（7分）
……………………………………………………（9分）
………………………………………………………（10分）
28．設函數(shù) 的定義域關于原點對稱，對定義域內任意的 存在 和 ，使 ，且滿足：
（1） ；
（2）當 時，
請回答下列問題：（1）判斷函數(shù)的奇偶性并給出理由；（2）判斷 在 上的單調性并給出理由．
解：（1）函數(shù) 在定義域內是奇函數(shù)………………………………………………………（1分）
因為在定義域內，對任意 存在 和 ，使 ，且滿足： ；
由于函數(shù) 的定義域關于原點對稱， 必與 同時在定義域內，…（2分）
同樣存在存在 和 ，使 ，且滿足： ，……（3分）
即
………………………………………………………………………………………………（4分）
函數(shù) 在定義域內是奇函數(shù). ……………………………………………………………………………（5分）
（2）函數(shù) 在 上是單調遞增函數(shù)……………………………………………………………………（6分）
任意取 ，且 ，則
函數(shù) 在定義域內是奇函數(shù)，且當 時， ，
， ， …………………………………………………（7分）
又
……………………………………………………………………………………………（9分）
函數(shù) 在 上是單調遞增的……………………………………………………………………（10分）


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