湖南師大附中2014-2014學(xué)年度上學(xué)期高一第一次段考（期中）（數(shù)學(xué)）
分值：150分 時(shí)量：120分鐘
第Ⅰ卷 （必考部分 共100分）
一、（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1.已知三個(gè)集合 及元素間的關(guān)系如圖所示，則 等于（ C ）
A． B. C. D.
2.下列函數(shù)是奇函數(shù)的是 （ D ）
A． B.
C. D.
3.下列計(jì)算正確的是 （ B ）
A. B.
C. D.
4.函數(shù) 的定義域?yàn)?（ A ）
A． B. C. D.
5.已知集合 ，則下列式子表示錯(cuò)誤的是 （ B ）
A B C D
6．設(shè) ,用二分法求方程 內(nèi)近似解
的過程中得 則方程的根落在區(qū)間 ( B ）
A B C D 不能確定
7．設(shè) ，則 的大小關(guān)系是 （ A ）
A． B. C. D.
8.今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：
t1.993.04.05.16.12
y1.54.047.51218.01
現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，
其中最接近的一個(gè)是： （ C ）
A． B. C. D.
二、題（本大題共6小題，每小題4分，共24分，把答案填在題中橫線上）
9.函數(shù) 的零點(diǎn)為 3 ;
10.計(jì)算：(1) 1 ; (2) ;
11．已知函數(shù) ，則 0 ;
12.設(shè) ,且 ，則 的取值范圍是
13.如果函數(shù) 是偶函數(shù)，那么 = -1 ;
14.已知函數(shù) ，則 8 .
三、解答題（本大題共5小題，共44分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15．（本題滿分8分）已知集合
求 .
解：由題意得 ,
.
16.（本題滿分8分）已知函數(shù) .
（1）求證： 在 上是單調(diào)遞增函數(shù)；
(2)若 在 上的值域是 ，求 的值.
解：（1）證明:設(shè) ，則 ，
,
在 上是單調(diào)遞增的.
（2） 在 上單調(diào)遞增，
，易得 .
17.（本題滿分8分）已知 .
（1）求函數(shù) 的定義域；
（2）求使 的x的取值范圍.
18.（本題滿分10分） 某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人,如果年自然
增長率為1.2%，試解答以下問題：
(1)寫出該城市人口總數(shù)y（萬人）與年份x（年)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)計(jì)算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人);
(3)計(jì)算大約多少年以后，該城市人口將達(dá)到120萬人（精確到1年）.
（參考數(shù)據(jù):1.0129≈1.113，1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079,lg1.012≈0.005）
解：（1）1年后該城市人口總數(shù)為
y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).
2年后該城市人口總數(shù)為
y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%
=100×(1+1.2%)2.
3年后該城市人口總數(shù)為
y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%
=100×(1+1.2%)3.
x年后該城市人口總數(shù)為
y=100×(1+1.2%)x.
(2) 10年后，人口總數(shù)為
100×(1+1.2%)10≈112.7（萬人).
(3) 設(shè)x年后該城市人口將達(dá)到120萬人，
即100×(1+1.2%)x=120,
所以，大約16年以后，該城市人口將達(dá)到120萬人.
19．（本題滿分10分）已知函數(shù) .
(1)當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的值域；
(2)如果函數(shù) 在定義域內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
解：（1）當(dāng) 時(shí)， ，
從而， 的最小值是 ，最大值是 ，
即 的值域是 .
(2) 函數(shù) 在定義域內(nèi)有零點(diǎn),即方程 在 有實(shí)根，
等價(jià)于求函數(shù) 在 上的值域.令 ，則
.再令 ，
則 ，當(dāng) 時(shí)， 有最大值 ，即 .
第Ⅱ卷 (選考部分 共50分）
20.（本題滿分12分）已知集合 ,若A=B,求 的值.
解：由A=B知， ，即 ，此時(shí),
所以 ，解得
與集合元素互異性矛盾，應(yīng)舍去；
當(dāng)
21．（本題滿分12分）已知二次函數(shù) 和一次函數(shù) ，
其中 且滿足 ， ．
（1）證明：函數(shù) 與 的圖象交于不同的兩點(diǎn)A，B；
（2）若函數(shù) 在 上的最小值為9，最大值為21，求 的解析式.
解：（1）由 與 得 ，
， ，
從而 ，即函數(shù) 與 的圖象交于不同兩點(diǎn)A，B.
（2） 即 ，得
知函數(shù) 在[2，3]上為增函數(shù)， ，
又 解得 故 .
22.（本題滿分13分）已知定義域?yàn)?的函數(shù) 是奇函數(shù).
（1）求 的值；
（2）若對任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范圍．
解:（1）因?yàn)?是奇函數(shù)，所以 =0，即
（2）由（1）知 設(shè) ,則
，
因?yàn)楹瘮?shù)y=2 在R上是增函數(shù)且 , ∴ >0，又 >0,
∴ >0即 . ∴ 在 上為減函數(shù).
因 是奇函數(shù)，不等式 等價(jià)于 ，
又因 為減函數(shù)，∴ ．即對一切 有： ，
從而判別式
23．（本題滿分13分）已知定義在區(qū)間 上的函數(shù) 滿足 ，且當(dāng) 時(shí)， .
（1）求 的值；
（2）判斷 的單調(diào)性并予以證明；
（3）若 解不等式 .
解:（1）令 ，代入得 ，故 .
（2）任取 ，且 則 ，由于當(dāng) 時(shí)， ,
所以 ,即 ，因此 .
所以函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)遞減函數(shù).
(3) 由 得 ，而 ，所以 .
由函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)遞減函數(shù)，且 ，
得 ，因此不等式的解集為 .


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