2012年4月
綿陽南中學2012年春季高2013級半期考試
數 學 試 題（理科）

第I卷（ 共48分）
一、：本大題共12小題，每小題4分，共48分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1、已知向量 ＝（1，1，0）， ＝（－1， 0，2），且 ＋ 與2 － 互相垂直，則 的值是（ ）
A．1 B． C． D．
2、函數f(x)=(x-3)ex的單調遞增區(qū)間是（ ）
A.（-∞，2） B.（0,3）
C.（1,4） D.（2，+∞）
3、若正四棱柱 的底面邊長為1， 與底面 成60°角，則 到底面 的距離為（ ）
A． B．1 C． D．
4、如圖，函數 的圖象在點P處的切線方程是 ，則 （ ）
A．2 B． C．12 D．0
5、 是虛數單位，已知復數 ，則復數Z對應點落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6、已知空間四邊形 ，其對角線為 ， 分別是邊 的中點，點 在線段 上，且使 ，用向量 表示向量 是 （ ）
A． B．
C． D．
7、給出定義：若函數 在D上可導，即 存在，且導函數 在D上也可導，則稱 在D上存在二階導函數，記 = ，若 ＜0在D上恒成立，則稱 在D上為凸函數，以下四個函數在 上不是凸函數的是（ ）
A. = B. =
C. = D. =
8、給出的下列不等式中，不成立的是（ ）
A． B.
C. D.
9、2008年北京奧運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五 名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有 ( )
A. 48種 B. 36種 C. 18種 D. 12種
10、曲線 上 的點到直線 的最短距離是 （ ）
A． B． C． D．0
11、若函數 上不是單調函數，則實數k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D ．不存在這樣的實數k
12、已知函數 的定義域為 ，部分對應值如下表， 的導函數 的圖像如 圖所示．下列命題中，真命題的個數為 （ ）．
第12題圖
① 函數 是周期函數；② 函數 在 是減函數；③ 如果當 時， 的最大值是 ，那么 的最大值為 ；④ 當 時，函數 有 個零點，其中真命題的個數是 （ ）
A． 個 B． 個 C． 個 D． 個
第II卷（非選擇題 共52分）
二、題：本大題共4小題，每小題3分，共12分，把答案填在答題卷的相應位置。
13、函數 , 的最大值為
14、如圖， 是直三棱柱， ，點 、 分別是 ， 的中點，若 ，則 與 所成角的余弦值為
15、設 是偶函數，若曲線 在點 處的切線的斜率為1，則該曲線在點 處的切線的斜率為
16、給出下列命題：
①某校開設A類選修3門 ，B類選修 4門，一位同學從中共選3門，若要求兩類程中各至少選一門，則不同的選法共有60種；
②對于任意實數x，有 則
③已知點 在平面 內，并且對空間任一點 ， ，則 的值為1；
④在正三棱柱 中，若 ， ，則點 到平面 的距離為 ，其中正確命題的序號是
三、解答題：本大題共4小題，共40分。解答應寫出字說明、證明過程或演算步驟，解答寫在答題卷上的指定區(qū)域內。
17、（本題滿分10分）已知正方體ABCD－A1B1C1D1，
O是底面ABCD對角線的交點.
（1）求證：A1C⊥平面AB1D1；
（2）求 。
18、（本題滿分10分）已知函數 ,曲線 在點 處的切線為 ，若 時， 有極值.
（1）求 的值；
（2）求 在 上的最大值和最小值.
19、（本題滿分10分）已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是
邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，
E，F分別為棱BC、AD的中點.
（1）求證：DE∥平面PFB；
（2）已知二面角P-BF-C的余弦值為 ，
求四棱錐P-ABCD的體積.
20、（本題滿分10分）已知函數 ， ，其中 ．
（1）若 是函數 的極值點，求實數 的值；
（2）若對任意的 （ 為自然對數的底數）都有 ≥ 成立，求實數 的取值范圍．

綿陽南中學2012年春季高2013級半期考試數學試題參考答案及評分標準
一、選擇題：
CDDAB ABDBC AD
二、題：
(13) (14) (15) -1 (16)②④
三、解答題
17證明：（1） 面 1分
又 ， 2分
3分
同理可證 ， 4分
又
面 5分
（2）法1:建系求解，求出平面的法向量得7分，直線AC的向量得8分，求出正確結果的得10分；
法2：直線AC與平面 所成的角實際上就是正四面體ACB1D1的一條棱與一個面所成的角，
余弦值為 ，從而正切值為 。
法3：直線AC與平面 所成 的角實際上就是直線AC 與平面 所成的角
法2、法3指出線面角得8分，計算出正確結果得10分
18、解：（1）由 得， 1分
當 時，切線 的斜率為3，可得 ① 2分
當 時， 有極值，得 3分
可得 ②
由①②解得 4分
由于切點的橫坐標為 ∴
∴
∴ 5分
（2）由（1）可得
∴ 6分
令 ，得 ， 7分
當 變化時 ， 的取值及變化如下表：
真確列出表得 9分

4
∴ y=f(x)在[-3，1]上的最大值為13，最小值為 10分
19、解：（Ⅰ）因為E，F分別為正方形ABCD的兩邊BC，AD的中點，
所以 , 2分
所以， 為平行四邊形, 3分
得 ， 4分
又因為 平面PFB，且 平面PFB,
所以DE∥平面PFB. 5分
（Ⅱ）如圖，以D為原點，射線DA,DC,DP分
別為x,y,z軸建立空間直角坐標系. 6分
設PD=a,
可得如下點的坐標：
P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)
則有 ：

因為PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的
一個法向量為 ， 7分
設平面PFB的一個法向量為 ，則可得

即
令x=1,得 ，所以 . 8分
由已知，二面角P-BF-C的余弦值為 ，所以得:
,
解得a =2. 9分
因為PD是四棱錐P -ABCD的高，
所以，其體積為 . 10分
20、解：∵ ，其定義域為 ，
∴ ． 1分
∵ 是函數 的極值點，∴ ， 2分
即 ． 3分
∵ ，∴ ． 4分
（2） 對任意的 都有 ≥ 成立等價于對任意的
都有 ≥ ． 5分
當 ［1， ］時， ．
∴函數 在 上是增函數．
∴ ． 6分
∵ ，且 ， ．
①當 且 ［1， ］時， ，
∴函數 在［1， ］上是增函數，
∴ . 7分
由 ≥ ，得 ≥ ，
又 ，∴ 不合題意．
②當1≤ ≤ 時，
若1≤ ＜ ，則 ，
若 ＜ ≤ ，則 ．
∴函數 在 上是減函數，在 上是增函數．
∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，
又1 ≤ ≤ ，∴ ≤ ≤ ． 8分
③當 且 ［1， ］時， ，
∴函數 在 上是減函數．∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，
又 ，∴ ． 9分
綜上所述， 的取值范圍為 ． 10分

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