第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入綜合檢測
時間120分鐘，滿分150分。
一、(本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．復數(shù)z是實數(shù)的充分而不必要條件為(　　)
A．z＝z　　　B．z＝z
C．z2是實數(shù) D．z＋z是實數(shù)
[答案]　A
[解析]　由z＝z可知z必為實數(shù)，但由z為實數(shù)不一定得出z＝z，如z＝－2，此時z≠z，故z＝z是z為實數(shù)的充分不必要條件，故選A.
2．(2010?湖北理，1)若i為虛數(shù)單位，圖中復平面內(nèi)點Z表示復數(shù)z，則表示復數(shù)z1＋i的點是(　　)
A．E　　　　B．F　　　　
C．G　　　　D．H
[答案]　D
[解析]　由圖可知z＝3＋i，
∴z1＋i＝3＋i1＋i＝(1－i)(3＋i)(1－i)(1＋i)＝4－2i2＝2－i，對應復平面內(nèi)的點H，故選D.
3．(2010?荷澤高二期中)化簡2＋4i(1＋i)2的結(jié)果是(　　)
A．2＋i B．－2＋i
C．2－i D．－2－i
[答案]　C
[解析]　2＋4i(1＋i)2＝2＋4i2i＝2－i.
4．在復平面上，一個正方形的三個頂點對應的復數(shù)分別是1＋2i、－2＋i、0，那么這個正方形的第四個頂點對應的復數(shù)為(　　)
A．3＋i B．3－i
C．1－3i D．－1＋3i
[答案]　D
[解析]　在復平面內(nèi)通過這四個點易知第四個頂點對應的復數(shù)為－1＋3i.
5．(2010?新課標全國文，3)已知復數(shù)z＝3＋i(1－3i)2，則z＝(　　)
A.14　　 　B.12　　 　
C．1　　 　D．2
[答案]　B
[解析]　由題知：z＝3＋i(1－3i)2＝3＋i－2－23i＝(3＋i)(－2＋23)(－2－23i)(－2＋23i)＝－34＋14i，可得z＝(－34)2＋(14)2＝12，故選B.
6．當z＝－1－i2時，z100＋z50＋1的值是(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
[答案]　D
[解析]　原式＝－1－i2100＋－1－i250＋1
＝1－i2250＋1－i2225＋1
＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故應選D.
7．復數(shù)(1＋bi)(2＋i)是純虛數(shù)，則實數(shù)b＝(　　)
A．2 B.12
C．－12 D．－2
[答案]　A
[解析]　(1＋bi)(2＋i)＝(2－b)＋(2b＋1)i是純虛數(shù)，∴2－b＝02b＋1≠0，∴b＝2.
8．復數(shù)z＝－1＋i1＋i－1，在復平面內(nèi)z所對應的點在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　B
[解析]　z＝(－1＋i)i(1＋i)i－1＝(－1＋i)i－1＋i－1＝－1＋i.
9．已知復數(shù)z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1?z2是實數(shù)，則實數(shù)t等于(　　)
A.34 B.43
C．－43 D．－34
[答案]　A
[解析]　z1?z－2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i.因為z1?z2是實數(shù)，所以4t－3＝0，所以t＝34.因此選A.
10．已知復數(shù)z＝1－i，則z2－2zz－1＝(　　)
A．2i B．－2i
C．2 D．－2
[答案]　B
[解析]　∵z＝1－i，
∴z2－2zz－1＝－2i－2＋2i1－i－1＝－2－i＝－2i，故選B.
11．若z＝cosθ＋isinθ(i為虛數(shù)單位)，則使z2＝－1的θ值可能是(　　)
A.π6 B.π4
C.π3 D.π2
[答案]　D
[解析]　解法1：將選項代入驗證即可．驗證時，從最特殊的角開始．
解法2：z2＝(cosθ＋isinθ)2＝(cos2θ－sin2θ)
＋2isinθcosθ＝cos2θ＋isin2θ＝－1，
∴sin2θ＝0cos2θ＝－1，∴2θ＝2kπ＋π(k∈Z)，
∴θ＝kπ＋π2(k∈Z)，令k＝0知選D.
12．設(shè)復數(shù)z＝lg(m2－1)＋1－mi，z在復平面內(nèi)的對應點(　　)
A．一定不在一、二象限
B．一定不在二、三象限
C．一定不在三、四象限
D．一定不在二、三、四象限
[答案]　C
[解析]　∵m2－1>01－m≥0，∴m＜－1，此時lg(m2－1)可正、可負，1－m＞2，故選C.
二、題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分．將正確答案填在題中橫線上)
13．已知x＋1x＝－1，則x2006＋1x2006的值為________．
[答案]　－1
[解析]　∵x＋1x＝－1，∴x2＋x＋1＝0.
∴x＝－12±32i，∴x3＝1.
2006＝3×668＋2，x2006＝x3×668＋2＝x2，
∴x2006＋1x2006＝x2＋1x2＝x＋1x2－2＝(－1)2－2
＝－1.
14．若x、y為共軛復數(shù)，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，則x＋y＝________.
[答案]　22
[解析]　∵x、y為共軛復數(shù)，∴x＋y、xy∈R
由復數(shù)相等的條件有：(x＋y)2＝4－3xy＝－6
設(shè)x＝a＋bi(a、b∈R)，則y＝a－bi，
∴(2a)2＝4a2＋b2＝2，∴x＋y＝2a2＋b2＝22.
15．若(3－10i)y＋(－2＋i)x＝1－9i，則實數(shù)x、y的值分別為________．
[答案]　x＝1，y＝1
[解析]　原式可以化為
(3y－2x)＋(x－10y)i＝1－9i，
根據(jù)復數(shù)相等的充要條件，有
3y－2x＝1，x－10y＝－9.解得x＝1，y＝1.
16．下列命題中，錯誤命題的序號是____________．
①兩個復數(shù)不能比較大��；②z1，z2，z3∈C，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，則z1＝z3；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)x＝±1；④z是虛數(shù)的一個充要條件是z＋z∈R；⑤若a，b是兩個相等的實數(shù)，則(a－b)＋(a＋b)i是純虛數(shù)；⑥復數(shù)z∈R的一個充要條件是z＝z；⑦在復數(shù)集內(nèi)，－1的平方根是±i；⑧z21＋z22＝0?z1＝z2＝0.
[答案]　①②③④⑤⑧
[解析]�、馘e誤，兩個復數(shù)如果都是實數(shù)，則可比較大��；②錯誤，當z1，z2，z3不全是實數(shù)時不成立，如z1＝i，z2＝1＋i，z3＝1時滿足條件，但z1≠z3；③錯誤，當x＝－1時，虛部也為零，是實數(shù)；④錯誤，此條件是必要非充分條件；⑤錯誤，當a＝b＝0時，是實數(shù)；⑥是正確的；⑦是正確的；⑧錯誤，如z1＝i，z2＝1滿足i2＋12＝0，但z1≠0，z2≠0.
三、解答題(本大題共6個小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本題滿分12分)復平面內(nèi)有A、B、C三點，點A對應復數(shù)是3＋i，向量AC→對應復數(shù)是－2－4i，向量BC→表示的復數(shù)是－4－i，求B點對應復數(shù)．
[解析]　∵CA→表示的復數(shù)是2＋4i，
CB→表示的復數(shù)是4＋i，
∴AB→表示的復數(shù)為(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i，
故OB→＝OA→＋AB→對應的復數(shù)為
(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i，
∴B點對應的復數(shù)為zB＝5－2i.
18．(本題滿分12分)已知(1＋2i)z＝4＋3i，求z及zz.
[解析]　設(shè)z＝a＋bi，則z＝a－bi(a，b∈R)
∴(1＋2i)(a－bi)＝4＋3i
∴(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i
∴a＋2b＝42a－b＝3，∴a＝2，b＝1，∴z＝2＋i，
∴z＝2－i，
∴zz＝2＋i2－i＝(2＋i)25＝35＋45i.
19．(本題滿分12分)虛數(shù)z滿足z＝1，z2＋2z＋1z＜0，求z.
[解析]　設(shè)z＝x＋yi (x、y∈R，y≠0)，∴x2＋y2＝1.
則z2＋2z＋1z＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋1x＋yi
＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.
∵y≠0，z2＋2z＋1z<0，
∴2x＋1＝0，　　　　�、賦2－y2＋3x＜0， ②
又x2＋y2＝1.　　　　 �、�
由①②③得 x＝－12，y＝±32.
∴z＝－12±32i.
20．(本題滿分12分)已知復數(shù)z滿足z＝2，z2的虛部為2.
(1)求復數(shù)z；
(2)設(shè)z，z2，z－z2在復平面內(nèi)對應的點分別為A，B，C，求△ABC的面積．
[解析]　(1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知條件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，所以2ab＝2.
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)當z＝1＋i時，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.所以點A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝12AC×1＝12×2×1＝1.
當z＝－1－i時，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.
所以點A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝12AC×1＝12×2×1＝1.即△ABC的面積為1.
21．(本題滿分12分)已知復數(shù)z1，z2滿足條件z1＝2，z2＝3，且3z1＋2z2＝6，求復數(shù)z1和z2.
[解析]　設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則a2＋b2＝4，c2＋d2＝9，由3z1＋2z2＝6，得(3a＋2c)＋(3b＋2d)i＝6，
由復數(shù)相等得3a＋2c＝6，3b＋2d＝0.
解方程組a2＋b2＝4，c2＋d2＝9，3a＋2c＝6，3b＋2d＝0，得a＝1，b＝3，c＝32，d＝－332，或a＝1，b＝－3，c＝32，d＝332.
所以z1＝1＋3i，z2＝32－323i，或z1＝1－3i，z2＝32＋323i.
22．(本題滿分14分)已知復數(shù)z＝(2x＋a)＋(2－x＋a)i，x，a∈R，且a為常數(shù)，試求z的最小值g(a)的表達式．
[解析]　z2＝(2x＋a)2＋(2－x＋a)2＝22x＋2－2x＋2a(2x＋2－x)＋2a2.
令t＝2x＋2－x，則t≥2，且22x＋2－2x＝t2－2.
從而z2＝t2＋2at＋2a2－2＝(t＋a)2＋a2－2，
當－a≥2，即a≤－2時，g(a)＝a2－2；
當－a<2，即a>－2時，g(a)＝(a＋2)2＋a2－2＝2a＋1.


本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaoer/66347.html

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