第一講 坐標系與參數(shù)方程
1．（2010湖南理 數(shù)）3、極坐標方程 和參數(shù)方程 （ 為參數(shù)）所表示的 圖形分別是
A、圓、直線 B、直線、圓
C、圓、圓 D、直線、直線

2．（2010安徽理數(shù)）7、設曲線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)），直線 的方程為 ，則曲線 上到直線 距離為 的點的個數(shù)為
A、1B、2C、3D、4
7.B
【解析】化曲線 的參數(shù)方程為普通方程： ，圓心 到直線 的距離 ，直線和圓相交，過圓心和 平行的直線和圓的2個交點符合要求，又 ，在直線 的另外一側沒有圓上的點符合要求，所以選B.
【方法總結】解決這類問題首先把曲線 的參數(shù)方程為普通方程，然后利用圓心 到直線的距離判斷直線與圓的位置關系，這就是曲線 上到直線 距離為 ，然后再判斷知 ，進而得出結論.
3．（坐標系與參數(shù)方程選做題）參數(shù)方程 （ 為參數(shù)）化成普通方程為
x2＋（y－1）2＝1.
解析：
4．（2010廣東文數(shù)）15.（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標 系 中，曲線 與 的交點的極坐標為 .

5．（2010遼寧理數(shù)）（ 23）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

已知P為半圓C： （ 為參數(shù)， ）上的點，點A的坐標為（1,0），

O為坐標原點，點M在射線OP上，線段OM與C的弧 的長度均為 。
（I）以O為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求點M的極坐標；
（II）求直線AM的參數(shù)方程。
解：
（Ⅰ）由已知，M點的極角為 ，且M點的極徑等于 ，
故點M的極坐標為（ ， ）. ……5分
（Ⅱ）M點的直角坐標為（ ），A（0,1），故直線AM的參數(shù)方程為
（t為參數(shù)） ……10分
6．已知曲線C ： （t為參數(shù)）， C ： （ 為參數(shù)）。
（1）化C ，C 的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）若C 上的點P對應的參數(shù)為 ，Q為C 上的動點，求 中點 到直線
（t為參數(shù)）距離的最 小值
解析：
（Ⅰ）
為圓心是 ，半徑是1的圓。
為中心是 坐標原點，焦點在 軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓。
（Ⅱ）當 時， ，故
為直線 ，
M到 的距離
從而當 時， 取得最 小 值
7．已知點 是圓 上的動點，
（1）求 的取值范圍；
（2）若 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍。
解析：（1）設圓的參數(shù)方程為 ，


（2）

8．在平面直角坐標系中，動點P的坐標（x,y）滿足方程組：

（1） 若k為參數(shù)， 為常數(shù)（ ），求P點軌跡的焦點坐標。
（2） 若 為參數(shù)，k為非零常數(shù)，則P點軌跡上任意兩點間的距離是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，說明理由。
解析：（1）
得：

（2）

9．已知曲線C的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)， ）.
求曲線C的普通方程。
解析：本小題主要考查參數(shù)方程和普通方程的基本知識，考查轉(zhuǎn)化問題的能力。滿分10分。
解：因 為 所以
故曲線C的普通方程為： .
10．在曲線 ： ,在曲線 求一點，使它到直線 ： 的距離最小，并求出該點坐標和最小距離.
解析：直線 化成普通方程是 ………………………………2分
設所求的點為 ,則C到直線 的距離
…………………… …………………………………4分
= …………………………………………………………………………6分
當 時，即 時， 取最小值1 ………………………………8分
此時，點 的坐標是 …………………………………………………10分
11．在極坐標系中，從極點O作直線與另一直線l:ρcosθ=4相交于點M，在OM上取一點P，使OM?OP=12．
（1） 求點P的軌跡方程；
（2）設R為l上任意一點，試求RP的最小值．
解析：（1）設動點P的極坐標為 ，則點M為 ．



于是ρ=3cosθ(ρ＞0)為所求的點P的軌跡方程．
（2）由于點P的軌跡方程為
所以點P的軌跡是圓心為 ，半徑為 的圓．又直線l:ρcosθ=4過點(4,0)且垂直于極軸，點R在直線l上，由此可知RP的最小值為了．
12.水庫排放的水流從溢流壩下泄時，通常采用挑流的方法減弱水流的沖擊作用，以保護水壩的壩基.下圖是運用鼻壩進行挑流的示意圖.已知水庫的水位與鼻壩的落差為9米，鼻壩的鼻坎角為30°，鼻壩下游的基底比鼻壩低18米.求挑出水流的軌跡方程，并計算挑出的水流與壩基的水平距離.

解析：建立如圖所示的直角坐標系．設軌跡上任意一點為P（x,y）．

由機械能守恒定律，得
鼻壩出口處的水流速度為
取時間t為參數(shù)，則有

所以挑出水流的軌跡的參數(shù)方程為

消去參數(shù)t，得


所以挑出的水流與壩基的水平距離為
故挑出水流的軌跡方程為

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