6.3 萬有引力定律 學案（人教版必修2）

1．假定維持月球繞地球運動的力與使得蘋果下落的力真的是同一種力，同樣遵從
“____________”的規(guī)律，由于月球軌道半徑約為地球半徑(蘋果到地心的距離)的60倍，
所以月球軌道上一個物體受到的引力是地球上的________倍．根據牛頓第二定律，物體
在月球軌道上運動時的加速度(月球______________加速度)是它在地面附近下落時的加
速度(____________加速度)的________．根據牛頓時代測出的月球公轉周期和軌道半徑，
檢驗的結果是____________________．
2．自然界中任何兩個物體都____________，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與
________________________成正比、與__________________________成反比，用公式表
示即________________．其中G叫____________，數值為________________，它是英國
物理學家______________在實驗室利用扭秤實驗測得的．
3．萬有引力定律適用于________的相互作用．近似地，用于兩個物體間的距離遠遠大于
物體本身的大小時；特殊地，用于兩個均勻球體，r是________間的距離．
4．關于萬有引力和萬有引力定律的理解正確的是(　　)
A．不能看做質點的兩物體間不存在相互作用的引力
B．只有能看做質點的兩物體間的引力才能用F＝Gm1m2r2計算
C．由F＝Gm1m2r2知，兩物體間距離r減小時，它們之間的引力增大
D．萬有引力常量的大小首先是由牛頓測出來的，且等于6.67×10－11 N?m2/kg2
5．對于公式F＝Gm1m2r2理解正確的是(　　)
A．m1與m2之間的相互作用力，總是大小相等、方向相反，是一對平衡力
B．m1與m2之間的相互作用力，總是大小相等、方向相反，是一對作用力與反作用力
C．當r趨近于零時，F(xiàn)趨向無窮大
D．當r趨近于零時，公式不適用
6．要使兩物體間的萬有引力減小到原來的14，下列辦法不可采用的是(　　)
A．使物體的質量各減小一半，距離不變
B．使其中一個物體的質量減小到原來的14，距離不變
C．使兩物體間的距離增為原來的2倍，質量不變
D．使兩物體間的距離和質量都減為原來的14

【概念規(guī)律練】
知識點一　萬有引力定律的理解
1．關于萬有引力定律的適用范圍，下列說法中正確的是(　　)
A．只適用于天體，不適用于地面上的物體
B．只適用于球形物體，不適用于其他形狀的物體
C．只適用于質點，不適用于實際物體
D．適用于自然界中任何兩個物體之間
2．兩個大小相同的實心小鐵球緊靠在一起，它們之間的萬有引力為F，若兩個半徑是小
鐵球2倍的實心大鐵球緊靠在一起，則它們之間的萬有引力為(　　)
A.14F B．4F C.116F D．16F
3．一名宇航員來到一個星球上，如果該星球的質量是地球質量的一半，它的直徑也是地
球直徑的一半，那么這名宇航員在該星球上所受的萬有引力大小是它在地球上所受萬有
引力的(　　)
A．0.25倍 B．0.5倍 C．2.0倍 D．4.0倍
知識點二　用萬有引力公式計算重力加速度
4．設地球表面重力加速度為g0，物體在距離地心4R(R是地球的半徑)處，由于地球的
作用而產生的加速度為g，則g/g0為(　　)
A．1 B．1/9 C．1/4 D．1/16
5．假設火星和地球都是球體，火星質量M火和地球質量M地之比為M火M地＝p，火星半徑R
火和地球半徑R地之比R火R地＝q，那么離火星表面R火高處的重力加速度g火h和離地球表面
R地高處的重力加速度g地h之比g火hg地h＝________.
【方法技巧練】
一、用割補法求解萬有引力的技巧
6．有一質量為M、

圖1
半徑為R的密度均勻球體，在距離球心O為2R的地方有一質量為m的質點，現(xiàn)在從M
中挖去一半徑為R2的球體，如圖1所示，求剩下部分對m的萬有引力F為多大？


二、萬有引力定律與拋體運動知識的綜合
7．宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經過時間t小球落回原處；若他在
某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經過時間5t小球落回原處．(取地球
表面重力加速度g＝10 m/s2，空氣阻力不計)
(1)求該星球表面附近的重力加速度g′.
(2)已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4，求該星球的質量與地球質量之
比M星∶M地．

8．宇航員站在某一星球距離表面h高度處，以初速度v0沿水平方向拋出一個小球，經
過時間t后小球落到星球表面，已知該星球的半徑為R，引力常量為G，求：
(1)該星球表面重力加速度g的大小；
(2)小球落地時的速度大小；
(3)該星球的質量．


參考答案
課前預習練
1．平方反比　1602　公轉的向心　自由落體　1602　遵從相同的規(guī)律
2．相互吸引　物體的質量m1和m2的乘積　它們之間距離r的二次方　F＝Gm1m2r2　引力常量　6.67×10－11 N?m2/kg2　卡文迪許
3．質點　球心
4．C　[任何物體間都存在相互作用的引力，故稱萬有引力，A錯；兩個質量均勻的球體間的萬有引力也能用F＝Gm1m2r2來計算，B錯；物體間的萬有引力與它們距離r的二次方成反比，故r減小，它們間的引力增大，C對；引力常量G是由卡文迪許精確測出的，D錯．]
5．BD　[兩物體間的萬有引力是一對相互作用力，而非平衡力，故A錯，B對；萬有引力公式F＝Gm1m2r2只適用于質點間的萬有引力計算，當r→0時，物體便不能再視為質點，公式不適用，故C錯，D對．]
6．D
課堂探究練
1．D
2．D　[小鐵球間的萬有引力F＝Gm2(2r)2＝Gm24r2
大鐵球半徑是小鐵球半徑的2倍，其質量為
小鐵球m＝ρV＝ρ?43πr3
大鐵球M＝ρV′＝ρ?43π(2r)3＝8?ρ?43πr3＝8m
所以兩個大鐵球之間的萬有引力
F′＝G8m?8m(4r)2＝16?Gm24r2＝16F.]
點評　運用萬有引力定律時，要準確理解萬有引力定律公式中各量的意義并能靈活運用．本題通常容易出現(xiàn)的錯誤是考慮兩球球心距離的變化而忽略球體半徑變化而引起的質量變化，從而導致錯誤．
3．C　[由萬有引力定律公式，在地球上引力F＝GMmR2，在另一星球上引力F′＝GM′mR′2＝GM2m(R2)2＝2GMmR2＝2F，故C正確．]
點撥　利用萬有引力定律分別計算宇航員在地球表面和星球表面所受到的萬有引力，然后比較即可得到結果．
4．D　[地球表面：GMmR2＝mg0.離地心4R處：GMm(4R)2＝mg由以上兩式得：gg0＝(R4R)2＝116.]
點評　(1)切記在地球表面的物體與地心的距離為R.
(2)物體在離地面h高度處，所受的萬有引力和重力相等，有mg＝GMm(R＋h)2.所以g隨高度的增加而減小，不再等于地面附近的重力加速度．
(3)通常情況下，處在地面上的物體，不管這些物體是處于何種狀態(tài)，都可以認為萬有引力和重力相等，但有兩種情況必須對兩者加以區(qū)別：一是從細微之處分析重力與萬有引力大小的關系，二是物體離地面高度與地球半徑相比不能忽略的情況．
5.pq2
解析　距某一星球表面h高處的物體的重力，可認為等于星球對該物體的萬有引力，即mgh＝GM星m(R＋h)2，解得距星球表面h高處的重力加速度為gh＝GM星(R＋h)2.故距火星表面R火高處的重力加速度為g火h＝GM火(2R火)2，距地球表面R地高處的重力加速度為g地h＝GM地(2R地)2，以上兩式相除得g火hg地h＝M火M地?R2地R2火＝pq2.
點評　對于星球表面上空某處的重力加速度gh＝GM星(R＋h)2，可理解為gh與星球質量成正比，與該處到星球球心距離的二次方成反比．
6.7GMm36R2
解析　一個質量均勻分布的球體與球外的一個質點間的萬有引力可以用公式F＝GmMr2直接進行計算，但當球體被挖去一部分后，由于質量分布不均勻，萬有引力定律就不再適用．此時我們可以用“割補法”進行求解．
設想將被挖部分重新補回，則完整球體對質點m的萬有引力為F1，可以看做是剩余部分對質點的萬有引力F與被挖小球對質點的萬有引力F2的合力，即
F1＝F＋F2.
設被挖小球的質量為M′，其球心到質點間的距離為r′.
由題意知M′＝M8，r′＝3R2；
由萬有引力定律得
F1＝GMm(2R)2＝GMm4R2
F2＝GM′mr′2＝GM8m(32R)2＝GMm18R2
故F＝F1－F2＝7GMm36R2.
方法　本題易錯之處為求F時將球體與質點之間的距離d當做兩物體間的距離，直接用公式求解．求解時要注意，挖去球形空穴后的剩余部分已不是一個均勻球體，不能直接運用萬有引力定律公式進行計算，只能用割補法．
7．(1)2 m/s2　(2)1∶80
解析　 (1)依據豎直上拋運動規(guī)律可知，地面上豎直上拋物體落回原地經歷的時間為：t＝2v0g
在該星球表面上豎直上拋的物體落回原地所用時間為：5t＝2v0g′
所以g′＝15g＝2 m/s2
(2)星球表面物體所受重力等于其所受星體的萬有引力，則有mg＝GMmR2
所以M＝gR2G
可解得：M星∶M地＝1∶80.
8．(1)2ht2　(2)v20＋4h2t2　(3)2hR2Gt2
解析　(1)由平拋運動的知識知，在豎直方向小球做自由落體運動，h＝12gt2
所以g＝2ht2.
(2)水平方向速度不變vx＝v0
豎直方向做勻加速運動vy＝gt＝2ht
所以落地速度v＝v2x＋v2y＝v20＋4h2t2
(3)在星球表面，物體的重力和所受的萬有引力相等．故有：
mg＝GMmR2
所以M＝gR2G＝2hR2Gt2

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaoyi/65948.html

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