一般地，若 ( ， 是常數(shù)， )，則 叫做 的一次函數(shù)，它的圖象是一條直線，函數(shù)解析式 6中的系數(shù)符號，決定圖象的大致位置及單調(diào)性( 隨 的變化情況)．如圖所示：

一次函數(shù)、二元一次方程、直線有著深刻的聯(lián)系，任意一個一次函數(shù) 都可看作是關于 、 的一個二元一次方程 ；任意一個關于 、 的二元一次方程 ，可化為形如 ( )的函數(shù)形式．坐標平面上的直線可以表示一次函數(shù)與二元一次方程，而利用方程和函數(shù)的思想可以研究直線位置關系，求坐標平面上的直線交點坐標轉化為 解由函數(shù)解析式聯(lián)立的方程組．
【例題求解】
【例1】 如圖，在直角坐標系 中，直角梯形OABC的頂點A(3，0)、B(2，7)，P為線段OC上一點，若過B、P兩點的直線為 ，過A、P兩點的直線為 ，且BP⊥AP，則 = ．
思路點撥 解題的關鍵是求出P點坐標，只需運用幾何知識建立OP的等式即可．

【例2】 設直線 ( 為自然數(shù))與兩坐標軸圍成的三角形面積為 ( ＝1，2，…2000)，則S1+S2+…+S2000的值為( )
A．1 B． C． D．

思路點撥 求出直線與 軸、 軸交點坐標，從一般形式入手，把 用含 的代數(shù)式表示．

【例3】 某空軍加油飛機接到命令，立即給另一架正在飛行的運輸飛機進行空中加油．在加油過程中，設運輸飛機的油箱余油量為Q1噸，加油飛機的加油油箱余油量為Q2噸，加油時間為 分鐘，Q1、Q2與 之間的函數(shù)圖象如圖所示，結合圖象回答下列問題：
(1)加油飛機的加油油箱中裝載了多少噸油?將這些油全部加給運輸飛機需多少分鐘?
(2)求加油過程中，運輸飛機的余油量Q1 (噸)與時間 (分鐘)的函數(shù)關系式；
(3)運輸飛機加完油后，以原速繼續(xù)飛行，需10小時到達目的地，油料是否夠用?說明理由．
思路點撥 對于(3)，解題的關鍵是先求出運輸飛機每小時耗油量．

注：（1）當自變量受限制時，一次函數(shù)圖象可能是射線、線段、折線或點，一次函數(shù)當自變量取值受限制時，存在最大值與最小值，根據(jù)圖象求最值直觀明了．
（2）當一次函數(shù)圖象與兩坐標軸有交點時，就與直角三角形聯(lián)系在一起，求兩交點坐標并能發(fā)掘隱含條件是解相關綜合題的基礎．
【例4】 如圖，直線 與 軸、y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在第二象限內(nèi)有一點P( ， )，且△ABP的面積與△A ABC的面積相等，求 的值．
思路點撥 利用S△ABP＝S△ABC建立含 的方程，解題的關鍵是把S△ABP表示成有邊落在坐標軸上的三角形面積和、差．



注：解函數(shù)圖象與面積結合的問題，關鍵是把相關三角形用邊落在坐標軸的其他三角形面 積來表示，這樣面積與坐標就建立了聯(lián)系．
【例5】 在直角坐標系中，有以A(一1，一1)，B(1，一 1)，C(1，1)，D(一1，1)為頂點的正方形，設它在折線 上側部分的面積為S，試求S關于的函數(shù)關系式，并畫出它們的圖象．

思路點撥 先畫出符合題意的圖形，然后對不確定折線 及其中的字母 的取值范圍進行分類 討論， 的取值決定了正方形在折線上側部分的圖形的形狀．



注：我們把有自變量或關于自變量的代數(shù)式包含在絕對值符號在內(nèi)的一類函數(shù)稱為絕對值函數(shù)．去掉絕對值符號，把絕對值函數(shù)化為分段函數(shù)，這是解絕對值的一般思路．
學歷訓練
1．一次函數(shù)的自變量的取值范圍是-3≤ ≤6，相應函數(shù)值的取值范圍是-5≤ ≤-2，則這個函數(shù)的解析式為 ．
2．已知 ，且 ，則關于自變量 的一次函數(shù) 的圖象一定經(jīng)過第 象限．
3．一家小型放影廳的盈利額(元)與售票數(shù) 之間的關系如圖所示，其中超過150人時，要繳納公安消防保險費50元．試根據(jù)關系圖回答下列問題：
(1)當售票數(shù)滿足0< ≤150時，盈利額 (元)與之間的函數(shù)關系式是 ．
(2)當售票數(shù)滿足150(3)當售票數(shù)為 時，不賠不賺；當售票數(shù) 滿足 時，放影廳要賠本；若放影廳要獲得最大利潤200元，此時售票數(shù) 應為
(4)當售票數(shù) 滿足 時，此時利潤比 ＝150時多．
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC＝4，BD＝6，P是BD上的任一點，過P作EF∥AC，與平行四邊形的兩條邊分別交于點E，F(xiàn)，設BP= ，EF=，則能反映 與 之間關系的圖象是( )

5．下列圖象中，不可能是關于 的一次函數(shù) 的圖象是( )

6．小李以每千克0.8元的價格從批發(fā)市場購進若干千克西瓜到市場去銷售，在銷售了部分西瓜之后，余下的每千克降價0.4元，全部售完．銷售金額與賣瓜的千克數(shù)之間關系如圖所示，那么小李賺了( )
A．32元 B．36元 C． 38元 D．44元

7．某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥，在試驗藥效時發(fā)現(xiàn)，如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后2小時時血液中含藥量最高，達每毫升6微克(1微克＝10-3毫克)，接著逐步衰減，10小時時血液中含藥量為每毫升3微克，每毫升血液中含藥量 (微克)隨時間 (小時)的變化如圖所示，當成人按規(guī)定劑量服用后．
(1)分別求出 ≤2和 ≥2時 與 之間的函數(shù)關系式；
(2)如果每毫升血液中含藥量為4微克或4微克以上時在治療疾病時是有效的，那么這個有效時間是多長?

8．如圖，正方形ABCD的邊長是4，將此正方形置于平面直角坐標系 O 中，使AB在 軸的正半軸上，A點的坐標是(1，0)
(1)經(jīng)過C點的直線 與 軸交于點E，求四邊形AECD的面積；
(2)若直線 經(jīng)過點E且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分，求直線 的方程，并在坐標系中畫出直線 ． (2001年湖北省荊州市中考題)
9．如圖，已知點A與B的坐標分別為(4，0)，(0，2)
(1)求直線A B的解析式．
(2)過點C(2，0)的直線(與 軸不重合)與△AOB的另一邊相交于點P，若截得的三角形與△AOB相似，求點P的坐標．
10．如圖，直線 與 軸、y軸分別交于P、Q兩點，把△POQ沿PQ翻折，點O落在R處，則點R的坐標是 ．


11．在直角坐標系 O 中， 軸上的動點M（ ，0）到定點P(5，5)、Q(2，1)的距離分別為MP和MQ，那么，當MP+MQ取最小值時，點M的橫坐標為 ．

12．如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點B的坐標為(15，6)，直線 恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，那么b＝ ．


13．如果—條直線 經(jīng)過不同的三點A(a，b)，B(b，a)，C(a-b，b-a)，那么，直線 經(jīng)過( )象限．
A．二、四 B．—、三 C．二、三、四 D．一、三、四
14．一個一次函數(shù)的圖象與直線 平行，與 軸、 軸的交點分別為A、B，并且過點(一l，—25)，則在線段AB(包括端點A、B)上，橫、縱坐標都是整數(shù)的的點有（ ）
A．4個 B．5個 C． 6個 D．7個

15．點A(一4，0)，B(2，0)是坐標平面上兩定點，C是 的圖象上的動點，則滿足上述條件的直角△ABC可以畫出( )
A． 1個 B． 2個 C．3個 D．4個
16．有—個附有進、出水管的容器，每單位時間進、出的水量都是一定的，設從某時刻開始5分 鐘內(nèi)只進不出水，在隨后的15分鐘內(nèi)既進水又出水，得到時間 (分)與水量 (升)之間的關系如下圖．若20分鐘后只出水不進水，求這時(即 ≥20)y與 之間的函數(shù)關系式．
17．如圖 ，△AOB為正三角形，點 B坐標為(2，0)，過點C(一2，0)作直線交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面積相等，求直線 的函數(shù)解析式．

18．在直角坐標系中，有四個點A(一8，3)，B(一4，5)，C(0， )，D( ，0)，當四邊形ABCD的周長最短時，求 的值．
19．轉爐煉鋼產(chǎn)生的棕紅色煙塵會污染大氣，某裝置可通過回收棕紅色煙塵中的氧化鐵從而降低污染，該裝置的氧化鐵回收率與其通過的電流有關．現(xiàn)經(jīng)過試驗得到下列數(shù)據(jù)：
通過電流強度（單位A）11.71.92.12.4
氧化鐵回收率（%）7579888778
如圖建立直角坐標 系，用橫坐標表示通過的電流強度，縱坐標表示氧化鐵回收率．
（1）將試驗所得數(shù)據(jù)在右圖所給的直角坐標系中用點表示（注：該圖中坐標軸的交點代表點（1，70）；
（2）用線段將題（1）所畫的點從左到右順次連接，若用此圖象來模擬氧化鐵回收率y關于通過電流x的函數(shù)關系，試寫出該函數(shù)在 1.7≤x≤2.4 時的表達式；
（3）利用題（2）所得函數(shù)關系，求氧化鐵回收率大于85%時，該裝置通過的電流應該控制的范圍（精確到0.1A）．

20．如圖，直線OC、BC的函數(shù)關系式分別為 和 ，動點P(x，0)在OB上移動(0< <3)，過點P作直線 與 軸垂直．
(1)求點C的坐標；
(2)設△OBC中位于直線 左側部分的面積為S，寫出S與 之間的函數(shù)關系式；
(3)在直角坐標系中畫出(2)中的函數(shù)的圖象；
(4)當 為何值時，直線 平分△OBC的面積?


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