一般地，若 ( ， 是常數(shù)， )，則 叫做 的一次函數(shù)，它的圖象是一條直線，函數(shù)解析式 6中的系數(shù)符號(hào)，決定圖象的大致位置及單調(diào)性( 隨 的變化情況)．如圖所示：
一次函數(shù)、二元一次方程、直線有著深刻的聯(lián)系，任意一個(gè)一次函數(shù) 都可看作是關(guān)于 、 的一個(gè)二元一次方程 ；任意一個(gè)關(guān)于 、 的二元一次方程 ，可化為形如 ( )的函數(shù)形式．坐標(biāo)平面上的直線可以表示一次函數(shù)與二元一次方程，而利用方程和函數(shù)的思想可以研究直線位置關(guān)系，求坐標(biāo)平面上的直線交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為 解由函數(shù)解析式聯(lián)立的方程組．
【例題求解】
【例1】 如圖，在直角坐標(biāo)系 中，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A(3，0)、B(2，7)，P為線段OC上一點(diǎn)，若過B、P兩點(diǎn)的直線為 ，過A、P兩點(diǎn)的直線為 ，且BP⊥AP，則 = ．
思路點(diǎn)撥 解題的關(guān)鍵是求出P點(diǎn)坐標(biāo)，只需運(yùn)用幾何知識(shí)建立OP的等式即可．
【例2】 設(shè)直線 ( 為自然數(shù))與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 ( ＝1，2，…2000)，則S1+S2+…+S2000的值為( )
A．1 B． C． D．
思路點(diǎn)撥 求出直線與 軸、 軸交點(diǎn)坐標(biāo)，從一般形式入手，把 用含 的代數(shù)式表示．
【例3】 某空軍加油飛機(jī)接到命令，立即給另一架正在飛行的運(yùn)輸飛機(jī)進(jìn)行空中加油．在加油過程中，設(shè)運(yùn)輸飛機(jī)的油箱余油量為Q1噸，加油飛機(jī)的加油油箱余油量為Q2噸，加油時(shí)間為 分鐘，Q1、Q2與 之間的函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問題：
(1)加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了多少噸油?將這些油全部加給運(yùn)輸飛機(jī)需多少分鐘?
(2)求加油過程中，運(yùn)輸飛機(jī)的余油量Q1 (噸)與時(shí)間 (分鐘)的函數(shù)關(guān)系式；
(3)運(yùn)輸飛機(jī)加完油后，以原速繼續(xù)飛行，需10小時(shí)到達(dá)目的地，油料是否夠用?說明理由．
思路點(diǎn)撥 對于(3)，解題的關(guān)鍵是先求出運(yùn)輸飛機(jī)每小時(shí)耗油量．
注：（1）當(dāng)自變量受限制時(shí)，一次函數(shù)圖象可能是射線、線段、折線或點(diǎn)，一次函數(shù)當(dāng)自變量取值受限制時(shí)，存在最大值與最小值，根據(jù)圖象求最值直觀明了．
（2）當(dāng)一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸有交點(diǎn)時(shí)，就與直角三角形聯(lián)系在一起，求兩交點(diǎn)坐標(biāo)并能發(fā)掘隱含條件是解相關(guān)綜合題的基礎(chǔ)．
【例4】 如圖，直線 與 軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P( ， )，且△ABP的面積與△A ABC的面積相等，求 的值．
思路點(diǎn)撥 利用S△ABP＝S△ABC建立含 的方程，解題的關(guān)鍵是把S△ABP表示成有邊落在坐標(biāo)軸上的三角形面積和、差．
注：解函數(shù)圖象與面積結(jié)合的問題，關(guān)鍵是把相關(guān)三角形用邊落在坐標(biāo)軸的其他三角形面 積來表示，這樣面積與坐標(biāo)就建立了聯(lián)系．
【例5】 在直角坐標(biāo)系中，有以A(一1，一1)，B(1，一 1)，C(1，1)，D(一1，1)為頂點(diǎn)的正方形，設(shè)它在折線 上側(cè)部分的面積為S，試求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并畫出它們的圖象．
思路點(diǎn)撥 先畫出符合題意的圖形，然后對不確定折線 及其中的字母 的取值范圍進(jìn)行分類 討論， 的取值決定了正方形在折線上側(cè)部分的圖形的形狀．
注：我們把有自變量或關(guān)于自變量的代數(shù)式包含在絕對值符號(hào)在內(nèi)的一類函數(shù)稱為絕對值函數(shù)．去掉絕對值符號(hào)，把絕對值函數(shù)化為分段函數(shù)，這是解絕對值的一般思路．
學(xué)歷訓(xùn)練
1．一次函數(shù)的自變量的取值范圍是-3≤ ≤6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5≤ ≤-2，則這個(gè)函數(shù)的解析式為 ．
2．已知 ，且 ，則關(guān)于自變量 的一次函數(shù) 的圖象一定經(jīng)過第 象限．
3．一家小型放影廳的盈利額(元)與售票數(shù) 之間的關(guān)系如圖所示，其中超過150人時(shí)，要繳納公安消防保險(xiǎn)費(fèi)50元．試根據(jù)關(guān)系圖回答下列問題：
(1)當(dāng)售票數(shù)滿足0< ≤150時(shí)，盈利額 (元)與之間的函數(shù)關(guān)系式是 ．
(2)當(dāng)售票數(shù)滿足150
(4)當(dāng)售票數(shù) 滿足 時(shí)，此時(shí)利潤比 ＝150時(shí)多．
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC＝4，BD＝6，P是BD上的任一點(diǎn)，過P作EF∥AC，與平行四邊形的兩條邊分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)BP= ，EF=，則能反映 與 之間關(guān)系的圖象是( )
5．下列圖象中，不可能是關(guān)于 的一次函數(shù) 的圖象是( )
6．小李以每千克0.8元的價(jià)格從批發(fā)市場購進(jìn)若干千克西瓜到市場去銷售，在銷售了部分西瓜之后，余下的每千克降價(jià)0.4元，全部售完．銷售金額與賣瓜的千克數(shù)之間關(guān)系如圖所示，那么小李賺了( )
A．32元 B．36元 C． 38元 D．44元
7．某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥，在試驗(yàn)藥效時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后2小時(shí)時(shí)血液中含藥量最高，達(dá)每毫升6微克(1微克＝10-3毫克)，接著逐步衰減，10小時(shí)時(shí)血液中含藥量為每毫升3微克，每毫升血液中含藥量 (微克)隨時(shí)間 (小時(shí))的變化如圖所示，當(dāng)成人按規(guī)定劑量服用后．
(1)分別求出 ≤2和 ≥2時(shí) 與 之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)如果每毫升血液中含藥量為4微克或4微克以上時(shí)在治療疾病時(shí)是有效的，那么這個(gè)有效時(shí)間是多長?
8．如圖，正方形ABCD的邊長是4，將此正方形置于平面直角坐標(biāo)系 O 中，使AB在 軸的正半軸上，A點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，0)
(1)經(jīng)過C點(diǎn)的直線 與 軸交于點(diǎn)E，求四邊形AECD的面積；
(2)若直線 經(jīng)過點(diǎn)E且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分，求直線 的方程，并在坐標(biāo)系中畫出直線 ． (2001年湖北省荊州市中考題)
9．如圖，已知點(diǎn)A與B的坐標(biāo)分別為(4，0)，(0，2)
(1)求直線A B的解析式．
(2)過點(diǎn)C(2，0)的直線(與 軸不重合)與△AOB的另一邊相交于點(diǎn)P，若截得的三角形與△AOB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
10．如圖，直線 與 軸、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，把△POQ沿PQ翻折，點(diǎn)O落在R處，則點(diǎn)R的坐標(biāo)是 ．
11．在直角坐標(biāo)系 O 中， 軸上的動(dòng)點(diǎn)M（ ，0）到定點(diǎn)P(5，5)、Q(2，1)的距離分別為MP和MQ，那么，當(dāng)MP+MQ取最小值時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 ．
12．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(15，6)，直線 恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，那么b＝ ．
13．如果—條直線 經(jīng)過不同的三點(diǎn)A(a，b)，B(b，a)，C(a-b，b-a)，那么，直線 經(jīng)過( )象限．
A．二、四 B．—、三 C．二、三、四 D．一、三、四
14．一個(gè)一次函數(shù)的圖象與直線 平行，與 軸、 軸的交點(diǎn)分別為A、B，并且過點(diǎn)(一l，—25)，則在線段AB(包括端點(diǎn)A、B)上，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的的點(diǎn)有（ ）
A．4個(gè) B．5個(gè) C． 6個(gè) D．7個(gè)
15．點(diǎn)A(一4，0)，B(2，0)是坐標(biāo)平面上兩定點(diǎn)，C是 的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足上述條件的直角△ABC可以畫出( )
A． 1個(gè) B． 2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
16．有—個(gè)附有進(jìn)、出水管的容器，每單位時(shí)間進(jìn)、出的水量都是一定的，設(shè)從某時(shí)刻開始5分 鐘內(nèi)只進(jìn)不出水，在隨后的15分鐘內(nèi)既進(jìn)水又出水，得到時(shí)間 (分)與水量 (升)之間的關(guān)系如下圖．若20分鐘后只出水不進(jìn)水，求這時(shí)(即 ≥20)y與 之間的函數(shù)關(guān)系式．
17．如圖 ，△AOB為正三角形，點(diǎn) B坐標(biāo)為(2，0)，過點(diǎn)C(一2，0)作直線交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面積相等，求直線 的函數(shù)解析式．
18．在直角坐標(biāo)系中，有四個(gè)點(diǎn)A(一8，3)，B(一4，5)，C(0， )，D( ，0)，當(dāng)四邊形ABCD的周長最短時(shí)，求 的值．
19．轉(zhuǎn)爐煉鋼產(chǎn)生的棕紅色煙塵會(huì)污染大氣，某裝置可通過回收棕紅色煙塵中的氧化鐵從而降低污染，該裝置的氧化鐵回收率與其通過的電流有關(guān)．現(xiàn)經(jīng)過試驗(yàn)得到下列數(shù)據(jù)：
通過電流強(qiáng)度（單位A）11.71.92.12.4
氧化鐵回收率（%）7579888778
如圖建立直角坐標(biāo) 系，用橫坐標(biāo)表示通過的電流強(qiáng)度，縱坐標(biāo)表示氧化鐵回收率．
（1）將試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)在右圖所給的直角坐標(biāo)系中用點(diǎn)表示（注：該圖中坐標(biāo)軸的交點(diǎn)代表點(diǎn)（1，70）；
（2）用線段將題（1）所畫的點(diǎn)從左到右順次連接，若用此圖象來模擬氧化鐵回收率y關(guān)于通過電流x的函數(shù)關(guān)系，試寫出該函數(shù)在 1.7≤x≤2.4 時(shí)的表達(dá)式；
（3）利用題（2）所得函數(shù)關(guān)系，求氧化鐵回收率大于85%時(shí)，該裝置通過的電流應(yīng)該控制的范圍（精確到0.1A）．
20．如圖，直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別為 和 ，動(dòng)點(diǎn)P(x，0)在OB上移動(dòng)(0< <3)，過點(diǎn)P作直線 與 軸垂直．
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)設(shè)△OBC中位于直線 左側(cè)部分的面積為S，寫出S與 之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)在直角坐標(biāo)系中畫出(2)中的函數(shù)的圖象；
(4)當(dāng) 為何值時(shí)，直線 平分△OBC的面積?
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