汕頭市金中學(xué)2012-2013年度第二學(xué)期期中考試
高二理科數(shù)學(xué)
2012.4

本試題分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）兩部分，滿分150分，考試120分鐘.

第Ⅰ卷 （選擇題 共40分）
一、選擇題：(本大題共8小題，每小題5分，共4 0分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
1.若復(fù)數(shù) 滿足 ( 是虛數(shù)單位)，則其共軛復(fù)數(shù) =( )
A．1-i B．-i C．i D．1+i
2.根據(jù)右邊給出的數(shù)塔猜測123456 9+8=（ ）
A .1111110 1 9+2=11
B. 111111 1 12 9+3=111
C. 1111112 123 9+4=1111
D. 1111113 1234 9+5=11111
3.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于 ”時(shí)，反設(shè)正確的是（ ）
A 假設(shè)三內(nèi)角都不大于 B 假設(shè)三內(nèi)角都大于
C 假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于 D 假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于
4.函數(shù) 處的切線方程是（ ）
A． B．
C． D．
5.如右圖所示，使電路接通，開關(guān)不同的開閉方式有
A. 11種 B. 20種 C. 21種 D. 12種 第5題圖
6. 設(shè)函數(shù) 在 上的導(dǎo)函數(shù)為 ，且 ，下面的不等式在 內(nèi)恒成立的是：
A． B． C． D．
7.函數(shù) 的圖像大致是

8.已知 函數(shù) 的定 義域?yàn)?,部分對(duì)應(yīng)值如下表。 的導(dǎo)函數(shù) 的圖像如圖所示。
下列關(guān)于函數(shù) 的命題：
①函數(shù) 在 上是減函數(shù)；②如果當(dāng) 時(shí)， 最大值是 ，那么 的最大值為 ；③函數(shù) 有 個(gè)零點(diǎn)，則 ；④已知 是 的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，則 的最大值為 。
其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A 4個(gè) B 3個(gè) C 2個(gè) D 1個(gè)

第Ⅱ卷 （非選擇題 共110分）
二、題：(本大題共6小題，每小題5分，共30分.)
9. 在5道題中有3道理科題和2道科題。如果不放回地依次抽取2道題，則在第一次抽到理科題的條件下，第二次抽到理科題的概率是__________.
10. ______.
11. 用1，2，3，4，5，6，7，8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有________.
12. 已知 的展開式中， 的系數(shù)小于 ，則 __________.
13. 下列四種說法中正確的是 .
①若復(fù)數(shù) 滿足方程 ，則 ；②線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線
一定經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn) ， ，…， 中的一個(gè)點(diǎn)；
③若 , 則 ；
④用數(shù)學(xué)歸納法證明 時(shí)，從 到 的證明，左邊需增添的一個(gè)因式是 .
多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)
三棱錐446
三棱柱56…
正方體………
…………
14.（1）18世紀(jì)的時(shí)候，歐拉通過研究，發(fā)現(xiàn)凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E滿足一個(gè)等式關(guān)系. 請(qǐng)你研究你熟悉的一些幾何體（如三棱錐、三棱柱、正方體……），歸納出F、V、E之間的關(guān)系等式： ；
（2）運(yùn)用你得出的關(guān)系式研究如下問題：一個(gè)凸多面體的各個(gè)面 都是三角形，則它的面數(shù)F可以表示為頂點(diǎn)數(shù)V的函數(shù)， 此函數(shù)關(guān)系式為____________.

三、解答題：（本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出字說明，證明過程或演算步驟.）
15.（本小題滿分11分）
在 中，角 ， ， 所對(duì)應(yīng)的邊分別為 ， ， ，且 ．
（Ⅰ）求角 的大�。�
（Ⅱ）若 ，求 的面積.

16．（本小題滿分13分）
在如圖所示的幾何體中，四邊形 為平行四邊形， ， 平面 ， ， ， ， ，且 是 的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）線段 上是否存在一點(diǎn) ，
使得 與 所成的角為 ？
若存在，求出 的長度；若不
存在，請(qǐng)說明理由.

17. （本小題滿分14分）
某戶外用品專賣店準(zhǔn)備在“五一”期間舉行促銷活動(dòng)，根據(jù)市場調(diào)查，該店決定從2種不同品牌的沖鋒衣，2種不同品牌的登鞋和3種不同品牌的羽絨服中，隨機(jī)選出4種不同的商品進(jìn)行促銷（注：同種類但不同品牌的商品也視為不同的商品），該店對(duì)選出的商品采用的促銷方案是有獎(jiǎng)銷售，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高150元，同時(shí)，若顧客購買該商品，則允許有三次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，若中獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)都獲得 元獎(jiǎng)金。假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)與否的概率都是 ，設(shè)顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額（單位：元）為隨機(jī)變量 。
（1）求隨機(jī)選出 的4種商品中，沖鋒衣，登鞋，羽絨服都至少有一種 的概率；
（2）請(qǐng)寫出 的分布列，并求 的數(shù)學(xué)期望；
（3）該店若想采用此促銷方案獲利，則每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金要低于多少元？

18．（本小題滿分14分）
已知拋物線 經(jīng)過點(diǎn)A（2，1），過A作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線
（1）求拋物線W的方程及其準(zhǔn)線方程；
（2）當(dāng)直線 與拋物線W相切 時(shí)，求直線 與拋物線W所圍成封閉區(qū)域的面積；
（3）設(shè)直線 分別交拋物線W于B、C兩點(diǎn)（均不與A重合），若以BC為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，求直線BC的方程．
19．（本小題滿分14分）
已知函數(shù) ，其中
（1）若 在 處取得極值，求 的值；
（2）求 的單調(diào)區(qū)間；
（3）若 的最小值為 ，求 的取值范圍。

20．（本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù) （ 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），
（1）證明： ；
（2）當(dāng) 時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明： ；
（3）證明：

汕頭市金中學(xué)2011-2012年度第二學(xué)期期中考試
高二理科數(shù)學(xué) 參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題答案欄（40分）
題號(hào)12345678
答案CCBDCABB
二、題（30分）
9. 10. 11.576 12． 13.③④ 14． ；
三、解答題（80分）

16．證明：（1）取 的中點(diǎn) ，連接 .
在△ 中， 是 的中點(diǎn)， 是 的中點(diǎn)，所以 ，
又因?yàn)?，
所以 且 .
所以四邊形 為平行四邊形，
所以 .
又因?yàn)?平面 ， 平面 ，
故 平面 . …………… 6分
解法二：因?yàn)?平面 ， ，故以 為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 . ……………1分
由已知可得

（1） ， . ……………2分
設(shè)平面 的一個(gè)法向量是 .
由 得
令 ，則 . ……………3分
又因?yàn)?，
所以 ，又 平面 ，所以 平面 . ……………6分
（2）假設(shè)在線段 上存在一點(diǎn) ，使得 與 所成的角為 .
不妨設(shè) （ ），則 .
所以 ，
由題意得 ，
化簡得 ，
解得 .
所以在線段 上不存在點(diǎn) ，使得 與 所成的角為 .…………14分
17.

19．解（Ⅰ）
∵ 在x=1處取得極值，∴ 解得 經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意。
（Ⅱ）
∵ ∴
①當(dāng) 時(shí)，在區(qū)間 ∴ 的單調(diào)增區(qū)間為
②當(dāng) 時(shí)，
由
∴
（Ⅲ）當(dāng) 時(shí)，由（Ⅱ）①知，
當(dāng) 時(shí)，由（Ⅱ ）②知， 在 處取得最小值
綜上可知，若 得最小值為1，則a的取值范圍是
2020.

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