2.2.1 導(dǎo)數(shù)的概念

一、過程：
環(huán)節(jié)

內(nèi) 容


師生活動

設(shè)計意圖



一

復(fù)

習(xí)

引

入





提

出

問

題



【回顧1】


當(dāng)運動員從10米高臺跳水時，從騰空到進(jìn)入水面的過程中，不同時刻的速度是不同的.假設(shè)t秒后運動員相對地面的高度為： ，問在2秒時運動員的瞬時速度為多少？

【回顧2】


已知曲線C是函數(shù) 的圖象,求曲線上點P 處的切線斜率.

【思考】對瞬時速度和切線的斜率兩個具體問題，解決方法上有什么共同之處？



學(xué)生相互交流探討瞬時速度和切線的斜率兩個具體問題，解決方法上有什么共同之處.



針對新概念創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的學(xué)生熟悉的問題情境，讓學(xué)生從概念的現(xiàn)實原型，體驗、感受直觀背景和概念間的關(guān)系，為學(xué)生主動建構(gòu)新知提供自然的生長點.











類



比



探



索







形



成



概



念




①歸納共性 揭示本質(zhì)





研究


對象


求解問題


求解方法


本質(zhì)


思想


具體例子


物體運動規(guī)律


H=h(t)


物體在 時


的瞬時速度


求時間


增量

求位移

增量

求平均

速度

求瞬時速度




平均速度


的極限


極限


思想


曲線


y=f(x)


曲線上P


點處切線的斜率


求橫坐標(biāo)


增量


求縱坐標(biāo)


增量


求割線的


斜率


求切線的斜率





割線斜率


的極限


極限


思想


一般情形


函數(shù)


y=f(x)


函數(shù)在


處的變化率





？


？


？


？


？


？

【師生活動】將學(xué)生分成若干學(xué)習(xí)小組，以表格為載體為師生、生生互動搭起積極交流的探究平臺.教師巡視，鼓勵學(xué)生參與，對個別學(xué)有困難的小組加以指導(dǎo).探究后，共同歸納得出：兩個問題的解決在方法、本質(zhì)、思想上都有相同之處.一個是“位移改變量與時間改變量之比”的極限，一個是“縱坐標(biāo)改變量與橫坐標(biāo)改變量之比”的極限.如果舍去它們的具體含義，都可以概括為求平均變化率的極限.

【設(shè)計意圖】給學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究的平臺，分析瞬時速度和切線的斜率兩個具體問題，討論解決這兩個問題的方法、本質(zhì)、思想上有什么共同之處，引導(dǎo)學(xué)生分析、觀察、歸納，打通揭示事物本質(zhì)的思維通道.


教學(xué)環(huán)節(jié)

內(nèi) 容


師生活動


設(shè)計意圖





類



比



探



索





形



成



概



念




②類比遷移 形成概念

【思考】考慮求一般函數(shù)y=f(x) 在點 到 + 之間的平均變化率的極限問題，也就是怎樣計算函數(shù)在點 處的變化率？











引出導(dǎo)數(shù)定義后，回歸問題情景，反思概念的“原型”解釋“切線的斜率”、“物體的瞬時速度”的本質(zhì).



引導(dǎo)學(xué)生利用求瞬時速度的方法和思想類比探究，猜想得出函數(shù)在點 處的變化率

= ,并對猜想的合理性進(jìn)行分析后，引出

定義1：（函數(shù)在一點處可導(dǎo)及其導(dǎo)數(shù)）

用具體到抽象，特殊到一般的思維方式，利用瞬時速度進(jìn)行類比遷移，自然引出函數(shù)在一點處可導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)的概念.

由具體到抽象再回到具體的過程，感知上升到了理性，強化了對概念的理解.



類



比



探



索



形



成



概



念




③剖析概念 加深理解

【探討1】 怎樣判斷函數(shù)在一點是否可導(dǎo)？



判斷函數(shù) 在點 處是否可導(dǎo)

轉(zhuǎn)化

判斷極限 是否存在

【探討2】導(dǎo)數(shù)是什么？




描述角度


本 質(zhì)


文字語言


瞬時變化率


符號語言





圖形語言


（切線斜率）





組織學(xué)生閱讀“導(dǎo)數(shù)”定義，抓住定義中的關(guān)鍵詞“可導(dǎo)”與“導(dǎo)數(shù)”交流探討，然后通過師生互動挖掘這些概念之間的深層含義.







分析導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)后，同時簡單提及導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的時代背景.



引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)語言（文字語言、符號語言 、圖形語言）的理解、把握、運用為切入點去揭示概念的內(nèi)涵與外延，提高學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀和自主學(xué)習(xí)的能力.



讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的熏陶，了解導(dǎo)數(shù)的文化價值、科學(xué)價值和應(yīng)用價值.



教學(xué)環(huán) 節(jié)

內(nèi) 容

師生活動

設(shè)計意圖





類



比



探



索



形



成



概



念



【探討3】求導(dǎo)數(shù)的方法是什么？





















【例1】求函數(shù)y=x2在點 處的導(dǎo)數(shù).















讓學(xué)生類比瞬時速度的問題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義歸納出求函數(shù) 在點 處導(dǎo)數(shù)的方法步驟：

（1）求函數(shù)的增量；

（2）求平均變化率；

（3）取極限，得導(dǎo)數(shù).









學(xué)生動手解答，老師強調(diào)符號語言的規(guī)范使用，對諸如 忘寫括號的現(xiàn)象加以糾正.



用定義法求導(dǎo)數(shù)是本課的重點之一.有了可導(dǎo)這個邏輯基礎(chǔ)，導(dǎo)數(shù)成為可導(dǎo)的自然結(jié)果，求導(dǎo)數(shù)的方法則是對導(dǎo)數(shù)概念的理解與應(yīng)用.讓學(xué)生積極主動參與，進(jìn)行有意義的建構(gòu)，有利于重點知識的掌握.

本題是教材上的一道例題.在學(xué)生建立起導(dǎo)數(shù)概念，明確用定義求導(dǎo)數(shù)的方法之后,進(jìn)行強化訓(xùn)練, 滲透算法思想，加深對導(dǎo)數(shù)概念的理解，強化對重點知識的鞏固.




引


申

拓

展


發(fā)


展

概

念



利用例1繼續(xù)設(shè)問，函數(shù)在 處可導(dǎo)，那么 ， ， 這些點也可導(dǎo)嗎？從而引申拓展出定義2：（函數(shù)在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)）

【探討1】函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么對于每一個確定的值,都有唯一確定的導(dǎo)數(shù)值與之相對應(yīng)，這樣在開區(qū)間內(nèi)存在一個映射嗎？



【探討2】存在的這個映射是否構(gòu)成一個新的函數(shù)呢？若能，新函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則分別是什么呢？



師生互動，共同探討歸納函數(shù)在開區(qū)間 的每一點可導(dǎo)，每一點就有確定的唯一的導(dǎo)數(shù).這樣在開區(qū)間 內(nèi)構(gòu)成一個特殊的映射，這里的映射是數(shù)集到數(shù)集的映射，就是函數(shù)，我們把這個新函數(shù)叫做 在開區(qū)間 內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)。它的定義域是

通過層層展開的探討，激活學(xué)生知識思維的“最近發(fā)展區(qū)”，引導(dǎo)學(xué)生主動將新問題與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中函數(shù)的相關(guān)知識相聯(lián)系，自然引入導(dǎo)函數(shù)概念，從而完成從函數(shù)在一點可導(dǎo) 函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)的兩次拓展.





教學(xué)環(huán) 節(jié)

內(nèi) 容

師生活動

設(shè)計意圖


引



申



拓



展



發(fā)



展



概



念




【探討3】怎樣求新函數(shù)的解析式？







探討后引出定義3：（函數(shù) 在開區(qū)間 內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)）


【例2】已知y= ，求（1）y′;（2）y′x=2.




開區(qū)間 ，對應(yīng)法則是對開區(qū)間內(nèi)每一點求導(dǎo).運用函數(shù)思想，只要把求一點處的導(dǎo)數(shù) 替換成 ，就可以求出導(dǎo)函數(shù)的解析式.

分學(xué)習(xí)小組讓學(xué)生動腦思考，動手“操作”，相互交流。書面總結(jié)出兩小問的區(qū)別與聯(lián)系，選出代表作品用投影儀全班交流.完善后，屏幕顯示形成共識：

【區(qū)別】（1）函數(shù) 在點 處的導(dǎo)數(shù)，是在點 處的變化率，是一個常數(shù)；

（2）函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)是對開區(qū)間內(nèi)任意點 而言，是 在開區(qū)間內(nèi)任意點 的變化率，是一個函數(shù).

【聯(lián)系】一般而言， 在 處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù) 在 = 處的函數(shù)值，表示為 ，這也是求 的一種方法.

本例共兩個小問，第(1)小問是教材上的一道例題, 第(2)小問是補充題.兩問都是求導(dǎo)數(shù)，但它們有本質(zhì)上的區(qū)別！學(xué)生容易產(chǎn)生混淆.通過此題讓學(xué)生辨清“函數(shù) 在一點處的導(dǎo)數(shù)”、“函數(shù) 在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)”與“導(dǎo)數(shù)”三者的關(guān)系.





教學(xué)

環(huán)節(jié)

內(nèi) 容

設(shè)計意圖


練


習(xí)

反

饋


鞏


固

概

念

練習(xí)：

1．已知y=x3－2x+1，求y′，y′x=2.

2．設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，則 等于

A. f′(x0) B.0 C.2 f′(x0) D.－2 f′(x0)

3． 已知一個物體運動的位移S（m）與時間t（s）滿足關(guān)系S（t）＝-2t2+5t

（1）求物體第5秒和第6秒的瞬時速度；

（2）求物體在t時刻的瞬時速度；

（3）求物體t時刻運動的加速度，并判斷物體作什么運動？

設(shè)計練習(xí)1，鞏固求導(dǎo)方法； 設(shè)計練習(xí)2，通過適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練，揭示概念的內(nèi)涵，提高學(xué)生的模式識別的能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和靈活性；設(shè)計練習(xí)3，體驗實際應(yīng)用，展示概念的外延，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活.通過練習(xí)，反饋學(xué)生對知識技能的掌握情況，以便及時調(diào)節(jié)教學(xué)，更好的達(dá)成教學(xué)目標(biāo).


小


結(jié)

整

理


形


成

系

統(tǒng)



①知識層面 ：



②方法層面：用定義求導(dǎo)數(shù)的三個步驟

③思想層面：極限思想、函數(shù)思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想

④應(yīng)用層面：舉出生活中與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的實例（涉及變化率問題的問題可以考慮用導(dǎo)數(shù)解決）.

引導(dǎo)學(xué)生從知識、方法、思想和應(yīng)用四個層面進(jìn)行小結(jié)，理清知識結(jié)構(gòu)，提煉數(shù)學(xué)方法和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)應(yīng)用意識.







分

層

作

業(yè)





深

化

概

念

必做題：1.教材 習(xí)題3.1 1、2、3、4、5

2. 已知f(3)=2， 則 的值為（ ）

（A）0 （B）－4 （C）8 （D）不存在

3.已知曲線C是函數(shù) 的圖象

（1）求點A(1,3)處的切線的斜率

（2）求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)

選做題： 1.有條件的同學(xué)上網(wǎng)查閱有關(guān)微積分產(chǎn)生的時代背景和歷史意義的資料并交流討論.

2.函數(shù) =x在x=0處是否可導(dǎo)？

3.函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導(dǎo)是它在x=x0處連續(xù)的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條 D.既不充分也不必要條件



彈性的分層作業(yè)，照顧到各種層次的學(xué)生.補充的必做3，為下節(jié)課研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義打下伏筆.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，設(shè)計成選作題，既不影響主體知識建構(gòu),又能使學(xué)有余力的學(xué)生得到進(jìn)一步的發(fā)展.利用網(wǎng)絡(luò)，便于學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)，拓展學(xué)習(xí)方式和平臺.



二、板書設(shè)計（板書附后）



【設(shè)計意圖】本課使用了電腦投影屏幕，黑板上的板書保留勾勒本課知識發(fā)展的主要線索，呈現(xiàn)完整的知識結(jié)構(gòu)體系，用彩色粉筆突出重點，強化學(xué)生對新信息的納入，同時對新學(xué)的符號語言的規(guī)范使用進(jìn)行示范.

板書設(shè)計：

辨析： f ′(x0) 與 f ′(x)

課堂小結(jié)

函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)

導(dǎo)數(shù)







定義1

定義2

定義3

函數(shù)在點x可導(dǎo)及導(dǎo)數(shù)

函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)

例1．。。。。。。。

電子屏幕

例2.。。。。。。。。。。

課堂練習(xí)

導(dǎo)數(shù)的概念（第三課時）



布置作業(yè)







三、【教學(xué)反思】

一個概念的形成是螺旋式上升的，對新概念的抽象不僅是對結(jié)果的抽象，更是對方法和過程的抽象.本課設(shè)計上，把數(shù)學(xué)知識的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)課堂的“教學(xué)形態(tài)”，返璞歸真，從兩個反應(yīng)概念現(xiàn)實原型的具體問題出發(fā)，引出函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)再到開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了一個完整的數(shù)學(xué)概念發(fā)生、發(fā)展的探究過程.提出問題、觀察歸納、概括抽象，拓展概念讓學(xué)生充分經(jīng)歷了具體到抽象，特殊到一般，感性到理性，直觀到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹�識再發(fā)現(xiàn)過程，教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者創(chuàng)設(shè)機(jī)會和空間，激活學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，倡導(dǎo)學(xué)生積極參與，自主探究，發(fā)現(xiàn)知識，培養(yǎng)能力.把可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，設(shè)計成彈性化的選作題，既不影響主體知識建構(gòu),又能使學(xué)有余力的學(xué)生得到進(jìn)一步的發(fā)展.以上，體現(xiàn)了以學(xué)生的發(fā)展為本，不是教教材而是用教材教；教學(xué)中不是重結(jié)論，而是重過程和方法；不是采用接受式的學(xué)習(xí)方式，而是采用探究、交流的方式；不是統(tǒng)一要求，而是因材施教尊重個體差異.這樣的設(shè)計符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，促進(jìn)了個性化學(xué)習(xí)，更好地實現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo).

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaoer/59297.html

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