2.2.1 導(dǎo)數(shù)的概念

一、過(guò)程：
環(huán)節(jié)

內(nèi) 容


師生活動(dòng)

設(shè)計(jì)意圖



一

復(fù)

習(xí)

引

入





提

出

問(wèn)

題



【回顧1】


當(dāng)運(yùn)動(dòng)員從10米高臺(tái)跳水時(shí)，從騰空到進(jìn)入水面的過(guò)程中，不同時(shí)刻的速度是不同的.假設(shè)t秒后運(yùn)動(dòng)員相對(duì)地面的高度為： ，問(wèn)在2秒時(shí)運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度為多少？

【回顧2】


已知曲線C是函數(shù) 的圖象,求曲線上點(diǎn)P 處的切線斜率.

【思考】對(duì)瞬時(shí)速度和切線的斜率兩個(gè)具體問(wèn)題，解決方法上有什么共同之處？



學(xué)生相互交流探討瞬時(shí)速度和切線的斜率兩個(gè)具體問(wèn)題，解決方法上有什么共同之處.



針對(duì)新概念創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的學(xué)生熟悉的問(wèn)題情境，讓學(xué)生從概念的現(xiàn)實(shí)原型，體驗(yàn)、感受直觀背景和概念間的關(guān)系，為學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)新知提供自然的生長(zhǎng)點(diǎn).











類



比



探



索







形



成



概



念




①歸納共性 揭示本質(zhì)





研究


對(duì)象


求解問(wèn)題


求解方法


本質(zhì)


思想


具體例子


物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律


H=h(t)


物體在 時(shí)


的瞬時(shí)速度


求時(shí)間


增量

求位移

增量

求平均

速度

求瞬時(shí)速度




平均速度


的極限


極限


思想


曲線


y=f(x)


曲線上P


點(diǎn)處切線的斜率


求橫坐標(biāo)


增量


求縱坐標(biāo)


增量


求割線的


斜率


求切線的斜率





割線斜率


的極限


極限


思想


一般情形


函數(shù)


y=f(x)


函數(shù)在


處的變化率





？


？


？


？


？


？

【師生活動(dòng)】將學(xué)生分成若干學(xué)習(xí)小組，以表格為載體為師生、生生互動(dòng)搭起積極交流的探究平臺(tái).教師巡視，鼓勵(lì)學(xué)生參與，對(duì)個(gè)別學(xué)有困難的小組加以指導(dǎo).探究后，共同歸納得出：兩個(gè)問(wèn)題的解決在方法、本質(zhì)、思想上都有相同之處.一個(gè)是“位移改變量與時(shí)間改變量之比”的極限，一個(gè)是“縱坐標(biāo)改變量與橫坐標(biāo)改變量之比”的極限.如果舍去它們的具體含義，都可以概括為求平均變化率的極限.

【設(shè)計(jì)意圖】給學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究的平臺(tái)，分析瞬時(shí)速度和切線的斜率兩個(gè)具體問(wèn)題，討論解決這兩個(gè)問(wèn)題的方法、本質(zhì)、思想上有什么共同之處，引導(dǎo)學(xué)生分析、觀察、歸納，打通揭示事物本質(zhì)的思維通道.


教學(xué)環(huán)節(jié)

內(nèi) 容


師生活動(dòng)


設(shè)計(jì)意圖





類



比



探



索





形



成



概



念




②類比遷移 形成概念

【思考】考慮求一般函數(shù)y=f(x) 在點(diǎn) 到 + 之間的平均變化率的極限問(wèn)題，也就是怎樣計(jì)算函數(shù)在點(diǎn) 處的變化率？











引出導(dǎo)數(shù)定義后，回歸問(wèn)題情景，反思概念的“原型”解釋“切線的斜率”、“物體的瞬時(shí)速度”的本質(zhì).



引導(dǎo)學(xué)生利用求瞬時(shí)速度的方法和思想類比探究，猜想得出函數(shù)在點(diǎn) 處的變化率

= ,并對(duì)猜想的合理性進(jìn)行分析后，引出

定義1：（函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)及其導(dǎo)數(shù)）

用具體到抽象，特殊到一般的思維方式，利用瞬時(shí)速度進(jìn)行類比遷移，自然引出函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)的概念.

由具體到抽象再回到具體的過(guò)程，感知上升到了理性，強(qiáng)化了對(duì)概念的理解.



類



比



探



索



形



成



概



念




③剖析概念 加深理解

【探討1】 怎樣判斷函數(shù)在一點(diǎn)是否可導(dǎo)？



判斷函數(shù) 在點(diǎn) 處是否可導(dǎo)

轉(zhuǎn)化

判斷極限 是否存在

【探討2】導(dǎo)數(shù)是什么？




描述角度


本 質(zhì)


文字語(yǔ)言


瞬時(shí)變化率


符號(hào)語(yǔ)言





圖形語(yǔ)言


（切線斜率）





組織學(xué)生閱讀“導(dǎo)數(shù)”定義，抓住定義中的關(guān)鍵詞“可導(dǎo)”與“導(dǎo)數(shù)”交流探討，然后通過(guò)師生互動(dòng)挖掘這些概念之間的深層含義.







分析導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)后，同時(shí)簡(jiǎn)單提及導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的時(shí)代背景.



引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)語(yǔ)言（文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言 、圖形語(yǔ)言）的理解、把握、運(yùn)用為切入點(diǎn)去揭示概念的內(nèi)涵與外延，提高學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀和自主學(xué)習(xí)的能力.



讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化的熏陶，了解導(dǎo)數(shù)的文化價(jià)值、科學(xué)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值.



教學(xué)環(huán) 節(jié)

內(nèi) 容

師生活動(dòng)

設(shè)計(jì)意圖





類



比



探



索



形



成



概



念



【探討3】求導(dǎo)數(shù)的方法是什么？





















【例1】求函數(shù)y=x2在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù).















讓學(xué)生類比瞬時(shí)速度的問(wèn)題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義歸納出求函數(shù) 在點(diǎn) 處導(dǎo)數(shù)的方法步驟：

（1）求函數(shù)的增量；

（2）求平均變化率；

（3）取極限，得導(dǎo)數(shù).









學(xué)生動(dòng)手解答，老師強(qiáng)調(diào)符號(hào)語(yǔ)言的規(guī)范使用，對(duì)諸如 忘寫括號(hào)的現(xiàn)象加以糾正.



用定義法求導(dǎo)數(shù)是本課的重點(diǎn)之一.有了可導(dǎo)這個(gè)邏輯基礎(chǔ)，導(dǎo)數(shù)成為可導(dǎo)的自然結(jié)果，求導(dǎo)數(shù)的方法則是對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解與應(yīng)用.讓學(xué)生積極主動(dòng)參與，進(jìn)行有意義的建構(gòu)，有利于重點(diǎn)知識(shí)的掌握.

本題是教材上的一道例題.在學(xué)生建立起導(dǎo)數(shù)概念，明確用定義求導(dǎo)數(shù)的方法之后,進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練, 滲透算法思想，加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解，強(qiáng)化對(duì)重點(diǎn)知識(shí)的鞏固.




引


申

拓

展


發(fā)


展

概

念



利用例1繼續(xù)設(shè)問(wèn)，函數(shù)在 處可導(dǎo)，那么 ， ， 這些點(diǎn)也可導(dǎo)嗎？從而引申拓展出定義2：（函數(shù)在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)）

【探討1】函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么對(duì)于每一個(gè)確定的值,都有唯一確定的導(dǎo)數(shù)值與之相對(duì)應(yīng)，這樣在開區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)映射嗎？



【探討2】存在的這個(gè)映射是否構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)呢？若能，新函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則分別是什么呢？



師生互動(dòng)，共同探討歸納函數(shù)在開區(qū)間 的每一點(diǎn)可導(dǎo)，每一點(diǎn)就有確定的唯一的導(dǎo)數(shù).這樣在開區(qū)間 內(nèi)構(gòu)成一個(gè)特殊的映射，這里的映射是數(shù)集到數(shù)集的映射，就是函數(shù)，我們把這個(gè)新函數(shù)叫做 在開區(qū)間 內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)。它的定義域是

通過(guò)層層展開的探討，激活學(xué)生知識(shí)思維的“最近發(fā)展區(qū)”，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)將新問(wèn)題與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中函數(shù)的相關(guān)知識(shí)相聯(lián)系，自然引入導(dǎo)函數(shù)概念，從而完成從函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo) 函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) 函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)的兩次拓展.





教學(xué)環(huán) 節(jié)

內(nèi) 容

師生活動(dòng)

設(shè)計(jì)意圖


引



申



拓



展



發(fā)



展



概



念




【探討3】怎樣求新函數(shù)的解析式？







探討后引出定義3：（函數(shù) 在開區(qū)間 內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)）


【例2】已知y= ，求（1）y′;（2）y′x=2.




開區(qū)間 ，對(duì)應(yīng)法則是對(duì)開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)求導(dǎo).運(yùn)用函數(shù)思想，只要把求一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 替換成 ，就可以求出導(dǎo)函數(shù)的解析式.

分學(xué)習(xí)小組讓學(xué)生動(dòng)腦思考，動(dòng)手“操作”，相互交流。書面總結(jié)出兩小問(wèn)的區(qū)別與聯(lián)系，選出代表作品用投影儀全班交流.完善后，屏幕顯示形成共識(shí)：

【區(qū)別】（1）函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)，是在點(diǎn) 處的變化率，是一個(gè)常數(shù)；

（2）函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)是對(duì)開區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn) 而言，是 在開區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn) 的變化率，是一個(gè)函數(shù).

【聯(lián)系】一般而言， 在 處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù) 在 = 處的函數(shù)值，表示為 ，這也是求 的一種方法.

本例共兩個(gè)小問(wèn)，第(1)小問(wèn)是教材上的一道例題, 第(2)小問(wèn)是補(bǔ)充題.兩問(wèn)都是求導(dǎo)數(shù)，但它們有本質(zhì)上的區(qū)別！學(xué)生容易產(chǎn)生混淆.通過(guò)此題讓學(xué)生辨清“函數(shù) 在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)”、“函數(shù) 在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)”與“導(dǎo)數(shù)”三者的關(guān)系.





教學(xué)

環(huán)節(jié)

內(nèi) 容

設(shè)計(jì)意圖


練


習(xí)

反

饋


鞏


固

概

念

練習(xí)：

1．已知y=x3－2x+1，求y′，y′x=2.

2．設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，則 等于

A. f′(x0) B.0 C.2 f′(x0) D.－2 f′(x0)

3． 已知一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的位移S（m）與時(shí)間t（s）滿足關(guān)系S（t）＝-2t2+5t

（1）求物體第5秒和第6秒的瞬時(shí)速度；

（2）求物體在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度；

（3）求物體t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的加速度，并判斷物體作什么運(yùn)動(dòng)？

設(shè)計(jì)練習(xí)1，鞏固求導(dǎo)方法； 設(shè)計(jì)練習(xí)2，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練，揭示概念的內(nèi)涵，提高學(xué)生的模式識(shí)別的能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和靈活性；設(shè)計(jì)練習(xí)3，體驗(yàn)實(shí)際應(yīng)用，展示概念的外延，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活并應(yīng)用于生活.通過(guò)練習(xí)，反饋學(xué)生對(duì)知識(shí)技能的掌握情況，以便及時(shí)調(diào)節(jié)教學(xué)，更好的達(dá)成教學(xué)目標(biāo).


小


結(jié)

整

理


形


成

系

統(tǒng)



①知識(shí)層面 ：



②方法層面：用定義求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟

③思想層面：極限思想、函數(shù)思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想

④應(yīng)用層面：舉出生活中與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的實(shí)例（涉及變化率問(wèn)題的問(wèn)題可以考慮用導(dǎo)數(shù)解決）.

引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、方法、思想和應(yīng)用四個(gè)層面進(jìn)行小結(jié)，理清知識(shí)結(jié)構(gòu)，提煉數(shù)學(xué)方法和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí).







分

層

作

業(yè)





深

化

概

念

必做題：1.教材 習(xí)題3.1 1、2、3、4、5

2. 已知f(3)=2， 則 的值為（ ）

（A）0 （B）－4 （C）8 （D）不存在

3.已知曲線C是函數(shù) 的圖象

（1）求點(diǎn)A(1,3)處的切線的斜率

（2）求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)

選做題： 1.有條件的同學(xué)上網(wǎng)查閱有關(guān)微積分產(chǎn)生的時(shí)代背景和歷史意義的資料并交流討論.

2.函數(shù) =x在x=0處是否可導(dǎo)？

3.函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導(dǎo)是它在x=x0處連續(xù)的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條 D.既不充分也不必要條件



彈性的分層作業(yè)，照顧到各種層次的學(xué)生.補(bǔ)充的必做3，為下節(jié)課研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義打下伏筆.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，設(shè)計(jì)成選作題，既不影響主體知識(shí)建構(gòu),又能使學(xué)有余力的學(xué)生得到進(jìn)一步的發(fā)展.利用網(wǎng)絡(luò)，便于學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)，拓展學(xué)習(xí)方式和平臺(tái).



二、板書設(shè)計(jì)（板書附后）



【設(shè)計(jì)意圖】本課使用了電腦投影屏幕，黑板上的板書保留勾勒本課知識(shí)發(fā)展的主要線索，呈現(xiàn)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，用彩色粉筆突出重點(diǎn)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新信息的納入，同時(shí)對(duì)新學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言的規(guī)范使用進(jìn)行示范.

板書設(shè)計(jì)：

辨析： f ′(x0) 與 f ′(x)

課堂小結(jié)

函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)

導(dǎo)數(shù)







定義1

定義2

定義3

函數(shù)在點(diǎn)x可導(dǎo)及導(dǎo)數(shù)

函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)

例1．。。。。。。。

電子屏幕

例2.。。。。。。。。。。

課堂練習(xí)

導(dǎo)數(shù)的概念（第三課時(shí)）



布置作業(yè)







三、【教學(xué)反思】

一個(gè)概念的形成是螺旋式上升的，對(duì)新概念的抽象不僅是對(duì)結(jié)果的抽象，更是對(duì)方法和過(guò)程的抽象.本課設(shè)計(jì)上，把數(shù)學(xué)知識(shí)的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)課堂的“教學(xué)形態(tài)”，返璞歸真，從兩個(gè)反應(yīng)概念現(xiàn)實(shí)原型的具體問(wèn)題出發(fā)，引出函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)再到開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)完整的數(shù)學(xué)概念發(fā)生、發(fā)展的探究過(guò)程.提出問(wèn)題、觀察歸納、概括抽象，拓展概念讓學(xué)生充分經(jīng)歷了具體到抽象，特殊到一般，感性到理性，直觀到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹�識(shí)再發(fā)現(xiàn)過(guò)程，教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)和空間，激活學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，倡導(dǎo)學(xué)生積極參與，自主探究，發(fā)現(xiàn)知識(shí)，培養(yǎng)能力.把可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，設(shè)計(jì)成彈性化的選作題，既不影響主體知識(shí)建構(gòu),又能使學(xué)有余力的學(xué)生得到進(jìn)一步的發(fā)展.以上，體現(xiàn)了以學(xué)生的發(fā)展為本，不是教教材而是用教材教；教學(xué)中不是重結(jié)論，而是重過(guò)程和方法；不是采用接受式的學(xué)習(xí)方式，而是采用探究、交流的方式；不是統(tǒng)一要求，而是因材施教尊重個(gè)體差異.這樣的設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，促進(jìn)了個(gè)性化學(xué)習(xí)，更好地實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo).

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.portlandfoamroofing.com/gaoer/59297.html

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