北京市第十八中學(xué)2014-2014學(xué)年第二學(xué)期高二年級月考考試
數(shù)學(xué)(理)試卷
考生須知1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。
2．本試卷共2頁，分為兩部分。第一部分，8個(gè)小題（共40分）；第二部分非，9個(gè)小題（共60分）。
3．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答，作圖時(shí)可用2B鉛筆。
4．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡按要求放在桌面上，待監(jiān)考員收回。
第Ⅰ卷（選擇題　共40分）
一、 選擇題：（共8道小題，每小題5分，共40分，選對一項(xiàng)得5分，多選則該小題不得分。）
1．如果命題 是真命題，命題 是假命題，那么( )
A. 命題p一定是假命題 B. 命題q一定是假命題
C. 命題q一定是真命題 D. 命題q是真命題或假命題
2．橢圓 的離心率e是（ ）
A． B． C． D．
3．若 為異面直線，直線c∥a，則c與b的位置關(guān)系是（ ）
A．相交 B．異面 C．平行 D． 異面或相交
4．已知函數(shù) ，則 （ ）
A. 0 B. C． D．
5．拋物線 的準(zhǔn)線方程是y=2，則a的值為（ ）
A． 　 B．－ 　 C．8　　　 D．－8
6．已知向量 ，使 成立的x與使 成立的x分別（ A ）
A． B．- 6 C．-6, D．6,-
7．現(xiàn)有一段長為18m的鐵絲，要把它圍成一個(gè)底面一邊長為另一邊長2倍的長方體形狀的框架，當(dāng)長方體體積最大時(shí)，底面的較短邊長是（ ）
A. 1m B. 1.5m C. 0.75m D. 0.5m
8．以下四圖，都是同一坐標(biāo)系中三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖像，其中一定 的序號是（ B ）
A．①、② B．③、④ C．①、③ D．①、④
第Ⅱ卷（非選擇題 共60分）
二、題：（共6道小題，每小題5分，共30分）
9．若 ，則“ ”是“方程 表示雙曲線”的_____ ____條件。
10．命題“存在 R， 0”的否定是____ _____。
11．直線 被橢圓 截得弦長是____ _____。
12．方程 （ ）所表示的直線恒過點(diǎn)_____________。
13．曲線 在點(diǎn) 處的切線的傾斜角為 。
14．以下四個(gè)命題：
①已知A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，若 （ 為常數(shù)），則動點(diǎn) 的軌跡為橢圓.
②雙曲線 與橢圓 有相同的焦點(diǎn).
③方程 的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率.
④過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動點(diǎn)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 則動點(diǎn)P的軌
跡為橢圓；
其中真命題的序號為 ．（寫出所有真命題的序號）
三、解答題：（共3道小題，每題10分）
15．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線 的一個(gè)焦點(diǎn)，并與雙曲線的實(shí)軸垂直。已知雙曲線與拋物線的交點(diǎn)為 ，求拋物線的方程和雙曲線的方程。
16．如圖，在三棱錐 中，底面 是邊長為4的正三角形,側(cè)面 底面 ，
, 分別為 的中點(diǎn).（Ⅰ）求證: ;（Ⅱ）求二面角
的大小的正切值.
17．已知函數(shù) ，其中 為實(shí)數(shù).（1）求導(dǎo)數(shù) ;（2）若 求 在[-2,3]上的最大值和最小值；（3）若 在（- 和[3， 上都是遞增的，求 的取值范圍。
月考答案
題號12345678
答案 D D D D B A A B
二、題：
9．充分不必要條件； 10．對任意的 R, >0； 11．4；
12．（-1，1）； 13． ； 14．②③。
三、解答題：（共3道小題，每題10分）
15．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線 的一個(gè)焦點(diǎn)，并與雙曲線的實(shí)軸垂直。已知雙曲線與拋物線的交點(diǎn)為 ，求拋物線的方程和雙曲線的方程。
解：根據(jù)題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，將點(diǎn) 代人得 ，所以 故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
根據(jù)題意知，拋物線的焦點(diǎn)（1，0）也是所求雙曲線的焦點(diǎn)，因此可以得到
解方程組得 （取正數(shù)），即雙曲線的方程為
16．如圖，在三棱錐 中，底面 是邊長為4的正三角形,側(cè)面 底面
， , 分別為 的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證: ;
（Ⅱ）求二面角 的大小的正切值.
(Ⅰ)取 的中點(diǎn) ,連結(jié) .
,
.又平面 平面 ,且平面 ,
平面 .故 在平面 內(nèi)的射影為 ,
. …………………4分
(Ⅱ)取 的中點(diǎn) ,作 交 于 ,連結(jié) ， .
在△ 中, 分別為 的中點(diǎn),
∥ .又 平面 ,
平面 ,由 得 .
故 為二面角 平面角……9分
設(shè) 與 交于 ,則 為△ 的中心,
.又 , ,
∥ , .
在△ 中可得 ,
在△ 中, ，
在Rt△ 中, .
二面角 的大小的大小的正切值為 …12分
解法二: (Ⅰ) 取 的中點(diǎn) ,連結(jié) .
,
.
又平面 平面 ,且平面 ,
平面 .
如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系 ,
則 .
.
則 ,
. ………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 設(shè) = 為平面 的一個(gè)法向量,
取 ,得 .
.又 為平面 的法向量,
＜ ＞= .
二面角 的大小的大小的正切值為
17．已知函數(shù) ，其中 為實(shí)數(shù).
（1）求導(dǎo)數(shù) ;
（2）若 求 在[-2,3]上的最大值和最小值；
（3）若 在（- 和[3， 上都是遞增的，求 的取值范圍
解：（1）
…3分
(2)
由 可得
又
在[-2,3]上的最小值為-3 …….9分
(3) 圖象開口向上,且恒過點(diǎn)(0,-1)
由條件可得:
即:


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