選修2-2 2.1.1 第2課時(shí) 類比推理
一、
1．下列說法正確的是(　　)
A．由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的
B．合情推理必須有前提有結(jié)論
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的結(jié)論無法判定正誤
[答案]　B
[解析]　由合情推理得出的結(jié)論不一定正確，A不正確；B正確；合情推理的結(jié)論本身就是一個(gè)猜想，C不正確；合情推理結(jié)論可以通過證明來判定正誤，D也不正確，故應(yīng)選B.
2．下面幾種推理是合情推理的是(　　)
①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)
②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°
③教室內(nèi)有一把椅子壞了，則該教室內(nèi)的所有椅子都?jí)牧?br>④三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得出凸多邊形的內(nèi)角和是(n－2)?180°
A．①②　　　　　　　　
B．①③④
C．①②④
D．②④
[答案]　C
[解析]�、偈穷惐韧评恚虎冖芏际菤w納推理，都是合情推理．
3．三角形的面積為S＝12(a＋b＋c)?r，a、b、c為三角形的邊長(zhǎng)，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理，可以得到四面體的體積為(　　)
A．V＝13abc
B．V＝13Sh
C．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4分別為四面體四個(gè)面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑)
D．V＝13(ab＋bc＋ac)h(h為四面體的高)
[答案]　C
[解析]　邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)表面積，內(nèi)切圓半徑應(yīng)對(duì)應(yīng)內(nèi)切球半徑．故應(yīng)選C.
4．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?　　)
①各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等
②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等
③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等
A．①
B．①②
C．①②③
D．③
[答案]　C
[解析]　正四面體的面(或棱)可與正三角形的邊類比，正四面體的相鄰兩面成的二面角(或共頂點(diǎn)的兩棱的夾角)可與正三角形相鄰兩邊的夾角類比，故①②③都對(duì)．
5．類比三角形中的性質(zhì)：
(1)兩邊之和大于第三邊
(2)中位線長(zhǎng)等于底邊的一半
(3)三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)
可得四面體的對(duì)應(yīng)性質(zhì)：
(1)任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積
(2)過四面體的交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面面積等于第四個(gè)面面積的14
(3)四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)
其中類比推理方法正確的有(　　)
A．(1)
B．(1)(2)
C．(1)(2)(3)
D．都不對(duì)
[答案]　C
[解析]　以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價(jià)，方法正確結(jié)論也不一定正確．
6．由代數(shù)式的法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：
①“mn＝nm”類比得到“a?b＝b?a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)?c＝a?c＋b?c”；
③“(m?n)t＝m(n?t)”類比得到“(a?b)?c＝a?(b?c)”；
④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a?p＝x?p?a＝x”；
⑤“m?n＝m?n”類比得到“a?b＝a?b”；
⑥“acbc＝ab”類比得到“a?cb?c＝ab”．
以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(　　)
A．1　　　　
B．2　　　　
C．3　　　　
D．4
[答案]　B
[解析]　由向量的有關(guān)運(yùn)算法則知①②正確，③④⑤⑥都不正確，故應(yīng)選B.
7．(2010?浙江溫州)如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)FB→⊥AB→時(shí)，其離心率為5－12，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于(　　)
A.5＋12
B.5－12
C.5－1
D.5＋1
[答案]　A
[解析]　如圖所示，設(shè)雙曲線方程為x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，
則F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)
∴FB→＝(c，b)，AB→＝(－a，b)
又∵FB→⊥AB→，∴FB→?AB→＝b2－ac＝0
∴c2－a2－ac＝0
∴e2－e－1＝0
∴e＝1＋52或e＝1－52(舍去)，
故應(yīng)選A.
8．六個(gè)面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體．如圖甲，在平行四邊形ABD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在圖乙中所示的平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AC21＋BD21＋CA21＋DB21等于(　　)
A．2(AB2＋AD2＋AA21)
B．3(AB2＋AD2＋AA21)
C．4(AB2＋AD2＋AA21)
D．4(AB2＋AD2)
[答案]　C
[解析]　AC21＋BD21＋CA21＋DB21
＝(AC21＋CA21)＋(BD21＋DB21)
＝2(AA21＋AC2)＋2(BB21＋BD2)
＝4AA21＋2(AC2＋BD2)
＝4AA21＋4AB2＋4AD2，故應(yīng)選C.
9．下列說法正確的是(　　)
A．類比推理一定是從一般到一般的推理
B．類比推理一定是從個(gè)別到個(gè)別的推理
C．類比推理是從個(gè)別到個(gè)別或一般到一般的推理
D．類比推理是從個(gè)別到一般的推理
[答案]　C
[解析]　由類比推理的定義可知：類比推理是從個(gè)別到個(gè)別或一般到一般的推理，故應(yīng)選C.
10．下面類比推理中恰當(dāng)?shù)氖?　　)
A．若“a?3＝b?3，則a＝b”類比推出“若a?0＝b?0，則a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“(a?b)c＝ac?bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”類比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
[答案]　C
[解析]　結(jié)合實(shí)數(shù)的運(yùn)算知C是正確的．
二、題
11．設(shè)f(x)＝12x＋2，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值為________．
[答案]　32
[解析]　本題是“方法類比”．因等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么經(jīng)類比不難想到f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(0)＋f(1)]，
而當(dāng)x1＋x2＝1時(shí)，有f(x1)＋f(x2)＝
＝12＝22，故所求答案為6×22＝32.
12．(2010?廣州高二檢測(cè))若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，對(duì)于bn＝1n(a1＋a2＋…＋an)，則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列．類比上述性質(zhì)，若數(shù)列{cn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，對(duì)于dn>0，則dn＝________時(shí)，數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列．
[答案]　nc1?c2?…?cn
13．在以原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓上有一點(diǎn)P(x0，y0)，則過此點(diǎn)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2，而在橢圓x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中，當(dāng)離心率e趨近于0時(shí)，短半軸b就趨近于長(zhǎng)半軸a，此時(shí)橢圓就趨近于圓．類比圓的面積公式，在橢圓中，S橢＝________.類比過圓上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程，則過橢圓x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x1，y1)的橢圓的切線方程為________．
[答案]　π?a?b；x1a2?x＋y1b2?y＝1
[解析]　當(dāng)橢圓的離心率e趨近于0時(shí)，橢圓趨近于圓，此時(shí)a，b都趨近于圓的半徑r，故由圓的面積S＝πr2＝π?r?r，猜想橢圓面積S橢＝π?a?b，其嚴(yán)格證明可用定積分處理．而由切線方程x0?x＋y0?y＝r2變形得x0r2?x＋y0r2?y＝1，則過橢圓上一點(diǎn)P(x1，y1)的橢圓的切線方程為x1a2?x＋y1b2?y＝1，其嚴(yán)格證明可用導(dǎo)數(shù)求切線處理．
14．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有等式__________成立．
[答案]　b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)
[解析]　解法1：從分析所提供的性質(zhì)入手：由a10＝0，可得ak＋a20－k＝0，因而當(dāng)n<19－n時(shí)，有a1＋a2＋…＋a19－n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n，
而an＋1＋an＋2＋…＋a19－n＝(19－2n)(an＋1＋a19－n)2＝0，∴等式成立．同理可得n>19－n時(shí)的情形．
由此可知：等差數(shù)列{an}之所以有等式成立的性質(zhì)，關(guān)鍵在于在等差數(shù)列中有性質(zhì)：an＋1＋a19－n＝2a10＝0，類似地，在等比數(shù)列{bn}中，也有性質(zhì)：bn＋1?b17－n＝b29＝1，因而得到答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．
解法2：因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中有“和”的性質(zhì)a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立，故在等比數(shù)列{bn}中，由b9＝1，可知應(yīng)有“積”的性質(zhì)b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立. (1)
證明如下：當(dāng)n＜8時(shí)，等式(1)為b1b2…bn＝b1b2…bnbn＋1…b17－n
即：bn＋1?bn＋2…b17－n＝1.(2)
∵b9＝1，∴bk＋1?b17－k＝b29＝1.
∴bn＋1bn＋2…b17－n＝b17－2n9＝1.
∴(2)式成立，即(1)式成立；
當(dāng)n＝8時(shí)，(1)式即：b9＝1顯然成立；
當(dāng)8＜n＜17時(shí)，(1)式即：
b1b2…b17－n?b18－n?…bn＝b1b2…b17－n
即：b18－n?b19－n…bn＝1(3)
∵b9＝1，∴b18－k?bk＝b29＝1
∴b18－nb19－n?…?bn＝b2n－179＝1
∴(3)式成立，即(1)式成立．
綜上可知，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{bn}滿足b9＝1時(shí)，有：
b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立．
三、解答題
15．已知：等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，有如下的性質(zhì)：
(1)an＝am＋(n－m)?d.
(2)若m＋n＝p＋q，其中，m、n、p、q∈N*，則am＋an＝ap＋aq.
(3)若m＋n＝2p，m，n，p∈N*，則am＋an＝2ap.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等差數(shù)列．
類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，
寫出相類似的性質(zhì)．
[解析]　等比數(shù)列{bn}中，公比q，前n項(xiàng)和Sn.
(1)通項(xiàng)an＝am?qn－m.
(2)若m＋n＝p＋q，其中m，n，p，q∈N*，
則am?an＝ap?aq.
(3)若m＋n＝2p，其中，m，n，p∈N*，則a2p＝am?an.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等比數(shù)列．
16．先解答(1)，再根據(jù)結(jié)構(gòu)類比解答(2)．
(1)已知a，b為實(shí)數(shù)，且a<1，b<1，求證：ab＋1>a＋b.
(2)已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，且a<1，b<1，c<1，求證：abc＋2>a＋b＋c.
[解析]　(1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.
(2)∵a<1，b<1，c<1，據(jù)(1)得(ab)?c＋1>ab＋c，
∴abc＋2＝[(ab)?c＋1]＋1>(ab＋c)＋1＝(ab＋1)＋c>a＋b＋c.
你能再用歸納推理方法猜想出更一般地結(jié)論嗎？
[點(diǎn)評(píng)]　(1)與(2)的條件與結(jié)論有著相同的結(jié)構(gòu)，通過分析(1)的推證過程及結(jié)論的構(gòu)成進(jìn)行類比推廣得出：(ab)?c＋1＞ab＋c是關(guān)鍵．
用歸納推理可推出更一般的結(jié)論：ai為實(shí)數(shù)，ai＜1，i＝1、2、…、n，則有：a1a2…an＋(n－1)＞a1＋a2＋…＋an.
17．點(diǎn)P22，22在圓C：x2＋y2＝1上，經(jīng)過點(diǎn)P的圓的切線方程為22x＋22y＝1，又點(diǎn)Q(2,1)在圓C外部，容易證明直線2x＋y＝1與圓相交，點(diǎn)R12，12在圓C的內(nèi)部．直線12x＋12y＝1與圓相離．類比上述結(jié)論，你能給出關(guān)于一點(diǎn)P(a，b)與圓x2＋y2＝r2的位置關(guān)系與相應(yīng)直線與圓的位置關(guān)系的結(jié)論嗎？
[解析]　點(diǎn)P(a，b)在⊙C：x2＋y2＝r2上時(shí)，直線ax＋by＝r2與⊙C相切；點(diǎn)P在⊙C內(nèi)時(shí)，直線ax＋by＝r2與⊙C相離；點(diǎn)P在⊙C外部時(shí)，直線ax＋by＝r2與⊙C相交．容易證明此結(jié)論是正確的．
18．我們知道：
12＝　　　　　　　　　 1，
22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，
32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，
42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，
……
n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，
左右兩邊分別相加，得
n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n
∴1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.
類比上述推理方法寫出求
12＋22＋32＋…＋n2的表達(dá)式的過程．
[解析]　我們記S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，
S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk (k∈N*)．
已知
13＝　　　　　　　　　　　　 1，
23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，
33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，
43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，
……
n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.
將左右兩邊分別相加，得
S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.
由此知S2(n)＝n3＋3n2＋2n－3S1(n)3＝2n3＋3n2＋n6


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