北京市朝陽(yáng)區(qū)高三年級(jí)第一次綜合練習(xí)
數(shù)學(xué)學(xué)科測(cè)試（文史類） 2013.4
（考試時(shí)間120分鐘 滿分150分）
本試卷分為（共40分）和非（共110分）兩部分
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
（1） 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) 的虛部是
A． B． C． D .
（2）若集合 ， ，則
A. B. C. D.
（3）已知向量 ， .若 ，則實(shí)數(shù) 的
值為
A． B． C． D．
（4）已知命題 ： ， ；命題 ： ， .
則下列判斷正確的是
A． 是假命題 B． 是假命題 C． 是真命題 D． 是真命題
（5）若直線 與圓 有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
A． B．
C． D .
（6）“ ”是“關(guān)于 的不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)槿�角形”�?br>A．充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
（7）某個(gè)長(zhǎng)方體被一個(gè)平面所截，得到的幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為
（8）已知函數(shù) .若 ，使 ，則稱 為函數(shù) 的一個(gè)“生成點(diǎn)”.函數(shù) 的“生成點(diǎn)”共有
A. 1個(gè) B .2個(gè) C .3個(gè) D .4個(gè)
第二部分（非選擇題 共110分）
二、題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.
（9）以雙曲線 的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .
（10）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出結(jié)果S= .
（11） 在等比數(shù)列 中， ，則 ，若 為等差數(shù)列，且 ，則數(shù)列 的前5項(xiàng)和等于 .
（12）在 中， , , 分別為角 , , 所對(duì)的邊，且滿足 ，則 ，
若 ，則 .
（13） 函數(shù) 是定義在 上的偶函數(shù)，且滿足 .當(dāng) 時(shí)， .若在區(qū)間 上方程 恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
（14）在平面直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn) 是半圓 （ ≤ ≤ ）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) 在線段 的延長(zhǎng)線上．當(dāng) 時(shí)，則點(diǎn) 的縱坐標(biāo)的取值范圍是 ．
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.
（15）（本小題滿分13分）
已知函數(shù) （ ）的最小正周期為 .
（Ⅰ）求 的值及函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的取值范圍.
（16） （本小題滿分13分）
國(guó)家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定的空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：
空氣質(zhì)量指數(shù)0-5051-100101-150151-200201-300300以上
空氣質(zhì)量等級(jí)1級(jí)優(yōu)2級(jí)良3級(jí)輕度污染4級(jí)中度污染5級(jí)重度污染6級(jí)嚴(yán)重污染
由全國(guó)重點(diǎn)城市環(huán)境監(jiān)測(cè)網(wǎng)獲得2月份某五天甲城市和乙城市的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)用
莖葉圖表示如下：
（Ⅰ）試根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，判斷甲、乙兩個(gè)城市的空氣質(zhì)量指數(shù)的方差的大小關(guān)系（只需寫出結(jié)果）；
（Ⅱ）試根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)甲城市某一天空氣質(zhì)量等級(jí)為2級(jí)良的概率；
（Ⅲ）分別從甲城市和乙城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，試求這兩個(gè)城市空氣質(zhì)量等級(jí)相同的概率．
(注： ，其中 為數(shù)據(jù) 的平均數(shù).)
（17） （本小題滿分14分）
如圖，在四棱錐 中，平面 平面 ，且 ， ．四邊形 滿足 ， ， ． 為側(cè)棱 的中點(diǎn)， 為側(cè)棱 上的任意一點(diǎn).
（Ⅰ）若 為 的中點(diǎn)，求證： 平面 ；
（Ⅱ）求證：平面 平面 ；
（Ⅲ）是否存在點(diǎn) ，使得直線 與平面 垂直？若存在，
寫出證明過(guò)程并求出線段 的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（18） （本小題滿分13分）
已知函數(shù) ，其中 ．
（Ⅰ）若曲線 在點(diǎn) 處的切線的斜率為 ，求 的值；
（Ⅱ）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間.
（19） （本小題滿分14分）
已知橢圓 過(guò)點(diǎn) ,離心率為 .
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn) 且斜率為 （ ）的直線 與橢圓 相交于 兩點(diǎn)，直線 ， 分別交直線 于 ， 兩點(diǎn),線段 的中點(diǎn)為 .記直線 的斜率為 ，求證: 為定值.
（20）（本小題滿分13分）
由 按任意順序組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的數(shù)組，記為 ，設(shè) ，其中 .
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）求證： ；
（Ⅲ）求 的最大值.
(注：對(duì)任意 ， 都成立.)
北京市朝陽(yáng)區(qū)高三年級(jí)第一次綜合練習(xí)
數(shù)學(xué)學(xué)科測(cè)試答案（文史類） 2013.4
一、選擇題：
題號(hào)（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
答案ACBDDADB
二、題：
題號(hào)（9）（10）（11）（12）（13）（14）
答案 ； ；
（注：兩空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答題：
（15）（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ） ……………………………………………1分
. ……………………………………………………4分
因?yàn)?最小正周期為 ，所以 .………………………………………………5分
于是 .
由 ， ，得 .
所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為[ ]， .……………………………8分
（Ⅱ）因?yàn)?，所以 ， …………………………………10分
則 . …………………………………………………12分
所以 在 上的取值范圍是[ ]. ………………………………………13分
（16）（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）甲城市的空氣質(zhì)量指數(shù)的方差大于乙城市的空氣質(zhì)量指數(shù)的方差.……………3分
（Ⅱ）根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得在這五天中甲城市空氣質(zhì)量等級(jí)為2級(jí)良的頻率為 ，
則估計(jì)甲城市某一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為2級(jí)良的概率為 ．………………6分,
（Ⅲ）設(shè)事件A：從甲城市和乙城市的上述數(shù)據(jù)中分別任取一個(gè)，這兩個(gè)城市的空氣質(zhì)量等級(jí)相同，由題意可知，從甲城市和乙城市的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中分別任取一個(gè)，共有 個(gè)結(jié)果，分別記為：
（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）
（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78），
（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），
（75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），
（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.
其數(shù)據(jù)表示兩城市空氣質(zhì)量等級(jí)相同的包括同為1級(jí)優(yōu)的為甲29，乙41，乙43，同為2級(jí)良的為甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.
則空氣質(zhì)量等級(jí)相同的為：
（29，41），（29，43），
（53，55），（53，58），（53，78）,
（57，55），（57，58），（57，78），
（75，55），（75，58），（75，78）.共11個(gè)結(jié)果.
則 .
所以這兩個(gè)城市空氣質(zhì)量等級(jí)相同的概率為 ．
…………………………………………………………………13分
（17）（本小題滿分14分）
證明：（Ⅰ）因?yàn)?分別為側(cè)棱 的中點(diǎn)，
所以 ．
因?yàn)?，所以 ．
而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ． ……………………………………………………4分
（Ⅱ）因?yàn)槠矫?平面 ，
平面 平面 ，且 ， 平面 .
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
又因?yàn)?， ，所以 平面 ，
而 平面 ，
所以平面 平面 ．……………………………………………………8分
（Ⅲ）存在點(diǎn) ，使得直線 與平面 垂直.
在棱 上顯然存在點(diǎn) ,使得 .
由已知， ， ， ， ．
由平面幾何知識(shí)可得 ．
由（Ⅱ）知， 平面 ，所以 ，
因?yàn)?，所以 平面 ．
而 平面 ，所以 ．
又因?yàn)?,所以 平面 .
在 中， ，
可求得， ．
可見(jiàn)直線 與平面 能夠垂直，此時(shí)線段 的長(zhǎng)為 ．……………14分
（18）（本小題滿分13分）
解：(Ⅰ)由 可知，函數(shù)定義域?yàn)?，
且 .由題意， ，
解得 .……………………………………………………………………………4分
（Ⅱ） .
令 ，得 ， .
（1）當(dāng) 時(shí)， ，令 ，得 ;令 ，得 .
則函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ，單調(diào)遞增區(qū)間為 .
（2）當(dāng) ，即 時(shí)，令 ，得 或 .
則函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ， .
令 ，得 .
則函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 .
（3）當(dāng) ，即 時(shí)， 恒成立，則函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
（4）當(dāng) ，即 時(shí)，令 ，得 或 ，
則函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ， .
令 ，得 .
則函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 . ……………………………………13分
（19）（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）依題得 解得 ， .
所以橢圓 的方程為 . …………………………………………………4分
（Ⅱ）根據(jù)已知可設(shè)直線 的方程為 .
由 得 .
設(shè) ,則 .
直線 ， 的方程分別為： ，
令 ，
則 ,所以 .
所以
. ……………………………………………………14分
（20）（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ） .………3分
（Ⅱ）證明：由 及其推廣可得，
= . ……………………………7分
（Ⅲ） 的 倍與 倍共 個(gè)數(shù)如下：
其中最大數(shù)之和與最小數(shù)之和的差為 ，所以 ，
對(duì)于 ， ，
所以 的最大值為 . ……………………………………………………13分


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