選修2-2 1.1 第2課時 導數(shù)的概念
一、
1．函數(shù)在某一點的導數(shù)是(　　)
A．在該點的函數(shù)值的增量與自變量的增量的比
B．一個函數(shù)
C．一個常數(shù)，不是變數(shù)
D．函數(shù)在這一點到它附近一點之間的平均變化率
[答案]　C
[解析]　由定義，f′(x0)是當Δx無限趨近于0時，ΔyΔx無限趨近的常數(shù)，故應(yīng)選C.
2．如果質(zhì)點A按照規(guī)律s＝3t2運動，則在t0＝3時的瞬時速度為(　　)
A．6　　　　B．18　　　　
C．54　　　　D．81
[答案]　B
[解析]　∵s(t)＝3t2，t0＝3，
∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3?32
＝18Δt＋3(Δt)2∴ΔsΔt＝18＋3Δt.
當Δt→0時，ΔsΔt→18，故應(yīng)選B.
3．y＝x2在x＝1處的導數(shù)為(　　)
A．2x　　　　　　　　　　B．2
C．2＋Δx D．1
[答案]　B
[解析]　∵f(x)＝x2，x＝1，
∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2?Δx＋(Δx)2
∴ΔyΔx＝2＋Δx
當Δx→0時，ΔyΔx→2
∴f′(1)＝2，故應(yīng)選B.
4．一質(zhì)點做直線運動，若它所經(jīng)過的路程與時間的關(guān)系為s(t)＝4t2－3(s(t)的單位：m，t的單位：s)，則t＝5時的瞬時速度為(　　)
A．37　　　　B．38　　　　
C．39　　　　D．40
[答案]　D
[解析]　∵ΔsΔt＝4(5＋Δt)2－3－4×52＋3Δt＝40＋4Δt，
∴s′(5)＝limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (40＋4Δt)＝40.故應(yīng)選D.
5．已知函數(shù)y＝f(x)，那么下列說法錯誤的是(　　)
A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函數(shù)值的增量
B.ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx叫做函數(shù)在x0到x0＋Δx之間的平均變化率
C．f(x)在x0處的導數(shù)記為y′
D．f(x)在x0處的導數(shù)記為f′(x0)
[答案]　C
[解析]　由導數(shù)的定義可知C錯誤．故應(yīng)選C.
6．函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)可表示為y′x＝x0，即(　　)
A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)
B．f′(x0)＝limΔx→0[f(x0＋Δx)－f(x0)]
C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx
D．f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx
[答案]　D
[解析]　由導數(shù)的定義知D正確．故應(yīng)選D.
7．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c為常數(shù))在x＝2時的瞬時變化率等于(　　)
A．4a B．2a＋b
C．b D．4a＋b
[答案]　D
[解析]　∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)2＋b(2＋Δx)＋c－4a－2b－cΔx
＝4a＋b＋aΔx，
∴y′x＝2＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (4a＋b＋a?Δx)＝4a＋b.故應(yīng)選D.
8．如果一個函數(shù)的瞬時變化率處處為0，則這個函數(shù)的圖象是(　　)
A．圓 B．拋物線
C．橢圓 D．直線
[答案]　D
[解析]　當f(x)＝b時，f′(x)＝0，所以f(x)的圖象為一條直線，故應(yīng)選D.
9．一物體作直線運動，其位移s與時間t的關(guān)系是s＝3t－t2，則物體的初速度為(　　)
A．0 B．3
C．－2 D．3－2t
[答案]　B
[解析]　∵ΔsΔt＝3(0＋Δt)－(0＋Δt)2Δt＝3－Δt，
∴s′(0)＝limΔt→0 ΔsΔt＝3.故應(yīng)選B.
10．設(shè)f(x)＝1x，則limx→a f(x)－f(a)x－a等于(　　)
A．－1a B.2a
C．－1a2 D.1a2
[答案]　C
[解析]　limx→a f(x)－f(a)x－a＝limx→a 1x－1ax－a
＝limx→a a－x(x－a)?xa＝－limx→a 1ax＝－1a2.
二、題
11．已知函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)為11，則
limΔx→0f(x0－Δx)－f(x0)Δx＝________；
limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝________.
[答案]　－11，－112
[解析]　limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)Δx
＝－limΔx→0 f(x0－Δx)－f(x0)－Δx＝－f′(x0)＝－11；
limx→x0 f(x)－f(x0)2(x0－x)＝－12limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx
＝－12f′(x0)＝－112.
12．函數(shù)y＝x＋1x在x＝1處的導數(shù)是________．
[答案]　0
[解析]　∵Δy＝1＋Δx＋11＋Δx－1＋11
＝Δx－1＋1Δx＋1＝(Δx)2Δx＋1，
∴ΔyΔx＝ΔxΔx＋1.∴y′x＝1＝limΔx→0 ΔxΔx＋1＝0.
13．已知函數(shù)f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，則a等于______．
[答案]　2
[解析]　∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)＋4－2a－4Δx＝a，
∴f′(1)＝limΔx→0 ΔyΔx＝a.∴a＝2.
14．已知f′(x0)＝limx→x0 f(x)－f(x0)x－x0，f(3)＝2，f′(3)＝－2，則limx→3 2x－3f(x)x－3的值是________．
[答案]　8
[解析]　limx→3 2x－3f(x)x－3＝limx→3 2x－3f(x)＋3f(3)－3f(3)x－3
＝limx→3 2x－3f(3)x－3＋limx→3 3(f(3)－f(x))x－3.
由于f(3)＝2，上式可化為
limx→3 2(x－3)x－3－3limx→3 f(x)－f(3)x－3＝2－3×(－2)＝8.
三、解答題
15．設(shè)f(x)＝x2，求f′(x0)，f′(－1)，f′(2)．
[解析]　由導數(shù)定義有f′(x0)
＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx
＝limΔx→0 (x0＋Δx)2－x20Δx＝limΔx→0 Δx(2x0＋Δx)Δx＝2x0，
16．槍彈在槍筒中運動可以看做勻加速運動，如果它的加速度是5.0×105m/s2，槍彈從槍口射出時所用時間為1.6×10－3s，求槍彈射出槍口時的瞬時速度．
[解析]　位移公式為s＝12at2
∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at20＝at0Δt＋12a(Δt)2
∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，
∴l(xiāng)imΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 at0＋12aΔt＝at0，
已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，
∴at0＝800m/s.
所以槍彈射出槍口時的瞬時速度為800m/s.
17．在曲線y＝f(x)＝x2＋3的圖象上取一點P(1,4)及附近一點(1＋Δx,4＋Δy)，求(1)ΔyΔx　(2)f′(1)．
[解析]　(1)ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx
＝(1＋Δx)2＋3－12－3Δx＝2＋Δx.
(2)f′(1)＝limΔx→0 f(1＋Δx)－f(1)Δx
＝limΔx→0 (2＋Δx)＝2.
18．函數(shù)f(x)＝x(1＋x)在點x0＝0處是否有導數(shù)？若有，求出來，若沒有，說明理由．
[解析]　f(x)＝x＋x2　　(x≥0)－x－x2　(x<0)
Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝f(Δx)
＝Δx＋(Δx)2　　(Δx>0)－Δx－(Δx)2　(Δx<0)
∴l(xiāng)imx→0＋ ΔyΔx＝limΔx→0＋ (1＋Δx)＝1，
limΔx→0－ ΔyΔx＝limΔx→0－ (－1－Δx)＝－1，
∵limΔx→0－ ΔyΔx≠limΔx→0＋ ΔyΔx，∴Δx→0時，ΔyΔx無極限．


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