【例題求解】
【例1】 若 ，則 的值為 ．

思路點(diǎn)撥 視 為整體，令 ，用換元法求出 即可．


【例2】 若方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
A． B． C． D．

思路點(diǎn)撥 通過(guò)平方有理化，將無(wú)理方程根的個(gè)數(shù)討論轉(zhuǎn)化為一元二次方程實(shí)根個(gè)數(shù)的討論，但需注意注 的隱含制約．



注：轉(zhuǎn)化與化歸是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解數(shù)學(xué)題中，我們常常用到下列不同途徑的轉(zhuǎn)化：實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化大為數(shù)學(xué)問(wèn)題 ，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，常量與變量的轉(zhuǎn)化，一般與特殊的轉(zhuǎn)化等．
解下列方程：
（1） ；

(2) ；

（3） ．

按照常規(guī)思路求解繁難，應(yīng)恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，對(duì)于(1)，利用倒數(shù)關(guān)系換元；對(duì)于(2)，從 受到啟示；對(duì)于(3)，設(shè) ，則可導(dǎo)出 、 的結(jié)果．



注：換元是建立在觀察基礎(chǔ)上的，換元不拘泥于一元代換，可根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，進(jìn)行多元代換．
【例4】 若 關(guān)于 的方程 只有一個(gè)解(相等的解也算作一個(gè))，試求 的值與方程的解．
思路點(diǎn)撥 先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，把分式方程解的討論轉(zhuǎn)化為整式方程的解的討論，“只有一個(gè)解”內(nèi)涵豐富，在全面分析的基礎(chǔ)上求出 的值．


注：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程不一定是等價(jià)轉(zhuǎn)化，有可能產(chǎn)生增根，分式方程只有一個(gè) 解，可能足轉(zhuǎn)化后所得的整式方程只有一個(gè)解，也可能是轉(zhuǎn)化后的整式方程有兩個(gè)解，而其中一個(gè)是原方程的增根，故分式方程的解的討論，要運(yùn)用判別式、增根等知識(shí)全面分析．
【例5】 已知關(guān)于 的方程 有兩個(gè)根相等，求 的值．
思路點(diǎn)撥 通過(guò)換元可得到兩個(gè)關(guān)于 的含參數(shù) 的一元二次方程，利用判別式求出 的值．

注：運(yùn)用根的判別式延 伸到分式方程、高次方程根的情況的探討，是近年中考、競(jìng)賽中一類新題型，盡管這種探討仍以一元二次方程的根為基礎(chǔ)，但對(duì)轉(zhuǎn)換能力、思維周密提出了較高要求．

學(xué)歷訓(xùn)練

1．若關(guān)于 的方程 有增根，則 的值為 ；若關(guān)于 的方程 曾＝一1的解為正數(shù)，則 的取值范圍是 ．
2．解方程 得 ．

3．已知方程 有一個(gè)根是2，則 = ．
4．方程 的全體實(shí)數(shù)根的積為( )
A．60 B．一60 C．10 D．一10
5．解關(guān)于 的方程 不會(huì)產(chǎn)生增根，則是的值是( )
A．2 B．1 C．不為2或一2 D．無(wú)法確定
6．已知實(shí)數(shù) 滿足 ，那么 的值為( )
A．1或一2 B．一1或2 C．1 D．一2

7．(1)如表，方程1、方程2、方程3、……，是按照一定規(guī)律排列的一列方程，解方程1，并將它的解填在表中的空格處；
(2)若方程 ( )的解是 =6， =10，求 、 的值．該方程是不是(1)中所給的一列方程中的一個(gè)方程?如果是，它是第幾個(gè)方程?
(3)請(qǐng)寫出這列方程中的第 個(gè)方程和它的解，并驗(yàn)證所寫出的解適合第 個(gè)方程．
序號(hào)方 程方程的解
1 = =
2 =4 =6
3 =5 =8
…………
8．解下列方程 ：
（1 ） ；
（2） ；
(3) ；
(4) ．
9．已知關(guān)于 的方程 ，其中 為實(shí)數(shù)，當(dāng)m為何值時(shí)，方程恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根?求出這三個(gè)實(shí)數(shù)根．
10．方程 的解是 ．

11．解方程 得 ．

12．方程 的解是 ．

13．若關(guān)于 的方程 恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ．
14．解下列方程：
(1) ；
(2) ；
（3） ；
（4） ．
15．當(dāng) 取何值時(shí)，方程 有負(fù)數(shù)解?

16．已知 ，求 的值．
17．已知：如圖，四邊形ABCD為菱形，AF⊥上AD交BD于E點(diǎn)，交BC于點(diǎn)F．
(1)求證：AD2= DE×DB；
(2)過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AE交AB于點(diǎn)G，若線段BE、DE(BE0)的兩個(gè)根，且菱形ABCD的面積為 ，求EG的長(zhǎng)
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