【例題求解】
【例1】 如圖，⊙O與⊙O1外切于點(diǎn)T，PT為其內(nèi)公切線，AB為其外公切線，且A、B為切點(diǎn)，AB與PT相交于點(diǎn)P，根據(jù)圖中所給出的已知條件及線段，請寫出一個(gè)正確結(jié)論，并加以證明． (杭州市中考題)
思路點(diǎn)撥 為了能寫出更多的正確結(jié)論，我們可以從以下幾分角度作探索，線段關(guān)系，角的關(guān)系、三角形的關(guān)系及由此推出的相應(yīng)結(jié)論．

注：明確要求將數(shù)學(xué)開放性題作為中考試題，還是近一二年的事情．開放性問題沒有明確的目標(biāo)和解題方向，留有極大的探索空間．
解開放性問題，不具有定向的解題思路，解題時(shí)總要有合情合理、實(shí)事求是的分析，要把歸納與演繹協(xié)調(diào)配合起來，把直覺發(fā)現(xiàn)與邏輯推理相互結(jié)合起來，把一般能力和數(shù)學(xué)能力 同時(shí)發(fā)揮出來．杭州市對本例評分標(biāo)準(zhǔn)是以正確結(jié)論的難易程度為標(biāo)準(zhǔn)靈活打分，分值直接反映考生的能力及創(chuàng)新性．
【例2】 如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，A是BD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)的切線與CB的延長線交于點(diǎn)E．
(1)求證：AB?DA=CO?BE；
(2)若點(diǎn)E在CB延長線上運(yùn)動，點(diǎn)A在BD上運(yùn)動，使切線EA變?yōu)楦罹�EFA，其他條件不變，問具備什么條件使原結(jié)論成立? (要求畫出示意圖，注明條件，不要求證明)
(北京市海淀區(qū)中考題)
思路點(diǎn)撥 對于(2)，能畫出圖形盡可能畫出圖形，要使結(jié)論AB?DA=CD?BE成立，即要證△ABE∽△CDA，已有條件∠ABE=∠CDA，還需增加等角條件，這可由多種途徑得到．


注：許多開放性問題解題思路也是開放的(多角度、多維度思考)，探索的條件或結(jié)論并不惟一．故解開放性問題，應(yīng)盡可能深入探究，發(fā)散思維，提高思維的品質(zhì)，切忌入寶山而空返．

【例3】(1)如圖1，若⊙O1與⊙O2外切于A，BC是⊙O1與⊙O2外公切線，B、C為切點(diǎn)，求證：AB⊥AC．
(2)如圖2，若⊙O1與⊙O2外離，BC是⊙O1與⊙O2的外公切線，B、C為切點(diǎn)，連心線O1 O2分別交⊙O1、⊙O2于M、N，BM、CN的延長線交于P，則BP與CP是否垂直?證明你的結(jié)論．
(3)如圖3，若⊙O1與⊙O2相交，B C是⊙O1與⊙O2的公切線，B、C為切點(diǎn)，連心線O1 O2分別交⊙O1、⊙O2于M、N，Q是線段MN上一點(diǎn)，連結(jié)BQ、CQ，則BQ與CQ是否垂直?證明你的結(jié)論．

思路點(diǎn)撥 本例是在基本條件不變的情況下，通過運(yùn)動改變兩圓的位置而設(shè)計(jì)的，在運(yùn)動變化中，結(jié)論可能改變或不變，關(guān)鍵是把(1)的證法類比運(yùn)用到(2)、(3)問題中．


注：開放性問題還有以下呈現(xiàn)方式：
(1)先提出特殊情況進(jìn)行研究，再要求歸納猜測和確定一般結(jié)論；
(2)先對某一給定條件和結(jié)論的問題進(jìn)行研究，再探討改變條件時(shí)其結(jié)論應(yīng)發(fā)生的變化，或改變結(jié)論時(shí)其條件相應(yīng)發(fā)生的變化．
【例4】 已知直線 ( >0)與 軸、 軸分別交于A、C兩點(diǎn)，開口向上的拋物線 過A、C兩點(diǎn)，且與 軸交于另一點(diǎn)B．
(1)如果A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離AO、BO滿足AO＝3BO，點(diǎn)B到直線AC的距離等于 ，求這條直線和拋物線的解析式；
(2)是否存在這樣的拋物線，使得tan∠ACB=2，且△ABC外接圓截得 軸所得的弦長等于5？若存在，求出這樣的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．
(無錫市 中考題)

思路點(diǎn)撥 (1)通過“點(diǎn)B到直線AC的距離等于 ”，利用等積變換求出A、B兩點(diǎn)的距離；(2)先假設(shè)存在這樣的拋物線，再由條件推理計(jì)算求得，最后加以驗(yàn)證即可．



注：解存在性開放問題的基本方法是假設(shè)求解法，即假設(shè)存在→演繹推理→得出結(jié)論(合理或矛盾)．
【 例5】 如圖，這些等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把它與正三角形的接近程度稱為“正度”．在研究“正度”時(shí)，應(yīng)保證相似三角形的“正度”相等．


設(shè)等腰三角形的底和腰分別 為 、 ，底角和頂角分別為 、 ．要求“正度”的值是非負(fù)數(shù)．
同學(xué)甲認(rèn)為：可用式子 來表示“正度”， 的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；
同學(xué)乙認(rèn)為：可用式子 來表示“正度”， 的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．
探究：（1）他們的方案哪個(gè)較為合理，為什么?
(2)對你認(rèn)為不夠合理的方案，請加以改進(jìn)(給出式子即可)；
（3）請?jiān)俳o出一種衡量“正度”的表達(dá)式． (安徽省中考題)
思路點(diǎn)撥 通過，正確理解“正度”這個(gè)新概念，同時(shí)也要抓住“在研究‘正度’時(shí)，應(yīng)保證相似三角形的‘正度’相等”這句話的實(shí)質(zhì)，可先采取舉實(shí)例加深對“正度”的理解，再判斷方案的合理性并改進(jìn)方法．


注：（1）解結(jié)論開放題往往要充分利用條件進(jìn)行大膽而合理的猜想，通過觀察、比較、聯(lián)想、猜測、推理和截判斷等探索活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論．
（2） 是學(xué)習(xí)的重要途徑，在這種閱讀型研究性問題中，涌現(xiàn)了許多介紹新的知識和新的研究方法的問題，能極大地開闊我們的視野．
（3）研究性學(xué)習(xí)是課程改革的一個(gè)亮點(diǎn)，研究性學(xué)習(xí)是美國芝加哥大學(xué)教授施瓦布在《作為探究的科學(xué)教學(xué)》的演講時(shí)提出的．他主張引導(dǎo)學(xué)生直接用科學(xué)研究的方式 進(jìn)行教學(xué)，即設(shè)定情境、提出問題、分析問題、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證假設(shè)、分析結(jié)果、得出結(jié)論．研究性問題是近年中考中出現(xiàn)的一種新題型，它要求我們適應(yīng)新情況，通過實(shí)踐，增強(qiáng)探究和創(chuàng)新意識，學(xué)習(xí)科學(xué)研究方法．

學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖， 是四邊形ABCD的對稱軸，如果AD∥BC，有下列結(jié)論：
①AB∥CD，②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC．
其中正確的是 ．
(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上) (安徽省中考題)

2．如圖，是一個(gè)邊長為 的小正方形與兩個(gè)長、寬分別為 、 的小矩形ABCD，則整個(gè)圖形可表達(dá)出一些有關(guān)多項(xiàng)式分解因式的等式，請你寫出其中任意三個(gè)等式：① ；② ；③ ．
(泉州市中考題)
3．有一個(gè)二次函數(shù)的圖象，三位學(xué)生分別說出了它的一些特點(diǎn)：
甲：對稱軸是直線 ；
乙：與 軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 都是整數(shù)；
丙：與 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是整數(shù)，且以這三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為3．
請你寫出滿足上述全部特點(diǎn)的一個(gè)二次函數(shù)解析式： ．
(北京市東城區(qū)中考題)
4．如圖，已知AB為⊙O的直徑，直線 與⊙O相切于點(diǎn)D，AC⊥ 于C，AC交⊙O于點(diǎn)E，DF⊥AB于F．
(1)圖中哪條線段與BF相等?試證明你的結(jié)論；
(2)若AE=3，CD=2，求⊙O的直徑．
(威海市中考題)
5．在一個(gè)服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料(如圖)．現(xiàn)找出其中的一種，測得∠C=90°，AC=BC=4，今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上，且扇形的弧與△ABC的其他邊相切，請?jiān)O(shè)計(jì)出所有可能符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑(只要求畫出圖形，并直接寫出扇形半徑)．
(黃岡市中考題)
6．如圖，拋物線 與x軸交于點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)( x1<0 (1)求此拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)D在此拋物線上，且AD∥CB．
①求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
②在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)P使得△APD的面積與四邊形ACBD的面積相等?若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
(連云港市中考題)

7．給定四個(gè)命題：①sinl5°與sin 75°的平方和為1；②函數(shù) 的最小值為-10；③ ；④ ，則x=10”，其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)是 ．
(“我愛數(shù)學(xué)”初中生夏令營試題)
8．①在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程 的根為 ；②在△ABC中，若AC2+BC2>AB2，則△ABC是銳角三角形；③在△ABC和△ AB1C1中， 、 、 分別為△ABC的三邊， 、 、 分別為△AB1C1的三邊，若 > ， > ， > ，則△ABC的面積大S于△AB1C1的面積S1．以上三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是( )
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
A．0 B．1 C．2 D．3
9．已知：AB是⊙O的直徑，AP、AQ是⊙O的兩條弦，如圖1，經(jīng)過B做⊙O的切線 ，分別交直線AP、AQ于點(diǎn)M、N．可以得出結(jié)論AP?AM＝AQ?AN成立．

(1)若將直線 向上平行移動，使直線 與⊙O相交，如圖2所示，其他條件不變，上述結(jié)論是否成立?若成立，寫出證明，若不成立，說明理由；
(2)若將直線 繼續(xù)向上平行移動，使直線 與⊙O相離，其他條件不變，請?jiān)趫D3上畫出符合條件的圖形，上述結(jié)論成立嗎?若成立，寫出證明；若不成立，說明理由．
10．如圖，已知圓心A(0，3 )， A與 軸相切，⊙B的圓心在 軸的正半軸上，且⊙B與⊙A外切于點(diǎn)P，兩圓的公切線MP交 軸于點(diǎn)M，交 軸于點(diǎn)N．
（1）若sin∠OAB= ，求直線MP的解析式及經(jīng)過M、N、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
(2)若A的位置大小不變，⊙B的圓心在 軸的正半軸上移動，并使⊙B與⊙A始終外切，過M作⊙B的切線MC，切點(diǎn)為C在此變化過程中探究：
①四邊形 OMCB是什么四邊形，對你的結(jié)論加以證明；
②經(jīng)過M、N、B點(diǎn)的拋物線內(nèi)是否存在以BN為腰的等腰三角形?若存在，表示出來；若不存在，說明理由． (山西省中考題)

11．有一張矩形紙片ABCD，E、F、分別是BC、AD上的點(diǎn)( 但不與頂點(diǎn)重合)，若EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，設(shè)AB= ，AD= ，BE= ．
(1)求證：AF=EC；
(2)用剪刀將該紙片沿直線EF剪開后，再將梯形紙片ABEF沿AB對稱翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，一腰落在DC的延長線上，拼接后，下方梯形記作EE'B'C．
①當(dāng) 為何值時(shí)，直線E'E經(jīng)過原矩形的一個(gè)頂點(diǎn)?
②在直線E'E經(jīng)過原矩形的一個(gè)頂點(diǎn)的情形下，連結(jié)BE'，直線BE'與EF是否平行?你若認(rèn)為平行，請給予證明；你若認(rèn)為不平行，試探究當(dāng) 與 有何種數(shù)量關(guān)系時(shí)，它們就垂直?
(江西省中考題)
12．(1)證明：若 取任意整數(shù)時(shí) ，二次函數(shù) 總?cè)≌麛?shù)值，那么， 、 、 都是整數(shù)．
(2)寫出上述命題的逆命題，且證明你的結(jié)論． (全國初中數(shù)學(xué)競賽題)
13．已知四邊形ABCD的面積為32，AB、CD、AC的長都是整數(shù)，且它們的和為16．
(1)這樣的四邊形有幾個(gè)?
(2)求這樣的四邊形邊長的平方和的最小值． (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)



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