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高二年級(jí)第二次月考數(shù)學(xué)試卷
一、（共12題，每題5分，共60分）
1．下列語(yǔ)句中是命題的是（ B ）
A．周期函數(shù)的和是周期函數(shù)嗎？ B．
C． D．梯形是不是平面圖形呢？
2．設(shè)原命題：若 ，則 中至少有一個(gè)不小于 ，則原命題與其逆命題的真假情況是（ A ）
A．原命題真，逆命題假B．原命題假，逆命題真
C．原命題與逆命題均為真命題D．原命題與逆命題均為假命題
3．有下述說(shuō)法：① 是 的充要條件. ② 是 的充要條件.
③ 是 的充要條件.則其中正確的說(shuō)法有（ A ）
A． 個(gè)B． 個(gè)C． 個(gè)D． 個(gè)
4．一次函數(shù) 的圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限的必要但不充分條件是（ B ）
A． B． C． D．
5.方程 表示的曲線是（D）
A．一條直線 B．一個(gè)正方形 C．一個(gè)圓 D．四條直線
6.已知點(diǎn) ，動(dòng)點(diǎn) 滿足 ，則點(diǎn) 的軌跡方程是（C）
A． B．
C． D．
7.橢圓 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（A）
（A）(0, ±3) （B）(±3, 0) （C）(0, ±5) （D）(±4, 0)
8.已知F1, F2是定點(diǎn)， F1 F2=8, 動(dòng)點(diǎn)滿足 F1+ F2=8，則點(diǎn)的軌跡是(D)
（A）橢圓 （B）直線 （C）圓 （D）線段
9.過(guò)點(diǎn)(3, －2)且與橢圓4x2+9y2=36有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程是(C)
（A） （B） （C） （D）
10.已知P為橢圓 上一點(diǎn)，P到一條準(zhǔn)線的距離為P到相應(yīng)焦點(diǎn)的距離之比為(C)
（A） （B） （C） （D）
11.橢圓 上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和與該點(diǎn)到兩準(zhǔn)線的距離之和的比是(B)
（A） （B） （C） （D）隨P點(diǎn)位置不同而有變化
12．如圖，已知橢圓中心在原點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P, Q在橢圓上，且PD⊥l于D，QF⊥AO, 則橢圓的離心率是① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中正確的個(gè)數(shù)是 (D)
（A）1個(gè) （B）3個(gè) （C）4個(gè) （D）5個(gè)
二、題（共4題，每題5分，共20分）
13.已知方程 的曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，那么 的值為 。
14、．已知A(4, 2.4)為橢圓 上一點(diǎn)，則點(diǎn)A到該橢圓的左焦點(diǎn)的距離是_____13/5_________.
15、P為橢圓 上的一點(diǎn)，F(xiàn)1和F2是其焦點(diǎn)，若∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積為 _________ .
16、有下列四個(gè)命題：
①、命題“若 ，則 ， 互為倒數(shù)”的逆命題；
②、命題“面積相等的三角形全等”的否命題；
③、命題“若 ，則 有實(shí)根”的逆否命題；
④、命題“若 ，則 ”的逆否命題。
其中是真命題的是 ①，②，③ （填上你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)）。
三、解答題（共六題，共70分）
17、（12分）已知 ； 若 是 的必要非充分條件，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。


是 的必要非充分條件， ，即 。
18、（12分）橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)的距離之比是1∶4, 短軸長(zhǎng)為8, 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
由 解得a＝5，又橢圓焦點(diǎn)在y軸上，∴橢圓方程為x216 + y225 = 1 .
19、（12分）求過(guò)點(diǎn)P(3, 0)且與圓x2+6x+y2－91=0相內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程。

20、（12分）設(shè)橢圓C： 的左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60o, .
(I)求橢圓C的離心率；
(II)如果AB= ，求橢圓C的方程.
解：
設(shè) ，由題意知 ＜0， ＞0.
（Ⅰ）直線l的方程為 ，其中 .
聯(lián)立 得
解得
因?yàn)?，所以 .
即
得離心率 . ……6分
（Ⅱ）因?yàn)?，所以 .
由 得 .所以 ，得a=3， .
橢圓C的方程為 .

21、（12分）已知關(guān)于x的方程 (1a)x2+(a+2)x4=0 aR 求：
1) 方程有兩個(gè)正根的充要條件；
2) 方程至少有一個(gè)正根的充要條件。
解：1) 方程(1a)x2+(a+2)x4=0有兩個(gè)實(shí)根的充要條件是：
即： 
即： a≥10或a≤2且a1w
設(shè)此時(shí)方程兩根為x1，x2 ∴有兩正根的充要條件是：
  1<a≤2或a≥10 即為所求。
2) 從1)知1<a≤2或a≥10方程有兩個(gè)正根
當(dāng)a=1時(shí), 方程化為 3x4=0有一個(gè)正根x=
方程有一正、一負(fù)根的充要條件是：
  a<1
綜上：方程(1a)x2+(a+2)x4=0至少有一正根的充要條件是a≤2或a≥10。

22、（12分）設(shè)F1、F2分別為橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．
(1)若橢圓C上的點(diǎn)A(1，32)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)設(shè)點(diǎn)K是(1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程；
(3)若、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線P、PN的斜率都存在，并記為kP、kPN時(shí)．
求證：kP•kPN是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．
解：(1)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和是4，得2a＝4，即a＝2.
又點(diǎn)A1，32在橢圓上，
因此122＋322b2＝1得b2＝3，
于是c2＝1.
所以橢圓C的方程為x24＋y23＝1，
焦點(diǎn)F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)．
(2)設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)為K(x1，y1)，線段F1K的中點(diǎn)Q(x，y)滿足：
x＝－1＋x12，y＝y(tǒng)12，
即x1＝2x＋1，y1＝2y.因此(2x＋1)24＋(2y)23＝1.
即x＋122＋4y23＝1為所求的軌跡方程．
(3)設(shè)點(diǎn)(，n)是橢圓x2a2＋y2b2＝1①
上的任一點(diǎn)，N(－，－n)是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)，則2a2＋n2b2＝1②
又設(shè)P(x，y)是橢圓上任一點(diǎn)，且kP•kPN存在．
則kP＝y(tǒng)－nx－，kPN＝y(tǒng)＋nx＋，
∴kP•kPN＝y(tǒng)－nx－•y＋nx＋＝y(tǒng)2－n2x2－2.
①－②得x2－2a2＋y2－n2b2＝0，y2－n2x2－2＝－b2a2，
∴kP•kPN＝－b2a2.
故kP•kPN與P的取值無(wú)關(guān)．

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