高二第二學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷
一、題：（每小題3分，共36分）
1、空間不相交的兩條直線的位置關(guān)系可以為 。
2、若復(fù)數(shù) 滿足： （ 為虛數(shù)單位），則其共軛復(fù)數(shù) 。
3、動點 到點 的距離與它到直線 的距離相等，則點 的軌跡方程為 。
4、已知： ，則 = 。
5、在正方體 中，直線 與平面 的位置關(guān)系是 。（填：平行、垂直、斜交、線在面內(nèi)）
6、雙曲線 （ 為常數(shù)）的焦點為 ，則其漸近線方程為 。
7、已知復(fù)數(shù) ，若 為純虛數(shù)，則 。
8、如圖：平面 外一點P在 內(nèi)的射影為O， ， 為平面 內(nèi)兩點， 與平面 成300角，且 ，則 平面 所成的正弦值為 。
9、已知點 ，拋物線 的焦點為F，若點P在拋物線上移動，則 取最小值時，P點坐標為 。
10、以下命題中，正確的是 。
① 為空間兩個不重合的平面，若平面 內(nèi)有三個不共線的點到平面 的距離相等，則 ；②有三個角為直角的空間四邊形為矩形；③若空間三個平面可以把空間分成 個部分，則 的取值可為4,6,7,8；④兩兩相交的四條直線最多可以確定6個平面。
11、已知拋物線 ，過拋物線焦點且傾斜角為 的直線交拋物線于 兩點， 的面積為 ，則 。
12、已知正方體 中，點Q在平面 內(nèi)，且 BCQ是正三角形，點P在側(cè)面 內(nèi)運動，并且滿足PQ=P ，則點P的軌跡為 。（可根據(jù)題意在圖中取點、添線，并說明）
二、：（每小題3分，共18分）
13、已知空間一條直線 和一個平面 ,若兩個點A，B 滿足：“ 且 ”，則下面說法正確的是 ( ）
A、直線 在平面 內(nèi)； B、直線 上只有兩點在平面 內(nèi)；
C、平面 不一定經(jīng)過直線 ； D、直線 與平面 可能平行。
14、過拋物線 的焦點作直線交拋物線于 ， 兩點，如果 ，那么 的值為（ ）
A、2； B、3； C、4； D、5。
15、已知 表示兩個不同的平面，直線 在平面 內(nèi)，則“ ”是“ ”的 ( )
A、充分不必要條件 ；B、必要不充分條件；C、充要條件；D、既不充分也不必要條件。
16、雙曲線 =1的左焦點為F1，點P為雙曲線右支上的一點，如果線段PF1的中點M在y軸上，那么點M的縱坐標是（ ）
A、± B、± C、± D、±
17、在下列四個正方體中，能得出AB⊥CD的是（ ）。
18、給出下列命題：①若 是兩個虛數(shù)，則 也為虛數(shù)；②若 為虛數(shù)，則 ；
③ 為復(fù)數(shù)，若 ，則 為純虛數(shù)；④若復(fù)數(shù) 滿足： ，則 的取值范圍是 。其中，錯誤的命題有（ ）個。
A、1； B、2； C、3； D、4。
三、解答題：（本大題共5題，46分）
19、簡答題：（本題12分，每題6分）
（1）已知關(guān)于 的實系數(shù)一元二次方程 有兩個虛根 ， ，若實數(shù) 滿足等式： ，請在復(fù)數(shù)范圍將二次三項式 分解因式。
（2）如圖：已知直線 為異面直線， ，試用反證法證明：直線 與 為異面直線。
20、(本題8分，第1題3分，第2題5分)
已知雙曲線 ， 為該雙曲線的兩個焦點。
（1）求 ;
（2） 為雙曲線上一點，且 （ 為虛數(shù)單位），求 的大小。
21、（本題8分，第1題3分，第2題5分）
設(shè)橢圓 兩個焦點為 ，經(jīng)過右焦點 垂直于 軸的直線交橢圓于點 。
（1）求橢圓方程；
（2）若直線 的斜率為2，與橢圓相交于 兩點，求弦AB的中點軌跡。
22、（本題10分，第1題4分，第2題6分）
已知正方體 的棱長均為1， 為棱 的中點， 為棱 的中點。
（1）在圖中，作出直線 與平面 的交點，保留作圖痕跡，勿用鉛筆；
（2）求異面直線 與 所成角的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)表示）。
23、已知拋物線 ， 為拋物線的焦點，點N為拋物線的準線與 軸的交點。某同學(xué)在探究“經(jīng)過N點的直線與拋物線的關(guān)系”中，發(fā)現(xiàn)以下兩個問題：
（1）通過研究過N點斜率為2的直線 ，他發(fā)現(xiàn)直線 上存在這樣的點P：可以找到一條過P點的直線與拋物線相交于 兩點，滿足 為BP的中點，他稱這樣的P點為“ 點”，請你進一步探索：是否上述直線 上所有的點都是“ 點”？說明理由。
（2）該同學(xué)又發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過N點的直線 與拋物線相交于C、D兩點，直線 與 的斜率之和是定值。請你求出該定值，并進一步探索：在 軸上是否存在這樣的定點M，對過點N的任意直線 ，如果 與拋物線相交于C、D兩點，均能使得 為定值。若存在，找出滿足條件的點M；若不存在，則說明理由。
請就以上兩個探索問題，選擇一個進行解答，滿分8分，都答只算第（1）題得分。
考試答案
一、題：
1、異面、平行；2、 ；3、 ；4、 ；5、垂直；6、 ；7、 ；
8、 ；9、 ；10、③④；11、 ；12、取 中點R，P的軌跡即為線段RC。
二、：
13、A；14、D；15、A；16、A；17、A；18、C
三、解答題：
19、（1）由 ………3分
故： 兩根為
所以： ………6分
（2）證明:假設(shè)直線 與 共面，設(shè)該平面為 。………2分
可知直線 與 在平面 上，所以 ……………4分
即 即直線 為共面直線，與已知 為異面直線矛盾。
故原假設(shè)不成立，則直線 與 為異面直線�！�…………6分
20、解：（1） ………3分
（2） ………4分
。。。。。。。。。。6分
………8分
21、解：(1) ,將 代入，得 。。。。3分
（2）設(shè) ， 中點
。。。。。。。。。。6分
將 代入得：AB中點軌跡為 8分
22、（1）延長DB與 交于點P，P即為所求點。（圖略）……………4分
（2）過N點作 交AB于點E，連結(jié)CN,CE。
可知 即為異面直線AM、CN所成角。。。。。。。6分。
，可求得
。。。。。。。9分
則 ……………………10分
23、（1）結(jié)論：上述直線 上所有的點都是“ 點”………2分
由題意得：直線 ……………3分
設(shè) ，由A為BP中點，可知
由A、B兩點在拋物線上，則：
化簡得關(guān)于 的方程: （*）…………5分
其判別式 恒成立，可知對方程（*）恒有解。即對直線 上所有的點P，存在過P點的直線交拋物線于A、B兩點，使得A為BP中點�！�………8分
（2）設(shè)直線 的斜率為 ，直線 ，直線 與拋物線的交點 ，
…………2分
斜率和為定值0……………4分
如存在滿足條件的點M ，使得 為定值


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