高二第二學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷
一、題：（每小題3分，共36分）
1、空間不相交的兩條直線的位置關(guān)系可以為 。
2、若復(fù)數(shù) 滿(mǎn)足： （ 為虛數(shù)單位），則其共軛復(fù)數(shù) 。
3、動(dòng)點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離與它到直線 的距離相等，則點(diǎn) 的軌跡方程為 。
4、已知： ，則 = 。
5、在正方體 中，直線 與平面 的位置關(guān)系是 。（填：平行、垂直、斜交、線在面內(nèi)）
6、雙曲線 （ 為常數(shù)）的焦點(diǎn)為 ，則其漸近線方程為 。
7、已知復(fù)數(shù) ，若 為純虛數(shù)，則 。
8、如圖：平面 外一點(diǎn)P在 內(nèi)的射影為O， ， 為平面 內(nèi)兩點(diǎn)， 與平面 成300角，且 ，則 平面 所成的正弦值為 。
9、已知點(diǎn) ，拋物線 的焦點(diǎn)為F，若點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng)，則 取最小值時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為 。
10、以下命題中，正確的是 。
① 為空間兩個(gè)不重合的平面，若平面 內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)到平面 的距離相等，則 ；②有三個(gè)角為直角的空間四邊形為矩形；③若空間三個(gè)平面可以把空間分成 個(gè)部分，則 的取值可為4,6,7,8；④兩兩相交的四條直線最多可以確定6個(gè)平面。
11、已知拋物線 ，過(guò)拋物線焦點(diǎn)且傾斜角為 的直線交拋物線于 兩點(diǎn)， 的面積為 ，則 。
12、已知正方體 中，點(diǎn)Q在平面 內(nèi)，且 BCQ是正三角形，點(diǎn)P在側(cè)面 內(nèi)運(yùn)動(dòng)，并且滿(mǎn)足PQ=P ，則點(diǎn)P的軌跡為 。（可根據(jù)題意在圖中取點(diǎn)、添線，并說(shuō)明）
二、：（每小題3分，共18分）
13、已知空間一條直線 和一個(gè)平面 ,若兩個(gè)點(diǎn)A，B 滿(mǎn)足：“ 且 ”，則下面說(shuō)法正確的是 ( ）
A、直線 在平面 內(nèi)； B、直線 上只有兩點(diǎn)在平面 內(nèi)；
C、平面 不一定經(jīng)過(guò)直線 ； D、直線 與平面 可能平行。
14、過(guò)拋物線 的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 ， 兩點(diǎn)，如果 ，那么 的值為（ ）
A、2； B、3； C、4； D、5。
15、已知 表示兩個(gè)不同的平面，直線 在平面 內(nèi)，則“ ”是“ ”的 ( )
A、充分不必要條件 ；B、必要不充分條件；C、充要條件；D、既不充分也不必要條件。
16、雙曲線 =1的左焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是（ ）
A、± B、± C、± D、±
17、在下列四個(gè)正方體中，能得出AB⊥CD的是（ ）。
18、給出下列命題：①若 是兩個(gè)虛數(shù)，則 也為虛數(shù)；②若 為虛數(shù)，則 ；
③ 為復(fù)數(shù)，若 ，則 為純虛數(shù)；④若復(fù)數(shù) 滿(mǎn)足： ，則 的取值范圍是 。其中，錯(cuò)誤的命題有（ ）個(gè)。
A、1； B、2； C、3； D、4。
三、解答題：（本大題共5題，46分）
19、簡(jiǎn)答題：（本題12分，每題6分）
（1）已知關(guān)于 的實(shí)系數(shù)一元二次方程 有兩個(gè)虛根 ， ，若實(shí)數(shù) 滿(mǎn)足等式： ，請(qǐng)?jiān)趶?fù)數(shù)范圍將二次三項(xiàng)式 分解因式。
（2）如圖：已知直線 為異面直線， ，試用反證法證明：直線 與 為異面直線。
20、(本題8分，第1題3分，第2題5分)
已知雙曲線 ， 為該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)。
（1）求 ;
（2） 為雙曲線上一點(diǎn)，且 （ 為虛數(shù)單位），求 的大小。
21、（本題8分，第1題3分，第2題5分）
設(shè)橢圓 兩個(gè)焦點(diǎn)為 ，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn) 垂直于 軸的直線交橢圓于點(diǎn) 。
（1）求橢圓方程；
（2）若直線 的斜率為2，與橢圓相交于 兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)軌跡。
22、（本題10分，第1題4分，第2題6分）
已知正方體 的棱長(zhǎng)均為1， 為棱 的中點(diǎn)， 為棱 的中點(diǎn)。
（1）在圖中，作出直線 與平面 的交點(diǎn)，保留作圖痕跡，勿用鉛筆；
（2）求異面直線 與 所成角的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)表示）。
23、已知拋物線 ， 為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線的準(zhǔn)線與 軸的交點(diǎn)。某同學(xué)在探究“經(jīng)過(guò)N點(diǎn)的直線與拋物線的關(guān)系”中，發(fā)現(xiàn)以下兩個(gè)問(wèn)題：
（1）通過(guò)研究過(guò)N點(diǎn)斜率為2的直線 ，他發(fā)現(xiàn)直線 上存在這樣的點(diǎn)P：可以找到一條過(guò)P點(diǎn)的直線與拋物線相交于 兩點(diǎn)，滿(mǎn)足 為BP的中點(diǎn)，他稱(chēng)這樣的P點(diǎn)為“ 點(diǎn)”，請(qǐng)你進(jìn)一步探索：是否上述直線 上所有的點(diǎn)都是“ 點(diǎn)”？說(shuō)明理由。
（2）該同學(xué)又發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過(guò)N點(diǎn)的直線 與拋物線相交于C、D兩點(diǎn)，直線 與 的斜率之和是定值。請(qǐng)你求出該定值，并進(jìn)一步探索：在 軸上是否存在這樣的定點(diǎn)M，對(duì)過(guò)點(diǎn)N的任意直線 ，如果 與拋物線相交于C、D兩點(diǎn)，均能使得 為定值。若存在，找出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M；若不存在，則說(shuō)明理由。
請(qǐng)就以上兩個(gè)探索問(wèn)題，選擇一個(gè)進(jìn)行解答，滿(mǎn)分8分，都答只算第（1）題得分。
考試答案
一、題：
1、異面、平行；2、 ；3、 ；4、 ；5、垂直；6、 ；7、 ；
8、 ；9、 ；10、③④；11、 ；12、取 中點(diǎn)R，P的軌跡即為線段RC。
二、：
13、A；14、D；15、A；16、A；17、A；18、C
三、解答題：
19、（1）由 ………3分
故： 兩根為
所以： ………6分
（2）證明:假設(shè)直線 與 共面，設(shè)該平面為 。………2分
可知直線 與 在平面 上，所以 ……………4分
即 即直線 為共面直線，與已知 為異面直線矛盾。
故原假設(shè)不成立，則直線 與 為異面直線�！�…………6分
20、解：（1） ………3分
（2） ………4分
。。。。。。。。。。6分
………8分
21、解：(1) ,將 代入，得 。。。。3分
（2）設(shè) ， 中點(diǎn)
。。。。。。。。。。6分
將 代入得：AB中點(diǎn)軌跡為 8分
22、（1）延長(zhǎng)DB與 交于點(diǎn)P，P即為所求點(diǎn)。（圖略）……………4分
（2）過(guò)N點(diǎn)作 交AB于點(diǎn)E，連結(jié)CN,CE。
可知 即為異面直線AM、CN所成角。。。。。。。6分。
，可求得
。。。。。。。9分
則 ……………………10分
23、（1）結(jié)論：上述直線 上所有的點(diǎn)都是“ 點(diǎn)”………2分
由題意得：直線 ……………3分
設(shè) ，由A為BP中點(diǎn)，可知
由A、B兩點(diǎn)在拋物線上，則：
化簡(jiǎn)得關(guān)于 的方程: （*）…………5分
其判別式 恒成立，可知對(duì)方程（*）恒有解。即對(duì)直線 上所有的點(diǎn)P，存在過(guò)P點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，使得A為BP中點(diǎn)�！�………8分
（2）設(shè)直線 的斜率為 ，直線 ，直線 與拋物線的交點(diǎn) ，
…………2分
斜率和為定值0……………4分
如存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M ，使得 為定值


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