案例背景
對(duì)數(shù)函數(shù)是函數(shù)中又一類重要的基本初等函數(shù)，它是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過對(duì)數(shù)與常用對(duì)數(shù)，反函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上引入的．故是對(duì)上述知識(shí)的應(yīng)用，也是對(duì)函數(shù)這一重要數(shù)學(xué)思想的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)與理解．對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)使學(xué)生的知識(shí)體系更加完整，系統(tǒng)，同時(shí)又是對(duì)數(shù)和函數(shù)知識(shí)的拓展與延伸．它是解決有關(guān)自然科學(xué)領(lǐng)域中實(shí)際問題的重要工具，是學(xué)生今后學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)方程，對(duì)數(shù)不等式的基礎(chǔ)．
案例敘述：
(一).創(chuàng)設(shè)情境
（師）：前面的幾種函數(shù)都是以形式定義的方式給出的，今天我們將從反函數(shù)的角度介紹新的函數(shù)．
　　反函數(shù)的實(shí)質(zhì)是研究?jī)蓚�(gè)函數(shù)的關(guān)系，所以自然我們應(yīng)從大家熟悉的函數(shù)出發(fā)，再研究其反函數(shù)．這個(gè)熟悉的函數(shù)就是指數(shù)函數(shù)．
　　（提問）：什么是指數(shù)函數(shù)?指數(shù)函數(shù)存在反函數(shù)嗎?
（學(xué)生）： 是指數(shù)函數(shù)，它是存在反函數(shù)的．
（師）：求反函數(shù)的步驟
（由一個(gè)學(xué)生口答求反函數(shù)的過程）：
由 得 ．又 的值域?yàn)?，
　　 所求反函數(shù)為 ．
　�。◣煟�：那么我們今天就是研究指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)-----對(duì)數(shù)函數(shù)．
（二）新課
　　1.（板書） 定義：函數(shù) 的反函數(shù) 叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．
　　（師）：由于定義就是從反函數(shù)角度給出的，所以下面我們的研究就從這個(gè)角度出發(fā)．如從定義中你能了解對(duì)數(shù)函數(shù)的什么性質(zhì)嗎?最初步的認(rèn)識(shí)是什么?
　�。ń處熖崾緦W(xué)生從反函數(shù)的三定與三反去認(rèn)識(shí)，學(xué)生自主探究，合作交流）
（學(xué)生）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?，對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?，且底數(shù) 就是指數(shù)函數(shù)中的 ，故有著相同的限制條件 ．
　�。ㄔ诖嘶�礎(chǔ)上，我們將一起來研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．）
2．研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)
（提問）用什么方法來畫函數(shù)圖像?
（學(xué)生1）利用互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像之間的關(guān)系，利用圖像變換法畫圖．
（學(xué)生2）用列表描點(diǎn)法也是可以的。
請(qǐng)學(xué)生從中上述方法中選出一種，大家最終確定用圖像變換法畫圖．
　�。◣煟┯捎谥笖�(shù)函數(shù)的圖像按 和 分成兩種不同的類型，故對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像也應(yīng)以1為分界線分成兩種情況 和 ，并分別以 和 為例畫圖．
　　具體操作時(shí)，要求學(xué)生做到：
　　(1) 指數(shù)函數(shù) 和 的圖像要盡量準(zhǔn)確(關(guān)鍵點(diǎn)的位置，圖像的變化趨勢(shì)等)．
　　(2) 畫出直線 ．
　　(3) 的圖像在翻折時(shí)先將特殊點(diǎn) 對(duì)稱點(diǎn) 找到，變化趨勢(shì)由靠近 軸對(duì)稱為逐漸靠近 軸，而 的圖像在翻折時(shí)可提示學(xué)生分兩段翻折，在 左側(cè)的先翻，然后再翻在 右側(cè)的部分．
　　學(xué)生在筆記本完成具體操作，教師在學(xué)生完成后將關(guān)鍵步驟在黑板上演示一遍，畫出
和 的圖像．(此時(shí)同底的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)畫在同一坐標(biāo)系內(nèi))如圖：

　　教師畫完圖后再利用電腦將 和 的圖像畫在同一坐標(biāo)系內(nèi)，如圖：

　　然后提出讓學(xué)生根據(jù)圖像說出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(要求從幾何與代數(shù)兩個(gè)角度說明)
3. 性質(zhì)
　　(1) 定義域：
　　(2) 值域：
　　由以上兩條可說明圖像位于 軸的右側(cè)．
(3)圖像恒過(1,0)
(4) 奇偶性：既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，即它不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也不關(guān)于 軸對(duì)稱．
　　(5) 單調(diào)性：與 有關(guān)．當(dāng) 時(shí)，在 上是增函數(shù)．即圖像是上升的
當(dāng) 時(shí)，在 上是減函數(shù)，即圖像是下降的．
　　之后可以追問學(xué)生有沒有最大值和最小值，當(dāng)?shù)玫椒穸ù鸢笗r(shí)，可以再問能否看待何時(shí)函數(shù)值為正?學(xué)生看著圖可以答出應(yīng)有兩種情況：
　　當(dāng) 時(shí)，有 ；當(dāng) 時(shí)，有 ．
　　學(xué)生回答后教師可指導(dǎo)學(xué)生巧記這個(gè)結(jié)論的方法：當(dāng)?shù)讛?shù)與真數(shù)在1的同側(cè)時(shí)函數(shù)值為正，當(dāng)?shù)讛?shù)與真數(shù)在1的兩側(cè)時(shí)，函數(shù)值為負(fù)，并把它當(dāng)作第(6)條性質(zhì)板書記下來．
　　最后教師在總結(jié)時(shí)，強(qiáng)調(diào)記住性質(zhì)的關(guān)鍵在于要腦中有圖．且應(yīng)將其性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)比記憶．(特別強(qiáng)調(diào)它們單調(diào)性的一致性)
　　對(duì)圖像和性質(zhì)有了一定的了解后，一起來看看它們的應(yīng)用．
（三）．簡(jiǎn)單應(yīng)用
1. 研究相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)
例1. 求下列函數(shù)的定義域：
　　(1) (2) (3)
先由學(xué)生依次列出相應(yīng)的不等式，其中特別要注意對(duì)數(shù)中真數(shù)和底數(shù)的條件限制．
2. 利用單調(diào)性比較大小
例2. 比較下列各組數(shù)的大小
　　(1) 與 ； (2) 與 ；
　　(3) 與 ； (4) 與 ．
　　讓學(xué)生先說出各組數(shù)的特征即它們的底數(shù)相同，故可以構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)利用單調(diào)性來比大�。�最后讓學(xué)生以其中一組為例寫出詳細(xì)的比較過程．
三．拓展練習(xí)
練習(xí)：若 ，求 的取值范圍．
四．小結(jié)及作業(yè)
案例反思：
本節(jié)的重點(diǎn)是理解對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)．難點(diǎn)是利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．由于對(duì)數(shù)函數(shù)的概念是一個(gè)抽象的形式，學(xué)生不易理解，而且又是建立在指數(shù)與對(duì)數(shù)關(guān)系和反函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，通過互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系由已知函數(shù)研究未知函數(shù)的性質(zhì)，這種方法是第一次使用，學(xué)生不適應(yīng)，把握不住關(guān)鍵，因而在上采取教師逐步引導(dǎo)，學(xué)生自主合作的方式，從學(xué)生熟悉的指數(shù)問題出發(fā)，通過對(duì)指數(shù)函數(shù)的認(rèn)識(shí)逐步轉(zhuǎn)化為對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，而且畫對(duì)數(shù)函數(shù)圖象時(shí)，既要考慮到對(duì)底數(shù)的分類討論而且對(duì)每一類問題也可以多選幾個(gè)不同的底，畫在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)，便于觀察圖象的特征，找出共性，歸納性質(zhì)．

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