一、知識概述
(一)銳角的三角函數(shù)的意義
1、正切的概念
在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比，叫做∠A的正切，記作tanA．


2、正弦和余弦的概念
　　如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即

　　銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即
3、三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，銳角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A的三角函數(shù)．
(二)同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α=1
(2)商數(shù)關(guān)系：
（三）互余的兩角的關(guān)系
　　任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意銳角的正切值與它的余角的正切值的積等于1．即若A+B=90°，則sinA=cosB，cosA=sinB，tanA?tanB=1．
(四)特殊銳角的三角函數(shù)值
　0°30°45°60°90°
sinA0 1
cosA1 0
tanA0 1 —
(五)銳角三角函數(shù)值的求法
1、用計算器求三角函數(shù)值
　　求整數(shù)度數(shù)的銳角三角函數(shù)值．
　　在計算器的面板上涉及三角函數(shù)的鍵有 和 鍵，當(dāng)我們計算整數(shù)度數(shù)的某三角函數(shù)值時，可先按這三個鍵之一，然后再從高位向低位按出表示度數(shù)的整數(shù)，然后按 ，則屏幕上就會顯示出結(jié)果．
例如：計算sin44°．
解：
　　按鍵 ，再依次按鍵 ．
　　則屏幕上顯示結(jié)果為0.69465837．
　　求非整數(shù)度數(shù)的銳角三角函數(shù)值．
　　若度數(shù)的單位是用度、分、秒表示的，在用計算器計算三角函數(shù)值時，同樣先按 和 三個鍵之一，然后再依次按度 分 秒 鍵，然后按 鍵，則屏幕上就會顯示出結(jié)果．
2、已知三角函數(shù)值，用計算器求角度
　　已知三角函數(shù)值求角度，要用到 、 鍵的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和 鍵．具體操作步驟是：先按 鍵，再按 鍵之一，再依次按三角函數(shù)值，最后按 鍵，則屏幕上就會顯示出結(jié)果．
　　值得注意的是型號不同的計算器的用法可能不同．
二、重點難點疑點突破
1、（1）sinA和cosA都是一個整體符號，不能看成sin?A或cos?A．
(2) 是一個比值，沒有單位，只與角的大小有關(guān)，而與三角形的大小無關(guān)．
(3)sinA＋sinB≠sin(A＋B)sinA?sinB≠sin(AB)
(4)sin2A表示(sinA)2，cos2A=(cosA)2
(5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1
2、同名三角函數(shù)值的變化規(guī)律
　　當(dāng)角α在0°～90°間變化時，它的正切和正弦三角函數(shù)值隨著角度的增大而增大；余弦三角函數(shù)值隨著角度的增大而減少．
三、解題方法技巧點撥
1、求銳角三角函數(shù)的值
例1、(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若 ，求cosB，tanB的值．
分析：本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合圖形求解可化繁為簡，迅速得解．
解：如圖，設(shè)BC=3m，則AB=5m，

　　
(2)如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，則sin∠ABD的值是（　）

　　
分析：
　　因為AB是⊙O的直徑，所以∠ACB=90°．因為BC=6，AC=8，所以AB=10．因為∠ABD=∠ACD=∠ABC，所以在Rt△ACB中， 故正確答案為D．
答案：D

分析：
　　(1)要求sinα與cosα的關(guān)系的值，而已知tanα的值，故可通過 來求值．
　　(2)已知tanα的值，也可通過 ，把要求的式子的分子，分母同時除以cos2α轉(zhuǎn)化成關(guān)于tanα的關(guān)系，這樣便可求出結(jié)論．

點評：在進(jìn)行三角函數(shù)有關(guān)計算時，常利用有關(guān)公式進(jìn)行變換．
2、化簡計算
例3、計算

分析：
　　這是一組有關(guān)特殊角三角函數(shù)值的計算題，計算中最關(guān)鍵是將它們先化成具體的數(shù)值，同時還要應(yīng)用其它一些知識幫助求值，如(1)注意分母有理化，(2)應(yīng)掌握整數(shù)指數(shù)冪的意義．
解：
　　
　　
點評：
　　學(xué)過銳角三角函數(shù)后，特殊角的三角函數(shù)的計算是�？疾凰サ膬�(nèi)容，做這類題主要分兩步：(一)代入；(二)計算．因此，特殊角的三角函數(shù)值必須牢記．
3、三角函數(shù)的增減性
例4、若α為銳角且sinα＞sinβ，那么（�。�
A．tanα＞tanβ　　　　　　　B．tanα＜tanβ
C．tanα=tanβ　　　　　　　 D．tanα、tanβ大小關(guān)系不確定

4、已知三角函數(shù)值求角
對于非特殊角可用計算器求角，若是特殊角的三角函數(shù)值則可以直接得角度．
例如：已知cosα=0.5237，求銳角α．
解：
　　按鍵 ，再依次按鍵 ．
　　則屏幕上顯示結(jié)果為58.41923095．
例5、求適合下列各式的銳角α．
　　
點撥：所有銳角三角函數(shù)值都是正數(shù)，而且正弦和余弦值都不大于1，不符合條件的三角函數(shù)值應(yīng)舍去．
5、求線段長與面積
例6、如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求BC的長．

分析：
　　題中有30°，45°特殊角，想把它們放到直角三角形中，利用三角函數(shù)來解題．

點評：
　�。�1）在作高線構(gòu)造直角三角形時，一般不過特殊角的頂點作垂線，這樣便于利用特殊角解題．
　�。�2）有些簡單的幾何圖形可分解為幾個直角三角形的組合，從而利用三角函數(shù)的定義求解．
例7、如圖所示．在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠D=∠B=90°，求此四邊形ABCD的面積．

分析：
　　由已知∠B=90°，∠A=60°這兩個條件想到延長BC，AD，使它們相交，構(gòu)成直角三角形．

例8、在矩形ABCD中DE⊥AC于E，設(shè)∠ADE=α，且 ，AB=4，求AD．

分析：
　　在矩形中AB=DC=4，可證∠α=∠1，于是條件轉(zhuǎn)移到△DCE中來了，求出DE．
解：
　　在矩形中AB=DC=4，
　　∠2＋∠α=90°
　　又DE⊥AC，
　　∠1＋∠2=90°
　　∴∠1=∠α

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