§3.1.2 用二分法求方程的近似解
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 根據(jù)具體函數(shù)圖象，能夠借助計算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解；
2. 通過用二分法求方程的近似解，使學(xué)生體會函數(shù)零點與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點處理問題的意識.
舊知提示 （預(yù)習(xí)教材P89~ P91，找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：什么叫零點？零點的等價性？零點存在性定理？
對于函數(shù) ，我們把使 的實數(shù)x叫做函數(shù) 的零點.
方程 有實數(shù)根 函數(shù) 的圖象與x軸 函數(shù) .
如果函數(shù) 在區(qū)間 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 ，那么，函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有零點.
復(fù)習(xí)2：一元二次方程求根公式？ 三次方程？ 四次方程？

合作探究
探究：有12個小球，質(zhì)量均勻，只有一個是比別的球重的，你用天平稱幾次可以找出這個球的，要求次數(shù)越少越好.
解法：第一次，兩端各放 個球，低的那一端一定有重球；
第二次，兩端各放 個球，低的那一端一定有重球；
第三次，兩端各放 個球，如果平衡，剩下的就是重球，否則，低的就是重球.
思考：以上的方法其實這就是一種二分法的思想，采用類似的方法，如何求 的零點所在區(qū)間？如何找出這個零點？

新知：二分法的思想及步驟
對于在區(qū)間 上連續(xù)不斷且 <0的函數(shù) ，通過不斷的把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫二分法(bisection).
反思： 給定精度ε，用二分法求函數(shù) 的零點近似值的步驟如何呢？
①確定區(qū)間 ，驗證 ，給定精度ε；
②求區(qū)間 的中點 ；[高考資網(wǎng)]
③計算 ： 若 ，則 就是函數(shù)的零點； 若 ，則令 （此時零點 ）； 若 ，則令 （此時零點 ）；
④判斷是否達到精度ε；即若 ，則得到零點零點值a（或b）；否則重復(fù)步驟②~④．
典型例題
例1 借助計算器或計算機，利用二分法求方程 的近似解.

練1. 求方程 的解的個數(shù)及其大致所在區(qū)間.

練2.求函數(shù) 的一個正數(shù)零點（精確到 ）
零點所在區(qū)間中點函數(shù)值符號區(qū)間長度

練3. 用二分法求 的近似值.

堂小結(jié)
① 二分法的概念；②二分法步驟；③二分法思想.
知識拓展
高次多項式方程公式解的探索史料
在十六世紀(jì)，已找到了三次和四次函數(shù)的求根公式，但對于高于4次的函數(shù)，類似的努力卻一直沒有成功，到了十九世紀(jì)，根據(jù)阿貝爾（Abel）和伽羅瓦（Galois）的研究，人們認識到高于4次的代數(shù)方程不存在求根公式，亦即，不存在用四則運算及根號表示的一般的公式解．同時，即使對于3次和4次的代數(shù)方程，其公式解的表示也相當(dāng)復(fù)雜，一般講并不適宜作具體計算．因此對于高次多項式函數(shù)及其它的一些函數(shù)，有必要尋求其零點近似解的方法，這是一個在計算數(shù)學(xué)中十分重要的題.
學(xué)習(xí)評價
1. 若函數(shù) 在區(qū)間 上為減函數(shù)，則 在 上（ ）.
A. 至少有一個零點 B. 只有一個零點
C. 沒有零點 D. 至多有一個零點
2. 下列函數(shù)圖象與 軸均有交點，其中不能用二分法求函數(shù)零點近似值的是（　　）.

3. 函數(shù) 的零點所在區(qū)間為（ ）.
A. B. C. D.
4. 用二分法求方程 在區(qū)間[2，3]內(nèi)的實根，由計算器可算得 ， ， ，那么下一個有根區(qū)間為 .
后作業(yè)
1．若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且有三個零點x1、x2、x3，則x1＋x2＋x3的值為(　　)
A．－1　　　　　B．0 C．3 D．不確定
2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)•f(b)<0，則f(x)＝0在[a，b]內(nèi)(　　)
A．至少有一實數(shù)根 B．至多有一實數(shù)根
C．沒有實數(shù)根 D．有惟一實數(shù)根
3．設(shè)函數(shù)f(x)＝13x－lnx(x＞0)則y＝f(x)(　　)
A．在區(qū)間1e，1，(1，e)內(nèi)均有零點 B．在區(qū)間1e，1， (1，e)內(nèi)均無零點
C．在區(qū)間1e，1內(nèi)有零點；在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點[高考資網(wǎng)]
D．在區(qū)間1e，1內(nèi)無零點，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點
4．函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區(qū)間是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
5．若方程x2－3x＋mx＋m＝0的兩根均在(0，＋∞)內(nèi)，則m的取值范圍是(　　)
A．m≤1 B．0<m≤1 C．m>1 D．0<m<1
6．函數(shù)f(x)＝(x－1)ln(x－2)x－3的零點有(　　)
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
7．函數(shù)y＝3x－1x2的一個零點是(　　)
A．－1 B．1 C．(－1,0) D．(1,0)
8．函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，則f(x)在(1,2)上零點的個數(shù)為( 　)
A．至多有一個 B．有一個或兩個 C．有且僅有一個 D．一個也沒有
9．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程ex－x－2＝0的一個根所在的區(qū)間為(　　)
x－10123
ex0.3712.727.3920.09
A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
10．求函數(shù)y＝x3－2x2－x＋2的零點，并畫出它的簡圖．

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