M 27.4弧長及扇形的面積
教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識點(diǎn)
1．經(jīng)歷探索弧長計(jì)算公式及扇形面積計(jì)算公式的過程；
2．了解弧長計(jì)算公式及扇形面積計(jì)算公式，并會應(yīng)用公式解決問題．
(二)能力訓(xùn)練要求
1．經(jīng)歷探索弧長計(jì)算公式及扇形面積計(jì)算公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力．
2．了解弧長及扇形面積公式后，能用公式解決問題，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力．
(三)情感與價(jià)值觀要求
1．經(jīng)歷探索弧長及扇形面積計(jì)算公式，讓學(xué)生體驗(yàn)教學(xué)活動充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性．
2．通過用弧長及扇形面積公式解決實(shí)際問題，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高他們的學(xué)習(xí)積極性，同時提高大家的運(yùn)用能力．
教學(xué)重點(diǎn)
1．經(jīng)歷探索弧長及扇形面積計(jì)算公式的過程．
2．了解弧長及扇形面積計(jì)算公式．
3．會用公式解決問題．
教學(xué)難點(diǎn)
1．探索弧長及扇形面積計(jì)算公式．
2．用公式解決實(shí)際問題．
教學(xué)方法
學(xué)生互相交流探索法
教具準(zhǔn)備
2．投影片四張
第一張：(記作§A)
第二張：(記作§B)
第三張：(記作§C)
第四張：(記作§D)
教學(xué)過程
Ⅰ．創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課
[師]在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過有關(guān)圓的周長和面積公式，弧是圓周的一部分，扇形是圓的一部分，那么弧長與扇形面積應(yīng)怎樣計(jì)算？它們與圓的周長、圓的面積之間有怎樣的關(guān)系呢？本節(jié)課我們將進(jìn)行探索．
Ⅱ．新課講解
一、復(fù)習(xí)
1．圓的周長如何計(jì)算？
2．圓的面積如何計(jì)算？
3．圓的圓心角是多少度？
[生]若圓的半徑為r，則周長l＝2πr，面積S＝πr2，圓的圓心角是360°．
二、探索弧長的計(jì)算公式
投影片(§A)
如圖，某傳送帶的一個轉(zhuǎn)動輪的半徑為10cm．

(1)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？
(2)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)1°，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？
(3)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)n°，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？
[師]分析：轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品應(yīng)被傳送一個圓的周長；因?yàn)閳A的周長對應(yīng)360°的圓心角，所以轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)1°，傳送帶上的物品A被傳送圓周長的 ；轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)n°，傳送帶上的物品A被傳送轉(zhuǎn)1°時傳送距離的n倍．
[生]解：(1)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品A被傳送2π×10＝20πcm；
(2)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)1°，傳送帶上的物品A被傳送 cm；
(3)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)n°，傳送帶上的物品A被傳送n× ＝cm．
[師]根據(jù)上面的計(jì)算，你能猜想出在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長的計(jì)算公式嗎？請大家互相交流．
[生]根據(jù)剛才的討論可知，360°的圓心角對應(yīng)圓周長2πR，那么1°的圓心角對應(yīng)的弧長為 ，n°的圓心角對應(yīng)的弧長應(yīng)為1°的圓心角對應(yīng)的弧長的n倍，即n× ．
[師]表述得非常棒．
在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長(arclength)的計(jì)算公式為：
l＝ ．
下面我們看弧長公式的運(yùn)用．
三、例題講解
投影片(§B)
制作彎形管道時，需要先按中心線計(jì)算“展直長度”再下料，試計(jì)算下圖中管道的展直長度，即 的長(結(jié)果精確到0.1mm)．

分析：要求管道的展直長度，即求 的長，根根弧長公式l＝ 可求得 的長，其中n為圓心角，R為半徑．
解：R＝40mm，n＝110．
∴ 的長＝ πR＝ ×40π≈76.8mm．
因此，管道的展直長度約為76.8mm．
四、想一想
投影片(§C)
在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上拴著一條長3m的繩子，繩子的另一端拴著一只狗．
(1)這只狗的最大活動區(qū)域有多大？
(2)如果這只狗只能繞柱子轉(zhuǎn)過n°角，那么它的最大活動區(qū)域有多大？
[師]請大家互相交流．
[生](1)如圖(1)，這只狗的最大活動區(qū)域是圓的面積，即9π；

(2)如圖(2)，狗的活動區(qū)域是扇形，扇形是圓的一部分，360°的圓心角對應(yīng)的圓面積，1°的圓心角對應(yīng)圓面積的 ，即 ×9π＝ ，n°的圓心角對應(yīng)的圓面積為n× ＝ ．
[師]請大家根據(jù)剛才的例題歸納扇形的面積公式．
[生]如果圓的半徑為R，則圓的面積為πR2，1°的圓心角對應(yīng)的扇形面積為 ，n°的圓心角對應(yīng)的扇形面積為n? ．因此扇形面積的計(jì)算公式為S扇形＝ πR2，其中R為扇形的半徑，n為圓心角．
五、弧長與扇形面積的關(guān)系
[師]我們探討了弧長和扇形面積的公式，在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長的計(jì)算公式為l＝ πR，n°的圓心角的扇形面積公式為S扇形＝ πR2，在這兩個公式中，弧長和扇形面積都和圓心角n．半徑R有關(guān)系，因此l和S之間也有一定的關(guān)系，你能猜得出嗎？請大家互相交流．
[生]∵l＝ πR，S扇形＝ πR2，
∴ πR2＝ R? πR．∴S扇形＝ lR．
六、扇形面積的應(yīng)用
投影片(§D)
扇形AOB的半徑為12cm，∠AOB＝120°，求 的長(結(jié)果精確到0.1cm)和扇形AOB的面積(結(jié)果精確到0.1cm2)
分析：要求弧長和扇形面積，根據(jù)公式需要知道半徑R和圓心角n即可，本題中這些條件已經(jīng)告訴了，因此這個問題就解決了．
解： 的長＝ π×12≈25.1cm．
S扇形＝ π×122≈150.7cm2．
因此， 的長約為25.1cm，扇形AOB的面積約為150.7cm2．
Ⅲ．課堂練習(xí)
隨堂練習(xí)
Ⅳ．課時小結(jié)
本節(jié)課學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：
1．探索弧長的計(jì)算公式l＝ πR，并運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算；
2．探索扇形的面積公式S＝ πR2，并運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算；
3．探索弧長l及扇形的面積S之間的關(guān)系，并能已知一方求另一方．
Ⅴ．課后作業(yè)
習(xí)題節(jié)選
Ⅵ．活動與探究
如圖，兩個同心圓被兩條半徑截得的 的長為6π cm， 的長為10π cm，又AC＝12cm，求陰影部分ABDC的面積．

分析：要求陰影部分的面積，需求扇形COD的面積與扇形AOB的面積之差．根據(jù)扇形面積S＝ lR，l已知，則需要求兩個半徑OC與OA，因?yàn)镺C＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．
解：設(shè)OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，根據(jù)已知條件有：

得 ．
∴3(R＋12)＝5R，∴R＝18．
∴OC＝18＋12＝30．
∴S＝S扇形COD－S扇形AOB＝ ×10π×30－ ×6π×18＝96π cm2．
所以陰影部分的面積為96π cm2．
板書設(shè)計(jì)
27.4弧長及扇形的面積
一、1．復(fù)習(xí)圓的周長和面積計(jì)算公式；
2．探索弧長的計(jì)算公式；
3．例題講解；
4．想一想；
5．弧長及扇形面積的關(guān)系；
6．扇形面積的應(yīng)用．
二、課堂練習(xí)
三、課時小結(jié)

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