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作課類別課題22.2.4一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系課型新授
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教 學(xué) 目 標(biāo)知識
技能1.熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系.
2.靈活運用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解決實際問題.
3.提高學(xué)生綜合運用基礎(chǔ)知識分析解決較復(fù)雜問題的能力.
過程
方法學(xué)生經(jīng)歷探索，嘗試發(fā)現(xiàn)韋達(dá)定理，感受不完全歸納驗證以及演繹證明.
情感
態(tài)度培養(yǎng)學(xué)生觀察，分析和綜合，判斷的能力，激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性，激勵學(xué)生勇于探索的精神.
重點一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系
教學(xué)難點對根與系數(shù)關(guān)系的理解和推導(dǎo)
教學(xué)過程設(shè)計
教學(xué)程序及教學(xué)內(nèi)容師生行為設(shè)計意圖
一、復(fù)習(xí)引入
導(dǎo)語：一元二次方程的根與系數(shù)有著密切的關(guān)系，早在16世紀(jì)法國的杰出數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)了這一關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)嗎？
二、探究新知
1.課本思考
分析：將（x- x1）（x-x2）=0化為一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0與x2+px+ q=0對比,易知p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次項系數(shù)是1的一元二次方程如果有實數(shù)根，則一次項系數(shù)等于兩根和的相反數(shù)，常數(shù)項等于兩根之積.
2.跟蹤練習(xí)
求下列方程的兩根x1 、x2. 的和與積.
x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0
3. 方程2x2-3x+1=0的兩根的和、積與系數(shù)之間有類似的關(guān)系嗎？
分析：這個方程的二次項系數(shù)等于2，與上面情形有所不同，求出方程兩根，再通過計算兩根的和、積，檢驗上面的結(jié)論是否成立，若不成立，新的結(jié)論是什么？
4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的兩根的和、積與系數(shù)之間有第3題中的關(guān)系嗎？
分析：利用求根公式，求出方程兩根，再通過計算兩根的和、積，得到方程的兩個根x1 、x2和系數(shù)a，b，c的關(guān)系，即韋達(dá)定理，也就是任何一個一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比. 求根公式是在一般形式下推導(dǎo)得到，根與系數(shù)的關(guān)系由求根公式得到，因此，任何一個一元二次方程化為一般形式后根與系數(shù)之間都有這一關(guān)系.
5.跟蹤練習(xí)
求下列方程的兩根x1 、x2. 的和與積.
○13x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；
○25x-1=4x2；5x2-1=4x2+x
6.拓展練習(xí)
○1已知一元二次方程2x2+bx+c=0的兩個根是-1，3，則b= ,c= .
○2已知關(guān)于x的方程x2+kx-2=0的一個根是1，則另一個根是 ,k的值是 .
○3若關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩個根互為相反數(shù)，則p= ; 若兩個根互為倒數(shù)，則q= .
分析：方程中含有一個字母系數(shù)時利用方程一根的值可求得另一根和這個字母系數(shù)；方程中含有兩個字母系數(shù)時利用方程的兩根的值可求得這兩個字母系數(shù).二次項系數(shù)是1時，若方程的兩根互為相反數(shù)或互為倒數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得方程的一次項系數(shù)和常數(shù)項.
○4兩個根均為負(fù)數(shù)的一元二次方程是( )
A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x-8=0
○5.兩根異號，且正根的絕對值較大的方程是（ ）
A.4x2-3=0 B.-3x2+5x-4=0 C.0.5x2-4x-3=0 D.2x2+ x- =0
○6.若關(guān)于x的一元二次方程2x2-3x+m=0,當(dāng)m 時方程有兩個正根；當(dāng)m 時方程有兩個負(fù)根；當(dāng)m 時方程有一個正根一個負(fù)根，且正根的絕對值較大.
分析：根據(jù)方程的根的正負(fù)情況，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，確定方程各項系數(shù)的符號，○6中還需考慮m的值還得受根的判別式的限制.
三、課堂訓(xùn)練
1.完成課本練習(xí)
2.補充練習(xí)：
x1 ，x2是方程3x2-2x-4=0的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求下列各式的值：○1 ； ○2 ○3 ； ○4 ；○5
四、小結(jié)歸納
本節(jié)課應(yīng)掌握：
1. 韋達(dá)定理二次項系數(shù)不是1的方程根與系數(shù)的關(guān)系
2. 運用韋達(dá)定理時，注意隱含條件：二次項系數(shù)不為0，△≥0；
3.韋達(dá)定理的應(yīng)用常見題型：
○1不解方程，判斷兩個數(shù)數(shù)否是某一個一元二次方程的兩根；
○2已知方程和方程的一根，求另一個根和字母系數(shù)的值；
○3由給出的兩根滿足的條件，確定字母系數(shù)的值；
○4判斷兩個根的符號；
○5不解方程求含有方程的兩根的式子的值.
五、作業(yè)設(shè) 計
復(fù)習(xí)鞏固作業(yè)和綜合運用為全體學(xué)生必做；拓廣探索為成績中上等學(xué)生必做；學(xué)有余力的學(xué)生，要求模仿編擬課堂上出現(xiàn)的一些補充題目進(jìn)行重復(fù)練習(xí).
補充作業(yè)：
已知一元二次方程x2+3x+1=0的兩個根是 ，
求 的值.

教師出示問題，引出課題學(xué)生初步了解本課所要研究的問題

學(xué)生通過去括號、合并得到一般形式的一元二次方程，教師適時點撥，分析總結(jié)得到結(jié)論.
學(xué)生獨自完成
鞏固上訴知識
教師出示探究問題，學(xué)生通過特殊例子入手，再通過一般形式推導(dǎo)證明，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)求根公式進(jìn)行探究、交流，嘗試發(fā)現(xiàn)結(jié)論

學(xué)生獨立解決，并交流

先觀察，嘗試選用合適方法解題，之后交流，比較解法

學(xué)生嘗試歸納，師生總結(jié)


學(xué)生獨立完成，教師巡回檢查，師生集體訂正

學(xué)生歸納，總結(jié)闡述，體會，反思.并做出筆記.

創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生好奇心，求知欲

通過思考問題，讓學(xué)生知道二次項系數(shù)為1的一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，為后面繼續(xù)研究做鋪墊

讓學(xué)生通過探究問題，體會從特殊到一般的認(rèn)知過程，體會數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性


加深對韋達(dá)定理的理解，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和能力


通過學(xué)生親自解題的感受與經(jīng)驗，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性.


進(jìn)一步加強(qiáng)對所學(xué)知識的理解和掌握



通過歸納，進(jìn)一步理解韋達(dá)定理及其應(yīng)用

加強(qiáng)教學(xué)反思，幫助學(xué)生養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識的學(xué)習(xí)習(xí)慣，加深認(rèn)識，深化提高，形成學(xué)生自己的知識體系.
板 書 設(shè) 計
課題

二次項系數(shù)是1的方程根與系數(shù)的關(guān)系二次項系數(shù)不是1的方程根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)

歸納
教 學(xué) 反 思

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